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Fiche explicative de la leçon : Transformations de fonctions : dilatation Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment identifier les transformations de fonctions impliquant des étirements ou des compressions horizontales et verticales.

Lorsqu’on a affaire aux fonctions, on veut très souvent obtenir le graphique pour visualiser et comprendre le comportement général. Couplé à la connaissance d’informations spécifiques telles que les racines, l’ordonnée à l’origine 𝑦, et tout maxima ou minima, tracer une représentation graphique de la fonction peut fournir une image complète du comportement exact connu, ainsi qu’une compréhension plus générale et qualitative. Une fois qu’on a une expression pour une fonction, on est ensuite intéressé par la façon dont cette fonction peut être écrite algébriquement quand elle est soumise à des transformations géométriques telles que des rotations, des réflexions, des translations et des dilatations.

Dans cette fiche explicative, nous allons étudier le concept de dilatation, qui est un terme générique pour étirer ou comprimer une fonction (dans ce cas, à l’horizontale ou la verticale) par un facteur d’échelle fixe. Géométriquement, de telles transformations peuvent parfois être assez intuitives à visualiser, bien que leur interprétation algébrique puisse sembler un peu contre-intuitive, en particulier lorsqu’on dilate à l’horizontale. En conséquence, nous allons commencer par étudier les dilatations verticales avant de passer à cette forme de dilatation légèrement plus délicate.

Définition : Dilatation verticale

Considérons une fonction 𝑦=𝑓(𝑥) tracée dans le plan cartésien 𝑥𝑦. On l’étire ou comprime à la verticale par un facteur d’échelle 𝑎, causant la transformation 𝑓(𝑥)𝑎𝑓(𝑥). En outre, les racines de la fonction sont inchangées, de même que les coordonnées 𝑥 de tous les points tournants. La valeur de l’ordonnée à l’origine 𝑦, ainsi que la coordonnée 𝑦 des points tournants, sera multipliée par le facteur d’échelle.

Nous allons démontrer cette définition en travaillant avec l’équation du second degré 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥2. Nous n’allons pas l’expliquer ici, mais cette fonction a deux racines, une lorsque 𝑥=1 et une autre lorsque 𝑥=2, avec l’ordonnée à l’origine 𝑦 de 2, ainsi qu’un minimum au point 12;94. Le graphique de la fonction 𝑦=𝑓(𝑥) est représenté ci-dessous.

À présent, nous allons étirer la fonction à la verticale par un facteur d’échelle de 3. Selon notre définition, cela signifie qu’il faut appliquer la transformation 𝑓(𝑥)3𝑓(𝑥) et donc représenter la fonction 𝑦=3𝑓(𝑥)=3𝑥𝑥2=3𝑥3𝑥6.

On peut étudier cette nouvelle fonction et constater que l’emplacement des racines est inchangé. Cependant, l’ordonnée à l’origine 𝑦 et le point minimum ont changé de position. La valeur de l’ordonnée à l’origine 𝑦 a été multipliée par le facteur d’échelle de 3 et a maintenant une valeur de 6. Bien qu’on ne donne pas la procédure ici, la coordonnée 𝑥 du minimum est également inchangée, bien que la nouvelle coordonnée 𝑦 soit trois fois la valeur précédente, ce qui signifie que la position du nouveau point minimum est 12;274. Cette information est résumée sur le graphique ci-dessous, avec la fonction initiale tracée en bleu et la nouvelle fonction tracée en violet.

De même, nous aurions pu choisir de comprimer la fonction 𝑓(𝑥) en la dilatant à la verticale par un facteur d’échelle d’un nombre compris entre 0 et 1. Par exemple, supposons que nous ayons choisi de la dilater à la verticale par un facteur d’échelle 13 en appliquant la transformation 𝑓(𝑥)13𝑓(𝑥). On trace alors la fonction 𝑦=13𝑓(𝑥)=13𝑥𝑥2=13𝑥13𝑥23.

Cette nouvelle fonction a les mêmes racines que 𝑓(𝑥) mais la valeur de l’ordonnée à l’origine 𝑦 est maintenant 23. En outre, la position du point minimum est 12;34. Cette nouvelle fonction est tracée ci-dessous en jaune, superposée sur le même repère que les deux précédentes.

À ce stade, il convient de noter que nous avons dilaté une fonction à la verticale uniquement avec un facteur d’échelle positif. Si nous avions choisi un facteur d’échelle négatif, nous aurions également réfléchi la fonction par rapport à l’axe horizontal. Cela est raisonnable, car on sait qu’une fonction 𝑓(𝑥) peut être réfléchie par rapport à l’axe horizontal en appliquant la transformation 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥). Par exemple, étirer la fonction à la verticale par un facteur d’échelle 2 peut être considéré comme étirer d’abord la fonction avec la transformation 𝑓(𝑥)2𝑓(𝑥), puis la réfléchir en prenant 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥). Cela nous permet de penser à la réflexion d’une fonction sur l’axe horizontal comme sa dilatation verticale par un facteur d’échelle de 1.

Supposons que nous ayons décidé d’effectuer une dilatation de la fonction donnée 𝑓(𝑥) de rapport 2 dans le sens vertical en utilisant la transformation 𝑓(𝑥)2𝑓(𝑥). Ensuite, on aurait tracé la fonction 𝑦=2𝑓(𝑥)=2𝑥𝑥2=2𝑥+2𝑥+4.

Une fois encore, les racines de cette fonction sont inchangées, mais l’ordonnée à l’origine 𝑦 a été multipliée par un facteur d’échelle 2 et a maintenant une valeur de 4. La coordonnée 𝑥 du minimum est inchangée, mais la coordonnée 𝑦 a été multipliée par le facteur d’échelle. Le nouveau point tournant est 12;92, mais il s’agit maintenant d’un maximum local et non un minimum local. La nouvelle fonction est tracée en vert et est superposée sur le même repère. On peut remarquer que la nouvelle fonction est la réflexion de la fonction 𝑦=2𝑓(𝑥) par rapport à l’axe horizontal.

Exemple 1: Exprimer les dilatations verticales en notation fonctionnelle

La fonction 𝑦=𝑓(𝑥) est comprimé à la verticale par un facteur d’échelle de 12. Écrivez, en termes de 𝑓(𝑥), l’équation de la fonction transformée.

Réponse

Dilater une fonction à la verticale par un facteur d’échelle 𝑎 donne la transformation 𝑓(𝑥)𝑎𝑓(𝑥). Étant donné que le facteur d’échelle donné est 12, la nouvelle fonction est 𝑦=𝑓(𝑥)2.

Au début, travailler avec des dilatations horizontales peut sembler contre-intuitif. Dans la mesure où c’est le cas, nous allons aborder le traitement des dilatations horizontales dans à peu près le même cadre que celui des dilatations verticales, en discutant des effets sur les points clés tels que les racines, l’ordonnée à l’origine 𝑦, et les points tournants de la fonction que nous étudions. Nous allons commencer par une définition pertinente, puis démontrer ces changements en utilisant la même fonction du second degré que nous avons précédemment utilisée.

Définition : Dilatation horizontale

Considérons une fonction 𝑦=𝑓(𝑥) tracée dans le plan cartésien 𝑥𝑦. On l’étire ou comprime à l’horizontale par un facteur d’échelle 𝑎 créant ainsi la nouvelle fonction 𝑓(𝑥)𝑓1𝑎𝑥. La valeur de l’ordonnée à l’origine 𝑦, ainsi que la coordonnée 𝑦 des points tournants, seront inchangées. Les racines de la fonction sont multipliées par le facteur d’échelle, de même que les coordonnées 𝑥 de tous les points tournants.

Nous allons utiliser la même fonction que précédemment pour comprendre les dilatations horizontales. Pour rappel, nous avions la fonction du second degré 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥2, dont la courbe représentative est ci-dessous. Nous savons que cette fonction a deux racines, une lorsque 𝑥=1, et une lorsque 𝑥=2, avec l’ordonnée à l’origine 𝑦- de 2, ainsi qu’un minimum au point de coordonnées 12;94.

Nous allons d’abord démontrer les effets de la dilatation horizontale. Nous allons choisir un facteur d’échelle arbitraire de 2 en utilisant la transformation 𝑓(𝑥)𝑓12𝑥, et notre définition implique que nous devons tracer la fonction 𝑦=𝑓12𝑥=𝑥2𝑥22=14𝑥12𝑥2..

Lorsqu’on analyse cette fonction, on constate que l’ordonnée à l’origine 𝑦 est inchangée et que la coordonnée 𝑦 du point minimum n’est pas affectée. Les racines de la fonction initiale étaient à 𝑥=1 et 𝑥=2, et on peut voir que les racines de la nouvelle fonction ont été multipliées par le facteur d’échelle et se trouvent à 𝑥=2 et 𝑥=4 respectivement. Il est difficile de le remarquer à partir du diagramme, mais la coordonnée 𝑥 du point minimum a également été multipliée par le facteur d’échelle, ce qui signifie que le point minimum a maintenant la coordonnée 1;94 , tandis que pour la fonction initiale c’était 12;94. Cette information est résumée dans le diagramme ci-dessous, sur lequel la fonction initiale est tracée en bleu et la fonction dilatée est tracée en violet.

Nous allons à présent explorer la définition ci-dessus en dilatant la fonction par un facteur d’échelle compris entre 0 et 1, et dans ce cas, nous allons choisir le facteur d’échelle de 12. Pour créer cet effet de dilatation à partir de la fonction initiale, on utilise la transformation 𝑓(𝑥)𝑓1𝑥, ce qui signifie qu’on doit tracer la fonction 𝑦=𝑓1𝑥=𝑓(2𝑥)=(2𝑥)(2𝑥)2=4𝑥2𝑥2.

Dans cette nouvelle fonction, l’ordonnée à l’origine 𝑦 et la coordonnée 𝑦 du point tournant ne sont pas affectées. Cependant, on pourrait en déduire que la valeur des racines a été divisée par deux, les racines étant désormais à 𝑥=12 et 𝑥=1. En outre, la coordonnée 𝑥 du point tournant a également été divisée par deux, ce qui signifie que la nouvelle position est 14;94. Ceci est résumé dans la représentation graphique ci-dessous, mais pas de façon très claire, sur laquelle la nouvelle fonction est tracée en jaune et sur le même repère que la précédente.

Dans notre prochaine démonstration, nous allons montrer les effets de la dilatation horizontale par un facteur d’échelle négatif. Comme pour la dilatation verticale, on prévoit qu’il y aura une symétrie axiale, même si cette fois c’est par rapport à l’axe vertical au lieu de l’axe horizontal. Nous allons choisir de dilater la fonction à l’horizontale par un facteur d’échelle 2, ce qui nécessitera la transformation 𝑓(𝑥)𝑓12𝑥. On trace alors la fonction suivante:𝑦=𝑓12𝑥=𝑓12𝑥=12𝑥12𝑥2=14𝑥+12𝑥2.

Cette nouvelle fonction a la même ordonnée à l’origine 𝑦 que 𝑓(𝑥), et la coordonnée 𝑦 du point tournant n’est pas modifiée par cette dilatation. Cependant, les racines de la nouvelle fonction ont été multipliées par 2 et sont maintenant à 𝑥=2 et 𝑥=4, alors qu’auparavant elles étaient à 𝑥=1 et 𝑥=2 respectivement. La coordonnée 𝑥 du point tournant a également été multipliée par le facteur d’échelle et la nouvelle position du point tournant est 1;94. Nous avons tracé la représentation graphique de la fonction dilatée ci-dessous, sur laquelle on peut voir l’effet de la réflexion sur l’axe vertical combiné à l’effet de l’étirement. Par souci de clarté, nous avons seulement tracé la fonction initiale 𝑓(𝑥) en bleu et la nouvelle fonction en violet.

Exemple 2: Exprimer les dilatations horizontales en notation fonctionnelle

La fonction 𝑦=𝑓(𝑥) est étirée à l’horizontale par un facteur d’échelle de 2. Écrivez, en termes de 𝑓(𝑥), l’équation de la fonction transformée.

Réponse

Dilater une fonction à l’horizontale par un facteur d’échelle 𝑎 donne la transformation 𝑓(𝑥)𝑓1𝑎𝑥. Comme le facteur d’échelle donné est 2, la transformation est 𝑓(𝑥)𝑓12𝑥 et donc la nouvelle fonction est 𝑦=𝑓𝑥2.

Comme nous l’avons déjà mentionné, il peut être utile de comprendre les dilatations en fonction des effets qu’elles ont sur les points clés d’une fonction, tels que l’ordonnée à l’origine 𝑦, les racines et les positions des points tournants. Si cette information est connue avec précision, alors il sera généralement suffisant de déduire la dilatation spécifique sans autre analyse. Si on a affaire exclusivement à une dilatation verticale, alors les coordonnées 𝑥 de tout point clé ne seront pas affectées. De même, si on a affaire exclusivement à une dilatation horizontale, alors les coordonnées 𝑦 ne seront pas affectées. Nous allons utiliser cette approche dans le reste des exemples de cette fiche explicative, où nous allons dilater uniquement à la verticale ou à l’horizontale.

Exemple 3: Identifier la représentation graphique d’une fonction après une dilatation

La figure est la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥).

Lequel des graphiques suivants représente 𝑦=12𝑓(𝑥)?

Réponse

La fonction 𝑦=12𝑓(𝑥) représente une dilatation verticale par un facteur d’échelle 12, ce qui signifie qu’il s’agit d’une compression. Sachant qu’on dilate la fonction à la verticale, les coordonnées 𝑥 de tous les points clés ne seront pas affectées, et nous allons plutôt porter notre attention sur les coordonnées 𝑦.

Cela signifie qu’on peut ignorer les racines de la fonction, et plutôt se concentrer sur l’ordonnée à l’origine 𝑦 de 𝑓(𝑥), qui est le point (0;2). Si on devait tracer la fonction 𝑦=12𝑓(𝑥), alors on diviserait la coordonnée 𝑦 par deux, donnant ainsi la nouvelle ordonnée à l’origine 𝑦 au point (0;1). D’après les graphiques donnés, le seul graphique qui respecte cette propriété est l’option (e), ce qui signifie que ce doit être le bon choix. Notez que les racines de cette fonction ne sont pas affectées par la dilatation donnée, ce qui indique que nous avons fait le bon choix.

La question suivante est un exemple assez typique de transformations graphiques, où une dilatation donnée est représentée graphiquement, ensuite on doit déterminer la transformation algébrique précise qui la représente. Malgré le fait que le style des questions soit légèrement plus avancé que dans l’exemple précédent, l’approche principale est pratiquement inchangée. En faisant attention au comportement des points clés, nous allons voir qu’il est possible de rapidement déduire cette information sans trop d’analyses supplémentaires.

Exemple 4: Exprimer une dilatation en notation fonctionnelle lorsque la dilatation est représentée graphiquement

La courbe rouge sur le graphique représente l’équation 𝑦=𝑓(𝑥) et la courbe verte représente l’équation 𝑦=𝑔(𝑥). Exprimez 𝑔(𝑥) comme une transformation de 𝑓(𝑥).

Réponse

Nous allons commencer par noter les points clés de la fonction 𝑓(𝑥) tracée en rouge. D’abord, l’ordonnée à l’origine 𝑦 est à l’origine, d’où le point (0;0), ce qui signifie que c’est aussi une racine de 𝑓(𝑥). Dilater à la verticale ou à l’horizontale n’aura aucun effet sur ce point, alors nous allons désormais l’ignorer.

Juste en regardant le graphique, on peut constater que la fonction a été étirée à l’horizontale, ce qui indique que la fonction a été dilatée à l’horizontale. Pour rendre cet argument plus précis, on note qu’en plus de la racine à l’origine, il y a aussi des racines de 𝑓(𝑥) lorsque 𝑥=2 et 𝑥=1, étant donc aux points (2;0) et (1;0). Cependant, dans la nouvelle fonction 𝑔(𝑥), tracée en vert, on peut voir qu’il y a des racines lorsque 𝑥=4 et 𝑥=2, étant donc aux points (4;0) et (2;0). Cela indique qu’on a dilaté par un facteur d’échelle de 2. La distance entre les racines et l’origine a doublé, ce qui signifie qu’on a en effet dilaté la fonction à l’horizontale par un facteur de 2.

On doit vérifier que les variations de tous les points tournants sont compatibles avec cette interprétation. On voit qu’il y a un maximum local de 𝑓(𝑥), qui se trouve à gauche de l’axe vertical, et qu’il existe un minimum local à droite de l’axe vertical. Maintenant en comparant avec 𝑔(𝑥), on peut voir que la coordonnée 𝑥, de ces points tournants semble avoir doublé, alors que la coordonnée 𝑦 n’a pas changé. Bien que cela ne confirme pas entièrement ce que nous avons trouvé, car on ne peut pas être précis avec les points tournants sur le graphique, il semble que cela soit en accord avec notre solution. Donc, on a la relation 𝑔(𝑥)=𝑓𝑥2.

Exemple 5: Déterminer les coordonnées d’un point sur une courbe après dilation de la fonction initiale

La figure est la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) et du point 𝐴. Le point 𝐴 est un maximum local. Identifiez le maximum local correspondant à la transformation 𝑦=𝑓(2𝑥).

Réponse

La transformation 𝑦=𝑓(2𝑥) représente une dilatation horizontale par un facteur d’échelle 12. Cela réduit de moitié la valeur des coordonnées 𝑥 des points clés, sans affecter les coordonnées 𝑦. En particulier, les racines de 𝑓(𝑥) à 𝑥=1 et 𝑥=3, respectivement, ont les coordonnées (1;0) et (3;0), qui se trouvent aussi être les deux minimums locaux de la fonction. Lorsqu’on considère la fonction 𝑦=𝑓(2𝑥), les coordonnées 𝑥 vont changer et donc avoir de nouvelles racines à 𝑥=12 et 𝑥=32, qui, respectivement, auront les coordonnées 12;0 et 32;0. En ce qui concerne le maximum local au point (2;1), la coordonnée 𝑥 sera divisée par deux et la coordonnée 𝑦 sera inchangée, ce qui signifie que le maximum local de 𝑦=𝑓(2𝑥) sera au point (1;1).

Cette fiche explicative a jusqu’ici examiné des fonctions continues lorsqu’elles sont définies sur l’axe réel, avec tous les comportements normaux, même s’ils sont compliqués. Cela n’est pas nécessairement le cas, et on pourrait avoir affaire à une fonction qui n’est pas continue ou qui est autrement décrite par élément. Dans ces situations, il n’est pas tout à fait approprié d’utiliser une terminologie telle que « racine », car ces termes sont normalement réservés aux fonctions continues. Cependant, les principes sont toujours applicables et on peut résoudre ces problèmes en utilisant certains points clés et les effets qu’ils subiront lors des dilatations verticales ou horizontales.

Exemple 6: Identifier la représentation graphique d’une fonction après une dilatation

Le diagramme suivant est la représentation graphique de la fonction 𝑦=𝑓(𝑥) pour 3𝑥3.

Lequel des graphiques suivants représente la fonction 𝑦=13𝑓(𝑥)?

Réponse

On note que la fonction coupe l’axe des 𝑦 au point (0;3) et l’axe des 𝑥 aux points 32;0 et 52;0. Il y a d’autres points faciles à identifier et à écrire sous forme de coordonnées. Par exemple, les points (3;3),(1;3) et (3;1).

La dilatation 𝑦=13𝑓(𝑥) correspond à une « aplatissement » verticale par un facteur de 3. Cela signifie que la fonction est « aplatie » par un facteur de 3, parallèle à l’axe des 𝑦. En ce qui concerne les effets sur les coordonnées connues de la fonction, tous les points notés auront leur coordonnée 𝑥 non affectée et leur coordonnée 𝑦 sera divisée par 3. En se référant aux points clés du paragraphe précédent, ils se transformeront respectivement en:32;0, 52;0, (3;1), (1;1) et 3;13.

Le seul graphique où la fonction passe par ces coordonnées est l’option (c). En regardant le graphique, on peut confirmer que cette fonction semble avoir été comprimé à la verticale par un facteur de 3.

Dans cette fiche explicative, nous avons uniquement eu affaire à des dilatations strictement dans l’axe vertical ou horizontal;nous n’avons pas considéré une dilatation qui se produit dans les deux sens simultanément. De telles transformations peuvent être difficiles à imaginer, même avec l’aide d’outils graphiques précis, surtout si l’un des facteurs d’échelle est négatif (ce qui implique une réflexion sur l’axe). Le résultat, cependant, est en réalité très simple à énoncer. On considère la fonction 𝑦=𝑓(𝑥) qu’on souhaite dilater par un facteur d’échelle 𝑎 à la verticale et un facteur d’échelle 𝑏 à l’horizontale. Alors, on obtient la nouvelle fonction en vertu de la transformation 𝑓(𝑥)𝑎𝑓1𝑏𝑥.

Notre travail jusqu’à présent dans cette fiche explicative peut être résumé avec le résultat suivant, qui décrit l’effet d’une dilatation simultanée dans les deux axes. Supposons que nous prenions n’importe quelle coordonnée sur le graphique de cette nouvelle fonction, que nous allons nommer (𝑥;𝑦). À présent, prenons la fonction initiale et dilatons-la par un facteur d’échelle 𝑎 à la verticale et un facteur d’échelle 𝑏 à l’horizontale pour obtenir une nouvelle fonction 𝑔(𝑥)=𝑎𝑓1𝑏𝑥. Alors, le point (𝑏𝑥;𝑎𝑦) se situe sur la représentation graphique de 𝑔(𝑥). Ce résultat généralise les résultats précédents sur les points spéciaux tels que les intersections, les racines et les points tournants.

Points clés

  • Une fonction 𝑓(𝑥) peut être dilatée à la verticale par un facteur d’échelle 𝑎 en créant la nouvelle fonction 𝑓(𝑥)𝑎𝑓(𝑥).
  • Lorsqu’on dilate une fonction à la verticale, les racines de la fonction restent inchangées, de même que les coordonnées 𝑥 de tous les points tournants.
  • Lorsqu’on dilate une fonction à la verticale, la valeur de l’ordonnée à l’origine 𝑦, ainsi que la coordonnée 𝑦 des points tournants, seront également multipliées par le facteur d’échelle.
  • Lorsqu’on dilate une fonction à la verticale par un facteur d’échelle négatif, elle est réfléchie sur l’axe horizontal, en plus de l’effet d’étirement / compression qui se produit lorsque le facteur d’échelle n’est pas égal à un facteur négatif. Cette transformation change les minima locaux en maxima locaux, et vice versa.
  • Une fonction 𝑓(𝑥) peut être dilatée à l’horizontale par un facteur d’échelle 𝑎 en créant la nouvelle fonction 𝑓(𝑥)𝑓1𝑎𝑥.
  • Lorsqu’on dilate une fonction à l’horizontale, son ordonnée à l’origine 𝑦 est inchangée, de même que la coordonnée 𝑦 des points tournants.
  • Lorsqu’on dilate une fonction à l’horizontale, ses racines sont étirées par le facteur d’échelle, de même que la coordonnée 𝑥 des points tournants.
  • Lorsqu’on dilate une fonction à l’horizontale par un facteur d’échelle négatif, celle-ci est réfléchie par rapport à l’axe vertical, en plus de l’effet d’étirement / compression qui se produit lorsque le facteur d’échelle n’est pas égal à moins un. Cette transformation n’affecte pas la classification des points tournants.
  • On peut dilater dans les deux sens, avec un facteur d’échelle 𝑎 à la verticale et un facteur d’échelle 𝑏 à l’horizontale, en utilisant la transformation 𝑓(𝑥)𝑎𝑓1𝑏𝑥.

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