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Une particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. À l’instant 𝑡 secondes, son déplacement depuis l’origine est donné par 𝑠 est égal à moins 𝑡 au cube plus quatre mètres, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. La lettre 𝑠 est utilisée pour désigner la position. Déterminez l’instant en lequel l’accélération de la particule est égale à neuf mètres par seconde au carré.
Voyons plus en détail le libellé de la question. La particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. Cela signifie qu’elle se déplace soit vers la gauche, soit vers la droite. Après 𝑡 secondes, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro, son déplacement depuis l’origine - c’est-à-dire sa variation de position par rapport à l’origine en mètres - est donné par la fonction 𝑠 de 𝑡 est égal à moins 𝑡 au cube plus quatre.
Substituons quelques valeurs de 𝑡 dans la fonction de déplacement de la particule 𝑠 afin d’avoir une meilleure idée du mouvement de la particule. En substituant 𝑡 est égal à zéro dans 𝑠 de 𝑡, nous avons obtenu moins zéro au cube plus quatre, soit quatre. Ainsi, la position de la particule à l’instant 𝑡 est égal à zéro secondes est à quatre mètres de l’origine. De même, le déplacement de la particule de l’origine à l’instant 𝑡 est égal à une seconde, 𝑡 est égal à deux secondes et 𝑡 est égal à trois secondes est de trois mètres, moins quatre mètres et moins 23 mètres, respectivement.
Marquons ces quatre valeurs comme étant les déplacements de la particule depuis l’origine sur l’axe des 𝑥. Nous pouvons clairement voir que la particule se déplace dans le sens des 𝑥 négatifs car lorsque 𝑡 devient plus grand, la fonction de déplacement 𝑠 devient plus petite dans le sens des 𝑥 négatifs. Plus rigoureusement, si 𝑡 un est plus grand que 𝑡 deux, alors 𝑡 un cube est plus grand que 𝑡 deux cube. Par conséquent, moins 𝑡 un cube est plus petit que moins 𝑡 deux cube, car la multiplication des deux côtés dans une inégalité par un nombre négatif inverse le signe de l’inéquation.
En ajoutant quatre aux deux côtés de l’inéquation, nous obtenons que 𝑠 de 𝑡 un est plus petit que 𝑠 de 𝑡 deux chaque fois que 𝑡 un est plus grand que 𝑡 deux. La question nous demande de déterminer le temps pour lequel l’accélération de la particule est de neuf mètres par seconde au carré. Puisque la particule se déplace dans le sens des 𝑥 négatifs, nous pouvons reformuler la question comme suit pour plus de clarté. Déterminez le temps pour lequel la particule accélère à une vitesse de neuf mètres par seconde au carré dans le sens des 𝑥 négatifs
Maintenant, rappelez-vous comment l’accélération est liée au déplacement. Si nous dérivons la fonction de déplacement d’un objet par rapport au temps, nous obtenons la fonction qui mesure la vitesse de l’objet. Si nous dérivons par rapport au temps la fonction qui mesure la vitesse, alors nous obtenons la fonction qui mesure l’accélération. Cela signifie que l’accélération est obtenue à partir du déplacement en la dérivant deux fois. Exprimons la vitesse de la particule en question.
La vitesse de la particule est moins trois 𝑡 mètres carrés par seconde. Ici, nous venons d’utiliser la formule standard pour dériver les termes de la forme 𝑐𝑡 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑡, où nous multiplions la constante 𝑐 par l’exposant 𝑛 et diminuons l’exposant par un. Notez que la vitesse de cette particule est toujours negative ou nulle car le terme moins trois 𝑡 au carré est égal à zéro pour 𝑡 est égal à zéro et est toujours négatif pour toute valeur de 𝑡 strictement supérieure à zéro. Cela signifie que la particule se déplace à une vitesse de trois 𝑡 carrés mètres par seconde dans le sens des 𝑥 négatifs.
Maintenant, travaillons sur la fonction qui mesure l’accélération de la particule. L’accélération de la particule est moins six 𝑡 mètres par seconde au carré. Notez que le fait de substituer une valeur de 𝑡 supérieure ou égale à zéro dans cette fonction donnerait un nombre négatif. Puisque la particule se déplace dans le sens des 𝑥 négatifs, cela signifie que la particule accélère à un taux de six 𝑡 mètres par seconde au carré dans le sens des 𝑥 négatifs.
Nous voulons trouver le temps 𝑡 auquel la particule accélère à un taux de neuf mètres par seconde au carré dans le sens des 𝑥 négatifs. Ainsi, nous devons résoudre l’équation six 𝑡 égale neuf. Ce faisant, nous avons obtenu que 𝑡 est égal à neuf sur six secondes, que nous pouvons réécrire comme trois sur deux secondes ou une seconde et demie. Ainsi, nous avons déterminé que la particule accélère à une vitesse de neuf mètres par seconde carrées dans le sens des 𝑥 négatifs à l’instant 𝑡 est égal à une seconde et demie.
