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On considère la représentation graphique suivante de la fonction affine 𝑓 de 𝑥. Lequel des graphiques suivants représente la fonction 𝑓 de deux 𝑥 ? Graphique (A), (B), (C) ou (D).
Dans cette question, nous avons la représentation graphique d’une fonction affine 𝑓 de 𝑥. Et nous devons l’utiliser pour identifier la représentation graphique de la fonction 𝑓 de deux 𝑥 dans une liste. Il y a plusieurs façons de le faire. Le moyen le plus simple est de rappeler exactement quelle transformation de 𝑓 de 𝑥 produit 𝑓 de deux 𝑥. On rappelle que pour une constante 𝑘, 𝑓 de 𝑘𝑥 est une dilatation horizontale d’un facteur un sur 𝑘 de la fonction 𝑓 de 𝑥. Et une façon de le visualiser est d’essayer d’entrer des valeurs de 𝑥 dans la fonction 𝑓 de 𝑘𝑥.
Par exemple, si on substitue 𝑥 égale 𝐴 sur deux et que l’on utilise notre valeur de 𝑘 égale à deux, on obtient 𝑓 de deux fois 𝐴 sur deux, ce qui est bien sûr égal à 𝑓 de 𝐴. Et dans ce cas, nous connaissons la valeur de 𝑓 de 𝐴. 𝐴 est le point d’intersection de la représentation graphique de 𝑓 avec l’axe des abscisses. Donc, 𝑓 de 𝐴 est simplement égal à zéro. Par conséquent, sur la nouvelle représentation graphique, le point d’intersection avec l’axe des abscisses va maintenant être en 𝐴 sur deux. Nous avons réduit de moitié la distance entre l’origine et le point d’intersection avec l’axe des abscisses. C’est-à-dire que nous l’avons dilatée horizontalement par un facteur un sur 𝑘. Nous pourrions donc à présent commencer à éliminer quelques réponses. Mais nous pouvons également tracer la représentation graphique de 𝑦 égale 𝑓 de deux 𝑥.
Nous savons déjà qu’elle coupe l’axe des abscisses en 𝐴 sur deux. Et, comme il s’agit d’une dilatation horizontale de la représentation graphique d’origine, elle doit passer par le point B. Comme il se trouve sur l’axe des ordonnées, il ne va en effet pas bouger lorsque l’on dilate la courbe horizontalement. Enfin, rappelez-vous que notre fonction d’origine est une fonction affine. Lorsqu’on la dilate d’un facteur un demi dans la direction horizontale, on obtient toujours une fonction affine. Nous pouvons donc relier ces deux points par une droite, ce qui nous donne la figure suivante. Et parmi les quatre options, on peut voir qu’il s’agit du graphique (B).
Par conséquent, à partir de la représentation graphique de la fonction affine 𝑓 de 𝑥, nous avons non seulement pu déterminer laquelle des quatre représentations graphiques correspondait à la fonction 𝑓 de deux 𝑥, mais nous avons également pu la tracer nous-mêmes en utilisant le fait que 𝑓 de deux 𝑥 était une dilatation horizontale par un facteur de un demi. Nous avons ainsi montré que la bonne réponse était le graphique (B).
