Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous apprendrons à résoudre des problèmes de mouvement rectiligne en calculant des intégrales. Nous commencerons par faire des rappels sur l’intégration des principales fonctions et sur l’intégration par changement de variable, puis nous verrons le lien entre intégration et mouvement rectiligne. Puis nous examinerons divers exemples afin d’illustrer ces techniques.
Les techniques de calcul utilisées dans cette vidéo sont les suivantes. Vous devez savoir intégrer une puissance de 𝑥. C’est une fonction de la forme 𝑎 𝑥 puissance 𝑛, où 𝑎 et 𝑛 sont des constantes réelles et 𝑛 est différent de moins un. On ajoute un à l’exposant et on divise par ce nouvel exposant. Ainsi, l’intégrale de 𝑎 𝑥 puissance 𝑛 est 𝑎 𝑥 puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un, et bien sûr la constante d’intégration 𝑐. Dans le cas où 𝑛 égale moins un, on intègre une fonction de la forme 𝑎 sur 𝑥, ce qui donne 𝑎 fois le logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝑐. Nous examinerons également les fonctions exponentielles et trigonométriques dont voici les primitives. Enfin, il est utile de connaître l’intégration par changement de variable, bien qu’on puisse suivre la majeure partie de cette vidéo sans connaître cette notion.
Alors, quel est le lien entre intégration et mouvement ? En particulier, le mouvement rectiligne. C’est un mouvement le long d’une ligne droite. Rappelons les définitions du déplacement, de la vitesse et de l’accélération. Le déplacement — parfois noté 𝑠 si c’est une fonction — est le vecteur qui décrit la position d’un objet par rapport à un point de départ donné. La vitesse est le taux de variation du déplacement de cet objet par rapport au temps. Et l’accélération est le taux de variation de la vitesse de l’objet par rapport au temps. Ça veut dire que si on appelle 𝑠 la fonction qui mesure le déplacement à l’instant 𝑡, alors la vitesse est la dérivée de 𝑠 par rapport à 𝑡. On la note 𝑠 prime de 𝑡. En notation de Leibniz, on la note d𝑠 sur d𝑡.
De même, si 𝑣 est la fonction qui mesure la vitesse à l’instant 𝑡, alors l’accélération est la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑡. C’est 𝑣 prime de 𝑡 ou d𝑣 sur d𝑡. Et bien sûr, comme 𝑣 est la dérivée de 𝑠 par rapport à 𝑡, l’accélération peut aussi s’écrire comme la dérivée seconde de 𝑠. C’est 𝑠 seconde de 𝑡. Et comme l’intégration est le procédé inverse de la dérivation, on peut faire un petit schéma pour montrer le lien entre déplacement, vitesse et accélération. Pour trouver l’expression de la vitesse à partir de celle de l’accélération en fonction du temps, on intègre. De même, pour trouver l’expression du déplacement à partir de celle de la vitesse en fonction du temps, on intègre par rapport au temps. Mais rappelons que la distance et la vitesse sont aussi des quantités scalaires qui sont respectivement la norme du déplacement et de la vitesse.
Voyons maintenant quelques exemples pour illustrer ces concepts.
Une particule se déplace en ligne droite de telle sorte que sa vitesse 𝑣 à l’instant 𝑡 secondes est 15 𝑡 au carré moins huit 𝑡 mètres par seconde lorsque 𝑡 est supérieur ou égal à zéro seconde. Sachant que sa position initiale est à 20 mètres d’un point fixe, exprimez son déplacement à l’instant 𝑡.
Pour rappel, la vitesse est le taux de variation du déplacement d’un objet. Cela signifie qu’en dérivant la fonction déplacement, on trouve la fonction vitesse. À l’inverse, on peut dire que l’intégrale de la fonction vitesse donne la fonction déplacement. Donc, pour répondre à la question, on intègre la fonction par rapport à 𝑡, puis on utilise la position initiale donnée pour trouver l’expression complète du déplacement. 𝑠 est égal à l’intégrale de 15 𝑡 au carré moins huit 𝑡 par rapport à 𝑡.
On rappelle que l’intégrale de la somme ou de la différence de deux fonctions ou plus est égale à la somme ou à la différence de l’intégrale de chaque fonction. On peut donc intégrer 15 𝑡 carré et moins huit 𝑡 séparément. On sait aussi que pour intégrer un terme de cette forme, il suffit d’ajouter un à la puissance puis de diviser par ce nouveau nombre. Donc, l’intégrale 15 𝑡 au carré est 15 𝑡 au cube divisé par trois. En fait, il y a aussi une constante d’intégration. Mais on y reviendra dans un instant.
L’intégrale de moins huit 𝑡 est moins huit 𝑡 au carré divisé par deux. Ensuite, on combine les deux constantes d’intégration qui viennent des primitives de 15 𝑡 au carré et de moins huit 𝑡. Ainsi, 𝑠 est égal à 15 𝑡 au cube sur trois plus moins huit 𝑡 au carré sur deux plus 𝑐. On simplifie un peu. Ainsi, on a trouvé l’équation générale du déplacement de l’objet. C’est cinq 𝑡 au cube moins quatre 𝑡 au carré plus 𝑐. À présent, on cherche l’équation particulière. Ça implique de trouver la valeur de 𝑐. On peut la trouver parce qu’on connaît la position initiale par rapport à un point fixe, c’est-à-dire le déplacement initial. On sait que sa position initiale par rapport au point fixe est de 20 mètres. Ainsi, lorsque 𝑡 est égal à zéro, 𝑠 est égal à 20.
Remplaçons donc ces valeurs dans l’équation. On a 20 égale cinq fois zéro au cube moins quatre fois zéro au carré plus 𝑐. Ce qui se simplifie à 20 égale 𝑐. Donc, la réponse est 𝑠 égale cinq 𝑡 au cube moins quatre 𝑡 au carré plus 20 mètres. Retenez qu’on peut bien sûr inverser ce procédé et dériver cette expression par rapport à 𝑡 pour vérifier la solution obtenue. On obtient alors d𝑠 sur d𝑡. Ce qui vaut bien sûr trois fois cinq 𝑡 au carré moins deux fois quatre 𝑡, ce qui se simplifie en 15 𝑡 au carré moins huit 𝑡, comme prévu.
Voyons à présent comment intégrer deux fois pour résoudre des problèmes de mouvement rectiligne.
Une particule se déplace en ligne droite de telle sorte que son accélération à l’instant 𝑡 secondes est 𝑎 égale deux 𝑡 moins 18 mètres par seconde au carré, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Sachant que sa vitesse initiale est de 20 mètres par seconde et que son déplacement initial est de zéro mètre, exprimez le déplacement de la particule à l’instant 𝑡.
Pour rappel, l’accélération est le taux de variation de la vitesse d’un objet. Donc, en dérivant la fonction vitesse, on trouve la fonction d’accélération. À l’inverse, l’intégrale de la fonction d’accélération donne la fonction vitesse. De même, la vitesse est égale à la dérivée du déplacement par rapport au temps. Donc, pour trouver le déplacement, on intègre la fonction vitesse par rapport au temps.
Pour répondre à cette question, on va donc intégrer deux fois la fonction d’accélération par rapport au temps. Pour ce calcul, on utilisera la vitesse initiale et le déplacement initial donnés dans l’énoncé. Cela nous aidera à trouver l’expression de ce déplacement particulier. La vitesse est donc l’intégrale de deux 𝑡 moins 18 par rapport à 𝑡. L’intégrale de deux 𝑡 est deux 𝑡 au carré sur deux. L’intégrale de moins 18 est moins 18𝑡. Bien sûr, n’oublions pas la constante d’intégration 𝑐. On obtient que 𝑣 est égal à 𝑡 au carré moins 18𝑡 plus 𝑐. Ceci est l’expression générale. Mais on sait aussi que sa vitesse initiale est de 20 mètres par seconde. Donc, lorsque 𝑡 est égal à zéro, 𝑣 est égal à 20.
On peut utiliser cette information pour trouver l’expression de cette vitesse particulière. On pose 𝑡 égale zéro et 𝑣 égale 20 dans cette équation. Et on obtient 20 égale zéro au carré moins 18 fois zéro plus 𝑐, ce qui donne 20 égale 𝑐. Et on a l’expression de la vitesse à l’instant 𝑡. C’est 𝑡 au carré moins 18𝑡 plus 20. Intégrons une nouvelle fois pour trouver l’expression du déplacement. C’est l’intégrale de 𝑡 au carré moins 18𝑡 plus 20 par rapport à 𝑡.
L’intégrale de 𝑡 au carré est 𝑡 au cube sur trois. L’intégrale de moins 18𝑡 est moins 18 𝑡 au carré sur deux. L’intégrale de 20 est 20𝑡 et il y a une constante d’intégration. Notez que je l’ai appelée 𝑑 au lieu de 𝑐 parce qu’on a déjà utilisé 𝑐 dans cette question. Donc 𝑠 est égal à 𝑡 au cube sur trois moins neuf 𝑡 au carré plus 20𝑡 plus 𝑑. Encore une fois, on a assez d’informations pour en déduire 𝑑. On sait que le déplacement initial est de zéro mètre. Donc, lorsque 𝑡 est égal à zéro, 𝑠 est égal à zéro. Substituons ces valeurs. On obtient zéro égale zéro au cube sur trois moins neuf fois zéro au carré plus 20 fois zéro plus 𝑑, d’où zéro égale 𝑑. Et on a terminé ! On a trouvé l’expression du déplacement de la particule à l’instant 𝑡. C’est 𝑡 au cube sur trois moins neuf 𝑡 au carré plus 20𝑡 mètres.
L’exemple suivant montrera comment résoudre des problèmes d’optimisation à l’aide du calcul intégral.
Une particule se déplace en ligne droite. Son accélération à l’instant 𝑡 secondes est 𝑎 égale moins cinq 𝑡 au carré plus cinq mètres par seconde au carré, lorsque 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Calculez la vitesse maximale 𝑣 max de la particule et la distance 𝑥 parcourue avant d’atteindre cette vitesse, sachant que la vitesse initiale de la particule est de zéro mètre par seconde.
Pour répondre à cette question, commençons par rappeler qu’on trouve la vitesse en intégrant l’accélération par rapport au temps. De même, on trouve le déplacement en intégrant l’expression de la vitesse par rapport au temps. Rappelons également que pour trouver le maximum, on commence par chercher les points critiques d’une fonction ; ils se trouvent là où la dérivée de la fonction est nulle ou n’existe pas.
Donc, pour trouver les points critiques, puis la vitesse maximum, on cherche pour quelles valeurs d𝑣 sur d𝑡 s’annule. Mais d𝑣 sur d𝑡 est bien sûr l’accélération. Fixons l’expression de 𝑎 égale à zéro et déterminons 𝑡. C’est moins cinq 𝑡 au carré plus cinq égale zéro. En ajoutant cinq 𝑡 au carré des deux côtés, on obtient cinq 𝑡 au carré égale cinq. Puis, en divisant par cinq, on obtient 𝑡 au carré égale un. La dernière étape consiste à prendre la racine carrée de chaque côté. Rappelons qu’on n’a pas besoin de prendre la racine carrée négative de un puisque le temps est une valeur positive. Donc 𝑡 est égal à un. On a donc trouvé un point critique de la fonction vitesse, c’est lorsque 𝑡 est égal à un.
Comme c’est le seul point critique, on peut raisonnablement supposer qu’il s’agit d’un maximum. Mais vérifions en calculant la dérivée seconde. Si la dérivée seconde est inférieure à zéro lorsque 𝑡 est égal à un, alors c’est effectivement un maximum. Bien sûr, la dérivée seconde de la vitesse par rapport au temps est égale à la dérivée première de l’accélération par rapport au temps. La dérivée première de moins cinq 𝑡 au carré plus cinq est simplement moins 10𝑡. Calculons-la pour 𝑡 égale un. C’est moins 10 fois un, c’est-à-dire bien sûr moins 10. Puisque moins 10 est inférieur à zéro, on a en effet un maximum en 𝑡 égale un.
Or, on cherche la vitesse maximale de la particule. Et on sait qu’elle se produit lorsque 𝑡 est égal à un. Donc, déterminons la fonction vitesse et évaluons-la en 𝑡 égale un. On a dit que c’était l’intégrale de la fonction d’accélération. On intègre donc moins cinq 𝑡 au carré plus cinq. On obtient moins cinq 𝑡 au cube sur trois plus cinq 𝑡 plus la constante d’intégration 𝑐. Pour déterminer cette constante d’intégration, on utilise le fait que la vitesse initiale de la particule est de zéro mètre par seconde. Autrement dit, lorsque 𝑡 est égal à zéro, 𝑣 est égal à zéro. En utilisant ces valeurs, on obtient zéro égale moins cinq fois zéro au cube sur trois plus cinq fois zéro plus 𝑐. Donc, zéro est égal à 𝑐. Ainsi, l’expression de la vitesse est moins cinq 𝑡 au cube sur trois plus cinq 𝑡.
On cherche la vitesse maximale. On a vu qu’elle se produisait en 𝑡 égale un. Prenons donc 𝑡 égale un dans cette expression. C’est moins cinq fois un au cube sur trois plus cinq fois un, soit dix sur trois. On obtient la première partie de la solution. Le maximum est de dix sur trois. Et il est important de voir qu’il n’y a pas d’autre maximum au point extrême où 𝑡 est égal à zéro, puisqu’il n’y a pas d’autre point tournant dans l’intervalle zéro, un.
Calculons à présent la distance 𝑥 parcourue avant d’atteindre cette vitesse. Là, il faut faire attention. La distance est la forme scalaire du déplacement. C’est la valeur absolue du déplacement. Pour trouver la fonction de déplacement, on peut intégrer la fonction vitesse. Ensuite, on l’évalue entre un et zéro pour calculer le déplacement total. Pour vérifier que ça donne la même valeur que la distance, on observe la forme du graphique. Si la courbe se situe uniquement au-dessus ou en dessous de l’axe des abscisses, alors la valeur absolue du déplacement est égale à la distance. Or, entre zéro et un, le graphique est effectivement entièrement au-dessus de l’axe des abscisses, ici l’axe 𝑡.
Ainsi, la distance totale parcourue est égale à l’aire entre la courbe et l’axe 𝑡 délimitée par les droites d’équations 𝑡 égale zéro et 𝑡 égale un. C’est simplement l’intégrale définie entre zéro et un de la fonction vitesse par rapport au temps. Cette intégrale vaut moins cinq 𝑡 puissance quatre sur 12 plus cinq 𝑡 au carré sur deux. Si on l’évalue entre un et zéro, on obtient moins cinq sur 12 plus cinq sur deux moins zéro, soit 25 sur 12. 𝑣 max égale dix tiers, et la distance 𝑥 parcourue avant d’atteindre 𝑣 max est de 25 sur 12 mètres.
Dans cet exemple, on a vu qu’on pouvait calculer une intégrale définie pour évaluer la distance totale parcourue par une particule. Étudions un autre exemple de ce type.
Une particule se déplace le long de l’axe des abscisses à la vitesse 𝑣, en mètres par seconde, avec 𝑣 égale cos de 𝑡. Calculez la distance totale parcourue pendant l’intervalle zéro inférieur ou égal à 𝑡 inférieur ou égal à trois 𝜋 sur 2.
Il faut faire attention ici. Rappelez-vous que la distance est la norme du déplacement. On trouve le déplacement en évaluant l’intégrale de la fonction vitesse. Ça correspond bien sûr à l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses. Le problème ici est que cos de 𝑡 est successivement positif et négatif sur l’intervalle où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à trois 𝜋 sur deux. On va donc séparer le calcul en deux parties.
La distance totale parcourue est égale à la somme de la norme du déplacement entre 𝑡 égale zéro et 𝑡 égale 𝜋 sur deux et la norme du déplacement entre 𝑡 égale 𝜋 sur deux et trois 𝜋 sur deux. La norme du déplacement entre 𝑡 égale zéro et 𝑡 égale 𝜋 sur deux est facile à trouver. C’est l’intégrale définie de cos de 𝑡 évaluée entre zéro et 𝜋 sur deux. La norme du déplacement entre 𝜋 sur deux et trois 𝜋 sur deux est un peu plus délicate. Comme cette partie de la courbe est en dessous de l’axe des abscisses, on trouve une valeur négative en calculant l’intégrale. On peut donc dire que cette norme est égale à moins l’intégrale de cos de 𝑡 entre 𝜋 sur deux et trois 𝜋 sur deux ou l’intégrale évaluée entre trois 𝜋 sur deux et 𝜋 sur deux de cos de 𝑡.
Rappelez-vous, intervertir les bornes a pour seul effet de changer le signe du résultat. L’intégrale de cos de 𝑥 d𝑥 est sin de 𝑥 plus 𝑐. Donc, l’intégrale de cos de 𝑡 est sin de 𝑡. Et il n’y a pas besoin de constante d’intégration parce qu’on a affaire à une intégrale définie. En l’évaluant entre les deux bornes, on obtient sin de 𝜋 sur deux moins sin de zéro plus sin de 𝜋 sur deux moins sin de trois 𝜋 sur deux. sin de 𝜋 sur deux égale un et sin de zéro égale zéro. On sait également que sin de trois 𝜋 sur deux égale moins un. On a donc un moins zéro plus un moins moins un, ce qui est égal à trois. Donc, la distance totale parcourue durant la période où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à trois 𝜋 sur deux est de trois mètres.
Dans cette vidéo, on a vu qu’on pouvait utiliser l’intégration pour déterminer les fonctions de vitesse et déplacement à partir des fonctions d’accélération et de vitesse, respectivement. On a également vu qu’en intégrant deux fois la fonction d’accélération, on trouve la fonction de déplacement, mais on a besoin des valeurs initiales de la vitesse et du déplacement pour trouver une solution particulière. On a également vu que les intégrales définies permettent de calculer le déplacement total ou la distance parcourue. Mais dans ce dernier cas, il faut examiner la forme du graphique avant le calcul.