Vidéo : Mouvement rectiligne et intégration

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer les intégrales pour résoudre des problèmes impliquant un mouvement rectiligne.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment appliquer des intégrales pour résoudre des problèmes de mouvement rectiligne. Nous allons commencer par récapituler les méthodes d’intégration de certaines fonctions clés et le processus d’intégration par substitution avant d’envisager comment l’intégration s’associe au mouvement le long d’une ligne droite. Nous allons ensuite envisager divers exemples qui illustrent ces techniques.

Les techniques d’analyse que nous allons utiliser dans cette vidéo sont les suivantes. Nous avons besoin de savoir comment intégrer une puissance de 𝑥. C’est une fonction de la forme 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛, où 𝑎 et 𝑛 sont des constantes réelles et 𝑛 n’égale pas moins un. On ajoute un à la puissance et on divise par cette nouvelle valeur. Ainsi l’intégrale de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 est 𝑎 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un, plus naturellement cette constante d’intégration, 𝑐. Dans le cas où 𝑛 égale moins un, nous intégrons une fonction de la forme 𝑎 sur 𝑥, qui nous donne un résultat de 𝑎 fois le log naturel de la valeur absolue de 𝑥 plus 𝑐. Nous considérerons également les fonctions exponentielles et trigonométriques dont les intégrales sont présentées ci-dessous. Enfin, il est avantageux que vous soyez confiant dans l’application de l’intégration par substitution, bien que vous puissiez accéder à la majorité de cette vidéo sans cette compétence.

Comment le calcul infinitésimal est-il lié au mouvement ? En particulier, le mouvement rectiligne. C’est un mouvement en ligne droite. Rappelons les définitions du déplacement, de la vitesse et de l’accélération. Le déplacement — parfois noté comme 𝑠 en notation de fonction — est le vecteur qui décrit la position d’un objet par rapport à un point de départ donné. La vélocité est alors le taux de variation du déplacement de cet objet par rapport au temps. Et l’accélération est le taux de variation de la vitesse de l’objet par rapport au temps. Et cela signifie que si nous définissons 𝑠 comme étant une fonction qui mesure le déplacement à l’instant 𝑡, alors la vélocité serait la dérivée de 𝑠 par rapport à 𝑡. En notation de fonction, c’est 𝑠 prime de 𝑡. Et en notation de Leibniz, vous pourriez le voir comme d𝑠 par d𝑡.

De même, on peut dire que si 𝑣 est une fonction qui mesure la vélocité à l’instant 𝑡, alors l’accélération est la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑡. C’est 𝑣 prime de 𝑡 ou d𝑣 par d𝑡. Et bien sûr, puisque 𝑣 est la dérivée de 𝑠 par rapport à 𝑡, alors on peut dire que l’accélération peut aussi s’écrire comme la dérivée seconde de 𝑠. C’est 𝑠 double prime de 𝑡. Et comme l’intégration est le processus inverse de la dérivation, on peut tracer un petit diagramme pour montrer la relation entre le déplacement, la vélocité et l’accélération. Pour trouver une expression de la vélocité, étant donné une expression de l’accélération en fonction du temps, nous intégrons. De même, pour trouver une expression pour le déplacement, étant donné une expression pour la vitesse en fonction du temps, nous intégrons par rapport au temps. Maintenant, il vaut aussi la peine de se rappeler que la distance et la vitesse sont des quantités scalaires, parfois appelées respectivement l’amplitude du déplacement et de la vélocité.

Allons maintenant voir quelques exemples qui illustrent ces idées.

Une particule se déplace en mouvement rectiligne de telle sorte que sa vitesse à l’instant 𝑡 secondes est donnée par la relation 𝑣 égale 15𝑡 au carré moins huit 𝑡 mètres par seconde lorsque 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Étant donné que sa position initiale à partir d’un point fixe est de 20 mètres, déterminez une expression pour son déplacement à l’instant 𝑡 secondes.

Rappelez-vous, la vélocité est le taux de variation du déplacement d’un objet. Cela signifie que nous pouvons dériver une fonction de déplacement pour trouver une fonction de vitesse. Inversement, on peut dire que l’intégrale de la fonction de vitesse nous fournira une fonction de déplacement. Pour répondre à cette question, nous allons donc intégrer notre fonction par rapport à 𝑡 et ensuite utiliser l’information sur la position initiale pour trouver une expression complète du déplacement. 𝑠 égale l’intégrale de 15𝑡 au carré moins huit 𝑡 par rapport à 𝑡.

Rappelez-vous que l’intégrale de la somme ou de la différence de deux ou plusieurs fonctions est égale à la somme ou à la différence de l’intégrale de chaque fonction. Ainsi, nous pouvons effectivement intégrer 15𝑡 au carré et moins huit 𝑡 individuellement. Nous savons aussi que pour intégrer un terme de cette forme, il suffit d’ajouter un à la puissance et de diviser par ce nouveau nombre. Et nous obtenons l’intervalle de 15𝑡 au carré pour être 15𝑡 au cube divisé par trois. Maintenant, en fait, nous obtenons aussi une constante d’intégration. Mais nous y reviendrons dans un instant.

L’intégrale de moins huit 𝑡 est moins huit 𝑡 au carré divisé par deux. Ensuite, nous combinons les deux constantes d’intégration obtenues en intégrant 15𝑡 au carré et moins huit 𝑡. Et nous voyons que 𝑠 est égale à 15𝑡 au cube sur trois plus moins huit 𝑡 au carré sur deux plus 𝑐. Nous pouvons simplifier un peu. Et ce que nous obtenons, c’est l’équation générale pour le déplacement de notre objet. C’est cinq 𝑡 au cube moins quatre 𝑡 au carré plus 𝑐. Nous pouvons maintenant calculer l’équation particulière. Cela implique de trouver la valeur de 𝑐. Et nous pouvons le faire parce qu’on nous dit la position initiale à partir d’un point fixe, en d’autres termes, son déplacement initial. On nous dit que sa position initiale à partir du point fixe est de 20 mètres. Ainsi, lorsque 𝑡 égale zéro, 𝑠 égale 20.

Substituons donc ces valeurs dans notre résultat. Nous avons 20 égale cinq fois zéro au cube moins quatre fois zéro au cube plus 𝑐. Eh bien, ça simplifie à 20 égale 𝑐. Donc la réponse ici est 𝑠 égale cinq 𝑡 au cube moins quatre 𝑡 au carré plus 20 mètres. Et pour ne pas oublier bien sûr, nous pouvons inverser ce processus et différencier cette expression par rapport à 𝑡 pour vérifier notre solution. En ce faisant, nous obtenons d𝑠 par d𝑡. Et c’est trois fois cinq 𝑡 au carré moins deux fois quatre 𝑡, ce qui simplifie à 15𝑡 au carré moins huit 𝑡 comme requis.

Nous allons maintenant voir comment on peut utiliser l’intégration deux fois pour résoudre des problèmes de mouvement rectiligne.

Une particule se déplace en mouvement rectiligne de telle sorte que son accélération à l’instant 𝑡 secondes est donnée par la relation 𝑎 égale deux 𝑡 moins 18 mètres par seconde au carré, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Étant donné que sa vélocité initiale est de 20 mètres par seconde, et que son déplacement initial est de zéro mètre, trouvez une expression pour le déplacement de la particule à l’instant 𝑡.

N’oubliez pas que l’accélération est le taux de variation de la vélocité d’un objet. Cela signifie que nous dérivons la fonction de vélocité pour déterminer la fonction d’accélération. On peut inversement dire que l’intégrale de la fonction d’accélération nous donnera la fonction de vélocité. De même, la vélocité est égale à la dérivée du déplacement par rapport au temps. On peut donc dire que pour trouver le déplacement, on peut intégrer la fonction de vélocité par rapport au temps.

Pour répondre à cette question, nous allons donc devoir intégrer notre fonction d’accélération par rapport au temps deux fois. Tout au long de ce processus, nous allons utiliser le fait que nous connaissons sa vélocité initiale et son déplacement initial. Cela nous aidera à trouver une expression particulière pour le déplacement. La vélocité est donc l’intégrale indéfinie de deux 𝑡 moins 18 par rapport à 𝑡. L’intégrale de deux 𝑡 est deux 𝑡 au carré sur deux. L’intégrale de moins 18 est moins 18𝑡. Et bien sûr, il ne faut pas oublier que nous avons cette constante d’intégration 𝑐. Et nous voyons que 𝑣 égale 𝑡 au carré moins 18𝑡 plus 𝑐. C’est ce qu’on appelle l’expression générale. Nous savons cependant que sa vélocité initiale est de 20 mètres par seconde. On peut donc dire que lorsque 𝑡 égale zéro, 𝑣 égale 20.

Et nous pouvons utiliser cette information pour trouver l’expression spécifique de vélocité. Nous substituons 𝑡 égale zéro et 𝑣 égale 20 dans cette équation. Et nous obtenons 20 égale zéro moins 18 fois zéro plus 𝑐, ce qui nous donne 20 égal 𝑐. Et nous avons l’expression pour la vélocité à l’instant 𝑡. C’est 𝑡 au carré moins 18𝑡 plus 20. On va intégrer encore une fois pour trouver l’expression du déplacement. C’est l’intégrale de 𝑡 au carré moins 18𝑡 plus 20 par rapport à 𝑡.

Cette fois, l’intégrale de 𝑡 au carré est 𝑡 au cube sur trois. L’intégrale de moins 18𝑡 est moins 18𝑡 au carré sur deux. L’intégrale de 20 est 20𝑡 et nous avons une constante d’intégration. Notez que je l’ai appelée 𝑑 au lieu de 𝑐 parce que nous avons déjà utilisé 𝑐 dans cette question. Donc 𝑠 égale 𝑡 au cube sur trois moins neuf 𝑡 au carré plus 20𝑡 plus 𝑑. Encore une fois, nous avons assez d’informations pour déterminer la valeur de 𝑑. Nous savons que le déplacement initial est de zéro mètre. Ainsi, lorsque 𝑡 égale zéro, 𝑠 égale zéro. Et nous substituons avec ces valeurs. Et nous obtenons zéro égale zéro au cube sur trois moins neuf fois zéro au carré plus 20 fois zéro plus 𝑑, ce qui nous dit que zéro égale 𝑑. Et nous y sommes arrivés ! Nous avons trouvé l’expression pour le déplacement de la particule à l’instant 𝑡. C’est 𝑡 au cube sur trois moins neuf 𝑡 au carré plus 20𝑡 mètres.

Dans notre exemple suivant, nous allons envisager comment utiliser l’intégration pour résoudre des problèmes d’optimisation.

Une particule commence à se déplacer en mouvement rectiligne. Son accélération à l’instant 𝑡 seconde est donnée par la relation 𝑎 égale à moins cinq 𝑡 au carré plus cinq mètres par seconde carrée, lorsque 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Trouvez la vélocité maximale de la particule 𝑣 max et la distance 𝑥 qu’elle parcourut avant d’atteindre cette vélocité, étant donné que la vélocité initiale de la particule est de zéro mètre par seconde.

Pour répondre à cette question, on commence par rappeler qu’on peut trouver une expression de la vélocité en intégrant l’expression d’accélération par rapport au temps. De même, on peut trouver une expression du déplacement en intégrant l’expression de vélocité par rapport au temps. Nous devons également rappeler que nous pouvons trouver un maximum en recherchant d’abord les points critiques d’une fonction, et ceux-ci se produisent en des points où la dérivée de cette fonction égale zéro ou n’existe pas.

Eh bien, pour trouver les points critiques et finalement le maximum pour la vélocité, il faut déterminer quand d𝑣 par d𝑡 égale zéro. Mais d𝑣 par d𝑡 est bien sûr l’accélération. Définissons donc notre expression avec 𝑎 égale zéro et résolvons pour 𝑡. C’est moins cinq 𝑡 au carré plus cinq égale zéro. En ajoutant cinq 𝑡 au carré des deux côtés, on obtient cinq 𝑡 au carré égale cinq. Et en divisant par cinq, on obtient 𝑡 au carré égale un. Notre dernière étape consiste à prendre la racine carrée des deux côtés. Et n’oubliez pas que nous n’avons pas à nous soucier de trouver la racine carrée positive et négative de un puisque le temps doit être une valeur positive. Donc 𝑡 égale un. Et nous avons trouvé qu’il y a un point critique pour notre fonction de vélocité, et cela se produit lorsque 𝑡 égale un.

Puisqu’il s’agit du seul point critique, on peut supposer qu’il s’agit probablement d’un maximum. Mais on va vérifier en déterminant la dérivée seconde. Si la dérivée seconde est strictement inférieure à zéro lorsque 𝑡 égale un, alors nous aurons effectivement un maximum. Et bien sûr, la dérivée seconde de la vélocité par rapport au temps est égale à la dérivée première de l’accélération par rapport au temps. Eh bien, la dérivée première de moins cinq 𝑡 au carré plus cinq est simplement moins 10𝑡. Nous allons évaluer cela lorsque 𝑡 égale un. C’est donc moins 10 fois un, ce qui est bien sûr moins 10. Comme moins 10 est inférieur à zéro, nous avons en effet un maximum lorsque 𝑡 égale un.

Nous essayons de trouver la vélocité maximale de la particule. Et nous savons que cela se produit lorsque 𝑡 égale un. Trouvons donc la fonction de la vélocité et évaluons-la lorsque 𝑡 égale un. Nous avons dit que c’était l’intégrale de la fonction d’accélération. Nous intégrons donc moins cinq 𝑡 au carré plus cinq. Eh bien, cela nous donne moins cinq 𝑡 au cube sur trois plus cinq 𝑡 plus sa constante d’intégration 𝑐. Nous pouvons calculer cette constante d’intégration en utilisant le fait que la vélocité initiale de la particule est de zéro mètre par seconde. En d’autres termes, lorsque 𝑡 égale zéro, 𝑣 égale zéro. On substitue avec ces valeurs et on obtient zéro égale moins cinq fois zéro au cube sur trois plus cinq fois zéro plus 𝑐. Et cela nous dit que zéro égale 𝑐. Et notre expression finale pour la vélocité est moins cinq 𝑡 au cube sur trois plus cinq 𝑡.

Nous voulons connaître la vélocité maximale. Et nous avons vu que cela se produit lorsque 𝑡 égale un. Nous allons donc maintenant remplacer par 𝑡 égale un dans cette expression. C’est moins cinq fois un au cube sur trois plus cinq fois un, soit dix tiers. Et nous avons la première partie de notre solution. Le maximum est dix tiers. Et il est important de réaliser qu’il n’y a pas d’autre maximum au point d’extrémité où 𝑡 égale zéro, puisqu’il n’y a aucun autre point d’inflexion dans l’intervalle de zéro à un.

Nous allons maintenant calculer la distance 𝑥 qu’elle a parcourue avant d’atteindre cette vélocité. Il faut être un peu prudent ici. La distance est la version scalaire du déplacement. C’est la valeur absolue du déplacement. Nous savons que nous pouvons intégrer notre fonction de vélocité pour trouver une fonction de déplacement. Et ensuite, nous pouvons évaluer cela entre un et zéro pour déterminer le déplacement total. Ce que nous allons faire pour vérifier si cela va nous donner la même valeur que la distance est de vérifier la forme de la représentation graphique. Si la courbe se situe entièrement au-dessus ou en dessous de l’axe des 𝑥, alors nous savons que la valeur absolue du déplacement sera égale à la distance. Eh bien, entre zéro et un, la représentation graphique se situe bien au-dessus de l’axe des 𝑥 ou, dans ce cas, de l’axe des 𝑡.

La distance totale parcourue sera donc donnée par l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑡 délimitée par les droites 𝑡 égale zéro et 𝑡 égale un. C’est simplement l’intégrale définie entre zéro et une des fonctions de vélocité par rapport au temps. L’intégration nous donne moins cinq 𝑡 à la puissance quatre sur 12 plus cinq 𝑡 au carré sur deux. Et lorsque nous évaluons cela entre un et zéro, nous obtenons comme résultat moins cinq sur 12 plus cinq sur deux moins zéro, soit 25 douzièmes. 𝑣 max est égale à dix tiers et la distance 𝑥 qu’elle parcourt avant d’atteindre 𝑣 max est de 25 sur 12 mètres.

Dans cet exemple, nous avons vu que nous pouvons utiliser une intégration définie pour évaluer la distance totale parcourue par une particule. Nous allons voir un autre exemple de cette forme.

Une particule se déplace le long de l’axe des 𝑥 avec une vélocité 𝑣 mètres par seconde de 𝑣 égale cos 𝑡. Déterminez la distance totale parcourue pendant l’intervalle de temps zéro est inférieur ou égal à 𝑡, qui est inférieur ou égal à trois 𝜋 par 𝑡.

Il faut être prudent ici. Rappelez-vous, la distance est l’amplitude du déplacement. Nous trouvons le déplacement en évaluant l’intégrale de la fonction pour la vélocité. Bien sûr cela peut être considéré comme l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥. Le problème que nous avons ici est que cos 𝑡 est à la fois positif et négatif sur l’intervalle de temps 𝑡 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à trois 𝜋 par deux. Nous allons donc évaluer ceci en deux parties.

Nous dirons que la distance totale parcourue est égale à la somme de l’amplitude du déplacement entre 𝑡 égale zéro et 𝑡 égale 𝜋 par deux et celle du déplacement entre 𝑡 égale 𝜋 par deux et trois 𝜋 par deux. L’amplitude du déplacement entre 𝑡 égale zéro et 𝑡 égale 𝜋 par deux est assez simple. C’est l’intégrale définie de cos 𝑡 évaluée entre zéro et 𝜋 par deux. L’amplitude du déplacement entre 𝜋 par deux et trois 𝜋 par deux est cependant un peu plus délicate. Comme cette partie de la représentation graphique se trouve sous l’axe des 𝑥, nous savons que nous allons nous retrouver avec une valeur négative en intégrant. On peut donc dire que l’amplitude est égale à l’intégrale négative de cos 𝑡 entre 𝜋 par deux et trois 𝜋 par deux ou l’intégrale évaluée entre trois 𝜋 par deux et 𝜋 par deux de cos 𝑡.

N’oubliez pas qu’inverser nos limites n’a pour effet que de changer le signe de notre solution. L’intégrale de cos 𝑥 d𝑥 est sin 𝑥 plus 𝑐. Donc l’intégrale de cos 𝑡 est sin 𝑡. Et nous n’avons pas besoin de cette constante d’intégration puisque nous avons une intégrale définie. Evaluons ceci entre nos limites et nous obtenons sin 𝜋 par deux moins sin zéro sin 𝜋 par deux moins sin trois 𝜋 par deux. Sin 𝜋 par deux est un et sin zéro est zéro. Nous savons aussi que sin trois 𝜋 par deux est moins un. Nous avons donc un moins zéro plus un moins moins un, soit trois. Et nous pouvons donc dire que la distance totale parcourue pendant l’intervalle de temps 𝑡 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à trois 𝜋 par deux est de trois mètres.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser l’intégration pour dériver les fonctions de vélocité et de déplacement à partir des fonctions d’accélération et de vitesse, respectivement. Nous avons également vu que nous pouvons intégrer deux fois une fonction d’accélération pour nous aider à trouver une fonction de déplacement, mais que nous avons besoin de valeurs initiales pour la vélocité et le déplacement pour trouver une solution particulière. Nous avons également vu que des intégrales définies peuvent être utilisées pour nous aider à déterminer le déplacement total ou la distance parcourue. Mais dans ce dernier cas, nous devrons considérer la forme de la représentation graphique avant de l’évaluer.

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