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Étant donnés 𝑧 un égal à 20 fois cosinus de 𝜋 sur deux plus 𝑖 sinus de 𝜋 sur deux et 𝑧 deux égal à quatre fois cosinus de 𝜋 sur six plus 𝑖 sinus de 𝜋 sur six, déterminez 𝑧 un sur 𝑧 deux sous la forme trigonométrique.
Nous avons ici deux nombres complexes, tous les deux exprimés sous forme trigonométrique, et nous devons calculer leur quotient, également sous forme trigonométrique. L’écriture des nombres sous forme trigonométrique facilite grandement le calcul de leur produit ou de leur quotient. Pour calculer leur produit, il faut simplement multiplier leurs modules pour trouver le module du produit et additionner leurs arguments pour trouver l’argument du produit.
Mais comme nous souhaitons calculer ici leur quotient, nous devons ici diviser un module par l’autre et soustraire un argument à l’autre. En posant le quotient, on a 20 fois cos de 𝜋 sur deux plus 𝑖 sin de 𝜋 sur deux divisé par quatre fois cos de 𝜋 sur six plus 𝑖 sin de 𝜋 sur six. Et nous souhaitons l’exprimer sous forme trigonométrique, c’est-à-dire sous la forme 𝑟 fois cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃.
Nous trouvons la valeur de 𝑟, qui est le module du résultat, en divisant le module du numérateur, 20, par le module du dénominateur, quatre. Et cela nous donne un module de cinq.
Maintenant, nous devons simplement trouver l’argument du résultat, 𝜃. On soustrait pour cela l’argument du dénominateur à l’argument du numérateur. Donc 𝜃 est égal à 𝜋 sur deux moins 𝜋 sur six, ce qui fait 𝜋 sur trois.
Donc, notre réponse est cinq fois cos de 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de 𝜋 sur trois. Et remarquez comment l’écriture des trois nombres sous forme trigonométrique a permis de calculer ce quotient très facilement.
