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Une particule a commencé à se déplacer de manière rectiligne à partir de l’origine de telle sorte que son accélération après 𝑡 secondes est donnée par 𝑎 égale six 𝑡 moins deux mètres par seconde au carré, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Sachant que sa vitesse initiale était de 14 mètres par seconde, déterminez sa vitesse 𝑣 et son déplacement 𝑠 lorsque 𝑡 est égale à deux secondes.
La vitesse de la particule peut être calculée en intégrant l’accélération par rapport à 𝑡. De la même manière, le déplacement peut être calculé en intégrant la vitesse par rapport à 𝑡. Dans notre exemple, pour calculer la vitesse, nous devons intégrer six 𝑡 moins deux. L’intégrale de six 𝑡 est trois 𝑡 au carré. Et l’intégrale de deux est deux 𝑡. Par conséquent, 𝑣 est égale à trois 𝑡 au carré moins deux 𝑡 plus 𝑐. Afin de déterminer la valeur de la constante 𝑐, nous devons utiliser les conditions initiales. Lorsque 𝑡 est égal à zéro, la vitesse 𝑣 était égale à 14. Substituons cette valeur et faisons-en de sorte que 𝑐 soit égal à 14.
Cela signifie que nous pouvons calculer la vitesse à tout moment en utilisant l’équation trois 𝑡 au carré moins deux 𝑡 plus 14. Dans notre exemple, on nous demande de calculer la vitesse lorsque 𝑡 égale deux. Nous devons donc remplacer 𝑡 par deux dans l’équation. Cela nous donne 𝑣 est égale à trois multiplié par deux au carré moins deux multiplié par deux plus 14. Trois multiplié par deux au carré est égal à 12. Et moins deux multiplié par deux donne moins quatre. Par conséquent, 𝑣 est égale à 12 moins quatre plus 14. Cela nous donne une valeur pour 𝑣, lorsque 𝑡 égale deux, de 22. La vitesse est de 22 mètres par seconde lorsque 𝑡 égale deux secondes.
La deuxième partie de la question nous demandait de calculer le déplacement lorsque 𝑡 est égal à deux secondes. Pour ce faire, nous devons intégrer trois 𝑡 au carré moins deux 𝑡 plus 14. L’intégrale de trois 𝑡 au carré est 𝑡 au cube. L’intégrale de deux 𝑡 est 𝑡 au carré. Et l’intégrale de 14 est égale à 14𝑡. Par conséquent, 𝑠 est égale à 𝑡 cube moins 𝑡 carré plus 14𝑡 plus 𝑐. Lorsque la particule a commencé à se déplacer à partir de l’origine, nous savons que lorsque 𝑡 est égal à zéro, 𝑠, le déplacement, est également égal à zéro. La substitution de ces valeurs dans l’équation nous donne une valeur de 𝑐 égale à zéro.
Nous pouvons calculer le déplacement de la particule à un instant donné 𝑡 en utilisant l’équation 𝑠 égale 𝑡 au cube moins 𝑡 au carré plus 14𝑡. Encore une fois, nous devons remplacer 𝑡 par deux dans cette équation. Cela nous donne 𝑠 est égale à deux au cube moins deux au carré plus 14 multiplié par deux. Deux au cube est égal à huit. Et deux au carré est égal à quatre. Huit moins quatre plus 28 est égal à 32. Cela signifie que le déplacement de la particule lorsque 𝑡 égale deux secondes est de 32 mètres.
Après deux secondes, la particule est à 32 mètres de l’origine et se déplace avec une vitesse de 22 mètres par seconde.
