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Déterminez l’intégrale de sept sécante 𝑥 multipliée par tangente 𝑥 moins cinq sécante 𝑥 par rapport à 𝑥.
Dans cette question, puisqu’il y a une expression factorisée dans l’intégrale, nous commencerons par développer les parenthèses. Cela nous donne sept sécante 𝑥 tangente 𝑥 moins 35 sécante au carré 𝑥. Voici l’expression que nous devons intégrer par rapport à 𝑥. Le premier terme est le produit de la fonction sécante et tangente et le deuxième terme est le carré de la fonction sécante.
Afin de résoudre notre problème, nous rappelons les intégrales suivantes. Premièrement, l’intégrale de sécante 𝑥 tangente 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à sécante 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶. De plus, l’intégrale de sécante au carré 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à tangente 𝑥 plus 𝐶. Nous pouvons factoriser les constantes et séparer notre intégrale comme indiqué. Nous avons sept multiplié par l’intégrale de sécante 𝑥 tangente 𝑥 par rapport à 𝑥 moins 35 multiplié par l’intégrale de sécante au carré 𝑥 par rapport à 𝑥.
En appliquant les deux formules, nous obtenons sept multiplié par sécante 𝑥 plus 𝐶 un moins 35 multiplié par tangente 𝑥 plus 𝐶 deux, pour des constantes arbitraires 𝐶 un et 𝐶 deux. Après avoir distribué sur les parenthèses, nous nous retrouverons avec une combinaison de 𝐶 un et 𝐶 deux, nous pouvons remplacer cette expression par une autre constante arbitraire 𝐶 pour écrire la solution comme sept sécante 𝑥 moins 35 tangente 𝑥 plus 𝐶. Il s’agit de l’intégrale de sept sécante 𝑥 multipliée par tangente 𝑥 moins cinq sécante 𝑥 par rapport à 𝑥.
