Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à appliquer le calcul intégral dans le cadre de la résolution de problèmes impliquant un mouvement en ligne droite.
Lorsqu’une particule se déplace en ligne droite, on décrit sa position avec une seule coordonnée qui correspond à sa position sur cette droite. En appelant cette droite l’axe des , la position de la particule au temps est alors donnée par la fonction . On définit le déplacement de la particule comme étant sa variation de position ; par conséquent, est le déplacement de la particule au temps par rapport au temps .
Nous savons que la vitesse instantanée est le taux de variation de la position au cours du temps, . Ici, comme nous travaillons en dimension égale à 1 (1D), le vecteur vitesse au temps est donné par où est un vecteur unitaire le long de l’axe des . La quantité est, par conséquent, la composante du vecteur vitesse le long de l’axe du mouvement, défini ici comme étant l’axe des . Remarquons que nous pouvons définir les vecteurs de position et de déplacement de la même façon :
Nous allons apprendre comment calculer la variation de position, c’est-à-dire le déplacement, lorsque l’on connait la fonction .
Si la vitesse est constante, alors il est facile de voir que le déplacement au cours d’une période est donné par
En représentant graphiquement la vitesse en fonction du temps, on peut constater que le déplacement est donné par l’aire du rectangle de longueur et de largeur .
Lorsque la vitesse varie avec le temps, le déplacement est, là encore, donné par l’aire sous la courbe de .
Comment calculer le déplacement, sur une période donnée, à partir de la fonction vitesse
Puisque , le déplacement , c’est-à-dire la variation de position d’une particule se déplaçant en ligne droite entre et , est donné par
On voit que le déplacement sur une période est donné par l’intégrale de la fonction vitesse entre les temps et .
Appliquons cette formule sur un premier exemple.
Exemple 1: Calculer le déplacement sur une période donnée à partir de la fonction vitesse
Une voiture, d’abord à l’arrêt, commence à se déplacer en ligne droite à partir d’un point fixe. Sa vitesse après est donnée par , avec .
Calculez le déplacement de la voiture au temps .
Réponse
Puisque la vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps, on peut trouver la variation de position entre et en intégrant la fonction de vitesse entre ces deux temps :
Puisque la vitesse est exprimée en m/s et que nous calculons l’intégrale par rapport à , qui est exprimée en secondes, on obtient un déplacement exprimé en mètres.
Au temps , le déplacement de la voiture est égal à 2 187 m.
Puisque la vitesse instantanée est la dérivée de par rapport au temps, alors la position est une primitive de la vitesse . Nous pouvons l’écrire avec une intégrale indéfinie :
Puisque le déplacement est défini comme une variation de position par rapport à une position à un instant donné , alors . Par conséquent, et la fonction de déplacement est également une primitive de :
Une primitive n’est pas définie de façon unique par sa dérivée puisque l’ajout d’une constante additive ne change pas la dérivée. On dit que toutes les fonctions primitives sont définies à une constante additive près, appelée constante d’intégration. La condition initiale sur la position (c’est-à-dire la position à un instant donné) ou sur le déplacement nous permet de calculer cette constante d’intégration et donc de déterminer la bonne fonction de position ou de déplacement.
Voyons comment procéder sur l’exemple suivant.
Exemple 2: Calculer la fonction de déplacement à partir de la fonction vitesse
Une particule se déplace en ligne droite et a, au temps , une vitesse donnée par , pour .
Sachant qu’initialement, cette particule est à 20 m d’un point fixe, calculez l’expression de son déplacement par rapport au point fixe au temps .
Réponse
Le déplacement de la particule à un instant donné est défini comme sa variation de position par rapport à un point fixe donné. Lorsque la particule se déplace en ligne droite, son déplacement est décrit par la fonction de déplacement , qui est une primitive de :
En substituant l’expression donnée à , on obtient
La forme générale d’une primitive de est , où est la constante d’intégration.
D’après l’énoncé, la particule étant initialement à 20 m du point donné, le déplacement, au temps , est de 20 m. Par conséquent, nous avons c’est-à-dire
La fonction de déplacement est donc
Notons que nous aurions pu résoudre cet exemple à l’aide d’une intégrale définie entre le temps donné pour la condition initiale et le temps . Nous avons en effet et, par conséquent,
Il en va de même pour la fonction de déplacement. Dans notre exemple précédent, nous écririons
Ces deux méthodes sont strictement équivalentes. Il est souvent plus rapide de trouver d’abord la primitive et ensuite d’utiliser la condition initiale pour déterminer la constante d’intégration, surtout lorsque la condition initiale n’est pas au temps .
Récapitulons la méthode de recherche de la fonction de déplacement à partir de la fonction de vitesse.
Comment déterminer la fonction de déplacement à partir de la fonction vitesse
Puisque , on trouve d’abord une primitive de de la forme , où est une fonction de telle que et où est une constante.
Ensuite, on utilise la condition initiale pour déterminer en résolvant
Étudions à présent l’accélération d’une particule se déplaçant en ligne droite. L’accélération instantanée est donnée par la dérivée de la vitesse par rapport au temps. Cela signifie que, de la même manière qu’une variation de position implique une vitesse non nulle, un variation de vitesse implique une accélération non nulle. De fait, les relations entre position et vitesse peuvent aussi s’appliquer entre la vitesse et l’accélération.
Comment calculer la variation de la vitesse sur une période à partir de la fonction d’accélération
La variation de la vitesse d’une particule se déplaçant en ligne droite entre les temps et est donnée par
Appliquons cette formule dans l’exemple suivant.
Exemple 3: Calculer la vitesse initiale à partir de la fonction d’accélération et de la vitesse à un temps donné
Une particule se déplace le long de l’axe des . Au temps , son accélération est donnée par , pour .
Sachant qu’au temps , la particule voyage à une vitesse égale à 28 m/s, quelle est sa vitesse initiale ?
Réponse
On nous donne ici la fonction d’accélération et la valeur de la vitesse au temps . On sait que dans le cas d’une particule se déplaçant en ligne droite, le changement de vitesse entre deux instants est donné par l’intégrale de l’accélération entre ces instants :
En prenant comme temps initial le temps (puisque ) et , on peut calculer la vitesse initiale recherchée. En substituant dans l’équation précédente par son expression, on obtient
Puisque , on a et, par suite
La vitesse initiale de la particule est égale à 8 m/s.
Comment calculer la fonction de vitesse à partir de la fonction d’accélération
De la même manière que nous pouvons déterminer la fonction de position ou de déplacement à partir de la fonction de vitesse, nous pouvons déterminer la fonction de vitesse à partir de la fonction d’accélération, puisque que la vitesse est une primitive de l’accélération :
Voyons dans l’exemple suivant comment déterminer la fonction vitesse à partir de la fonction accélération pour résoudre un problème.
Exemple 4: Calculer le temps nécessaire pour atteindre une certaine vitesse étant donné la fonction d’accélération et une vitesse
Une particule se déplaçant en ligne droite a une accélération égale à au temps . Si , combien de temps faut-il pour que la vitesse atteigne 50 m/s ? Donnez votre réponse au centième près.
Réponse
On nous donne ici la fonction d’accélération et la vitesse initiale et on nous demande de trouver le temps nécessaire pour que la vitesse atteigne 50 m/s. En d’autres termes, puisque le temps initial est , nous devons déterminer à quel temps nous avons . Nous pouvons calculer ce temps en calculant, dans un premier temps , puis en résolvant .
Puisque la particule a un mouvement rectiligne, on a En substituant par son expression dans l’équation précédente, on obtient
On peut trouver la constante d’intégration grâce au fait que :
Par conséquent, l’expression de la vitesse de la particule est donnée par
Nous voulons trouver le temps auquel , l’instant satisfaisant
En réarrangeant l’équation, on obtient
En utilisant le discriminant, on peut résoudre cette équation et on trouve deux solutions :
Puisque est un temps écoulé, exprimé en secondes, il s’agit d’une quantité positive. Par conséquent, n’est pas solution. Ainsi, nous avons démontré qu’il faut 4,88 secondes pour que la particule atteigne une vitesse de 50 m/s.
Étudions à présent un exemple dans lequel nous utilisons des propriétés de la dérivée pour déterminer la vitesse maximale d’une particule en mouvement.
Exemple 5: Calculer la vitesse maximale et la distance parcourue correspondante sachant la fonction d’accélération et la vitesse initiale
Une particule, initialement au repos, se déplace sur une ligne droite. Son accélération, après avoir commencé à se déplacer, est donnée par , avec . Calculez la vitesse maximale de la particule et la distance qu’elle a parcouru depuis son point de départ avant d’atteindre cette vitesse.
Réponse
Nous devons calculer la vitesse maximale de la particule. Dans le cadre de l’analyse des fonctions, il s’agit de trouver un extremum de fonction, ce qui est donné par les points qui annulent la dérivée. La dérivée de la vitesse est l’accélération. Par conséquent, nous cherchons le temps auquel .
On sait que , pour ; par conséquent, quand ; c’est-à-dire lorsque , puisque .
On remarque que l’accélération est strictement positive entre et , et est strictement négative par la suite. Cela signifie que, à partir du temps initial au repos, la particule commence à se déplacer dans le sens positif et que sa vitesse augmente entre et . À partir de , l’accélération étant strictement négative, la particule décélère jusqu’à ce que sa vitesse soit nulle — temps auquel la particule est momentanément au repos — puis la particule change de direction pour commencer à voyager dans la direction négative.
La vitesse atteint donc son maximum au temps .
Nous devons maintenant calculer la fonction vitesse pour trouver sa valeur (maximale) en .
On connaît l’expression de la fonction d’accélération et on sait que la particule est au repos au temps initial (c.-à-d, ). Ainsi, nous pouvons trouver la fonction de vitesse en calculant où est une constante, appelée constante d’intégration.
Puisque , nous avons
Par conséquent, et
La vitesse maximale est atteinte au temps ; par conséquent,
Pour trouver la distance parcourue durant cette première seconde, il suffit de calculer la valeur absolue du déplacement entre et , car la particule a toujours voyagé dans la même direction pendant cette période. Par conséquent, nous avons
On a donc et .
Il est important de noter que, si une distance est toujours positive, la composante du déplacement (ici en 1D) peut être négative. Ici, on savait que la particule s’était déplacée dans le sens positif durant la première seconde et nous n’avons utilisé les valeurs absolues dans l’exemple ci-dessus seulement pour faire preuve de rigueur.
Jusqu’à présent, nous avons seulement traité le cas où vitesse et accélération sont des fonctions du temps. Dans certains cas, l’accélération peut être une fonction de la position ou du déplacement. Considérons par exemple un mouvement rectiligne le long de l’axe des ; nous avons
Nous pouvons procéder à un changement de variable en utilisant la règle de dérivation des fonctions composées. Cela nous donne
Et comme , on obtient
En mettant les termes en d’un côté et les termes en de l’autre, on aboutit à
En intégrant de chaque côté, on trouve ce qui donne où est une constante d’intégration.
Comment déterminer la fonction de vitesse à partir de l’accélération donnée comme fonction du déplacement
On peut déterminer la fonction de vitesse à partir de l’accélération donnée en fonction du déplacement en intégrant l’accélération par rapport à . On obtient où est une constante d’intégration.
En utilisant les positions initiale et finale, et , et les vitesses initiale et finale, et , nous avons
Voyons comment appliquer cela dans le dernier exemple.
Exemple 6: Calculer la vitesse d’une particule sachant son accélération, exprimée en fonction du déplacement
Une particule, initialement au repos, suit un mouvement rectiligne. Son accélération , exprimée en mètres par seconde carrée, et la position de la particule par rapport à son point de départ, exprimée en mètres, satisfont l’équation . Calculez la vitesse de la particule lorsque .
Réponse
On nous donne l’accélération d’une particule se déplaçant en ligne droite en fonction du déplacement. Nous savons que la particule était initialement au repos, ce qui signifie que lorsque , puisque est mesurée par rapport au point de départ. Il convient de noter ici que est la distance par rapport au point de départ. Par conséquent, l’accélération étant toujours positive ( pour tout ), la vitesse ne change pas de direction. Le vecteur vitesse est alors donné par sa composante unique.
Nous devons trouver la vitesse lorsque .
On rappelle qu’en intégrant par rapport à , on obtient où est une constante d’intégration.
En utilisant les conditions initiales, nous avons
Comme est positif, nous avons
Quand , la vitesse de la particule est égale à .
Dans l’exemple ci-dessus, nous aurions également pu calculer la fonction vitesse. Avec où est une constante d’intégration, on obtient
Pour déterminer la constante , on utilise les conditions initiales, lorsque , ce qui nous donne
Par conséquent, nous avons c’est-à-dire
Dans notre exemple, la vitesse est toujours positive. C’est pour cette raison que nous avons pu prendre la racine carrée de et trouver une expression pour . En général, cependant, vous devez considérer la racine carrée et son opposé et utiliser les données à votre disposition pour décider quelle valeur est la bonne.
Résumons maintenant les points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Le déplacement d’une particule se déplaçant en ligne droite entre les instants et est donné par
- La position, notée , et le déplacement, noté , d’une particule se déplaçant en ligne droite sont des primitives de la vitesse :
- Dans le cas d’une particule se déplaçant en ligne droite, la variation de la vitesse entre deux temps et est donnée par
- La vitesse est une primitive de l’accélération :
- L’intégrale de l’accélération par rapport à est donnée par où est une constante d’intégration.
- En utilisant les positions initiale et finale, et , ainsi que les vitesses initiale et finale, et , nous avons
