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Vidéo de la leçon : Transformations de fonctions : Dilatation Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier les transformations de fonctions impliquant des étirements ou des compressions horizontales et verticales.

15:00

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment identifier les transformations de fonctions impliquant des étirements ou des compressions horizontales et verticales. Après avoir regardé cette vidéo, vous saurez identifier les graphiques des dilatations ou des étirements horizontaux et verticaux, et comment ces transformations sont décrites sous la forme de fonctions.

Rappelons d’abord ce qu’est une fonction. Une fonction est comme une machine. Il y a une entrée et une sortie. La valeur de la sortie s’obtient par une opération ou série d’opérations sur l’entrée. Par exemple, prenons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus cinq. L’entrée est 𝑥, la sortie est deux 𝑥 plus cinq. Les opérations effectuées par la machine sont : multiplier par deux, puis additionner cinq. Étudions à présent deux types de transformations. Il s’agit des dilatations horizontales, c’est-à-dire parallèles à l’axe des 𝑥, et des dilatations verticales. Celles-ci sont parallèles à l’axe des 𝑦.

Prenons une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Pour cette fonction, prenons une valeur de 𝑥, remplaçons-la dans la fonction ; nous obtenons une sortie, une valeur pour 𝑦. Imaginons ensuite que nous multiplions par deux l’ensemble de la fonction, et l’ensemble de la sortie. Donc 𝑦 est égale à deux fois 𝑓 de 𝑥. Quel est l’effet de la multiplication par deux de la fonction ? Dans ce cas, on substitue la valeur de 𝑥 comme d’habitude. Mais ensuite, on prend le résultat et on le multiplie par deux. Ça a pour effet de doubler toutes les sorties, toutes les valeurs de 𝑦. Alors, à quoi ressemblera la courbe ? Eh bien, pour chaque valeur de 𝑥, l’image devient deux fois plus grande. Donc, si on prend ce point sur la courbe d’origine, la valeur de 𝑦 devient deux fois plus grande. C’est quelque part ici.

C’est la même chose pour cette valeur sur la courbe initiale ; la sortie devient deux fois plus grande. Donc, c’est quelque part ici. Finalement, le graphique ressemble à peu près à ça. Notez que les points où la courbe coupe l’axe des abscisses restent les mêmes. C’est parce que, en ces points-là, la sortie 𝑦 est nulle. Or, deux fois zéro, ça donne toujours zéro. La transformation qui change la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 en la fonction 𝑦 égale deux 𝑓 de 𝑥 est un étirement vertical. Mais on l’appellera plutôt dilatation par un facteur de deux parallèlement à l’axe des 𝑦.

En général, on dira que pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale à 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥, où 𝑎 une constante réelle, est une dilatation par un facteur 𝑎 parallèlement à l’axe des 𝑦. Autrement dit, il s’agit d’un étirement vertical d’un facteur 𝑎. Passons à un autre type de transformation. Imaginons maintenant que 𝑦 soit égale à 𝑓 de deux 𝑥. Cette fois, on multiplie chaque valeur de 𝑥 par deux, puis on la substitue dans la formule. On substitue dans la fonction une valeur deux fois plus grande que la valeur initiale, et on obtient le résultat associé. Ça donne l’impression d’accélérer la fonction et de la terminer deux fois plus vite.

Et donc, ce point de la fonction initiale sera complété en deux fois moins de temps. Il sera quelque part ici. De même, sera complété en deux fois moins de temps. Quelque part par là. Faisons de même avec les points restants, voici le graphique obtenu. Il s’agit d’un étirement, d’une dilatation horizontale par un facteur d’un demi, parallèlement à l’axe des 𝑥. D’une façon générale, on dira que pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑓 de 𝑏 fois 𝑥, où 𝑏 est une constante réelle, est une dilatation de facteur un sur 𝑏 parallèlement à l’axe des 𝑥. Autrement dit, c’est une compression horizontale. Maintenant que ces définitions ont été vues, passons à quelques exemples.

La fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est étirée dans la direction verticale d’un facteur d’un demi. Exprimez, en fonction de 𝑓 de 𝑥, l’équation de la fonction transformée.

Une autre façon de parler d’un étirement est de dire que la fonction a été dilatée ou étirée, selon l’usage de votre pays. Donc, rappelons que pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥 donne un étirement ou une dilatation verticale de facteur 𝑎. Maintenant, comparons cette définition à notre question. On a la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 étirée dans la direction verticale, et le facteur est un demi.

Donc, si on compare ça à la définition, on obtient 𝑎 égale un demi. Puisque 𝑦 est égale à 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥 correspond à un étirement vertical de facteur 𝑎, on obtient un étirement vertical de facteur un demi en écrivant 𝑦 égale un demi de 𝑓 de 𝑥. Multiplier par un demi, c’est diviser par deux. Donc, on peut aussi dire, en fonction de 𝑓 de 𝑥, que l’équation de notre fonction transformée est 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 sur deux.

Prenons un exemple similaire.

La fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est étirée dans la direction horizontale d’un facteur de deux. Écrivez, en fonction de 𝑓 de 𝑥, l’équation de la fonction transformée.

Rappelons comment s’obtient un étirement ou une dilatation d’une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. On sait que pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑓 de 𝑏 fois 𝑥 représente un étirement ou une dilatation horizontale de facteur un sur 𝑏. Comparons cette définition à notre question. Nous avons une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 étirée horizontalement. Le facteur de cet étirement ou de cet étirement est de deux. Si on compare ça à la définition, le facteur est un sur 𝑏, on obtient donc : un sur 𝑏 égale deux.

Pour résoudre cette équation en 𝑏, commençons par multiplier chaque côté par 𝑏. On obtient un égale deux 𝑏. Ensuite, divisons par deux chaque côté de cette équation, on obtient un demi égale 𝑏, soit 𝑏 égale un demi. Cela signifie que pour une dilatation horizontale de facteur deux, notre fonction devient 𝑦 égale 𝑓 d’un demi 𝑥. Or, multiplier par un demi revient bien sûr à diviser par deux, donc on peut écrire un demi de 𝑥 comme 𝑥 sur deux. Ça veut dire que l’équation de la fonction transformée est 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 sur deux.

Voyons maintenant comment identifier un graphique à partir de l’équation de la fonction transformée.

Le graphique représente la courbe 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥. Lequel de ces graphiques représente 𝑦 égale un demi de 𝑓 de 𝑥 ?

Regardons d’abord l’équation de la fonction transformée. La multiplication par un scalaire, c’est-à-dire une constante réelle, qui représente une dilatation ou un étirement. En fait, lorsqu’on multiplie la fonction 𝑓 de 𝑥 par un scalaire, on obtient une dilatation verticale d’un facteur égal à ce nombre. Ici, nous allons donc étirer verticalement la courbe initiale d’un facteur d’un demi. Ça ressemblera à une compression verticale. Pour identifier le bon graphique, nous allons identifier certains des points clés de notre courbe.

Tout d’abord, considérons ce point ici. Il se situe sur l’axe des 𝑦 en deux. Si on compresse ou on étire verticalement le graphique par un facteur d’un demi, il se retrouve à une valeur de 𝑦 deux fois plus petite. Il se retrouve sur l’axe des 𝑦 en zéro, un. De même, prenons le point 1,5, moins 0,6. Réduisons de moitié la valeur de l’ordonnée 𝑦. L’abscisse 𝑥 reste toujours la même, donc le point se retrouve en 1,5, moins 0,3. Et donc, ça ressemble à quelque chose comme ça. Si on compare aux graphiques proposés, on constate que le seul qui correspond à ce critère et le seul qui passe par l’axe des 𝑦 en un, est (B). Le graphique de 𝑦 égale à un demi de 𝑓 de 𝑥 est donc (B).

Essayons d’identifier les équations des autres graphiques. En regardant le graphique (A), on constate qu’il a été étiré par un facteur deux. Son équation est donc 𝑦 égale deux fois 𝑓 de 𝑥. Le graphique (C), quant à lui, a été comprimé par un facteur un demi. Mais cette fois, c’est dans la direction horizontale. Pour obtenir une dilatation horizontale d’un facteur un demi, il faut multiplier les valeurs de 𝑥 par deux. Donc l’équation associée à ce graphique est 𝑦 est égale à 𝑓 de deux 𝑥.

Ensuite, en regardant le graphique (D), on constate quelque chose de similaire. Il a été étiré dans le sens horizontal mais par un facteur deux. Pour l’obtenir, il faut multiplier toutes les valeurs de 𝑥 par un demi. Donc, le graphique (D) a pour équation 𝑦 égale 𝑓 d’un demi 𝑥. Pour le graphique (E), c’est encore une autre histoire. Il représente une combinaison d’étirements. Il y a un étirement vertical d’un facteur deux, et horizontal d’un facteur deux. L’équation associée est donc une combinaison de (A) et (D). C’est-à-dire 𝑦 égale deux fois 𝑓 d’un demi 𝑥. La bonne réponse est (B).

Examinons maintenant un autre exemple impliquant de reconnaître les graphiques de dilatation de fonctions.

La courbe rouge représente l’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, et la courbe verte représente l’équation 𝑦 égale 𝑔 de 𝑥. Exprimez 𝑔 de 𝑥 comme transformation de 𝑓 de 𝑥.

Commençons par comparer les courbes rouge et verte de ce graphique. Les deux courbes passent par l’origine, le point zéro, zéro. Alors, comparons ce point de la courbe rouge, ce maximum local, au maximum local de la courbe verte. La valeur de l’ordonnée 𝑦 reste la même. La valeur de l’abscisse 𝑥 est quant à elle doublée. Elle passe d’environ moins 1,25 à moins 2,5. Considérons ce minimum local et comparons-le au minimum local de la courbe verte. Encore une fois, la valeur de l’ordonnée 𝑦 reste la même. L’abscisse 𝑥, quant à elle, est doublée. Elle passe approximativement de 0,5 sur la courbe rouge à un sur la courbe verte.

Quelle est la transformation permettant de passer de la courbe rouge à la courbe verte ? On peut observer qu’elle a été étirée parallèlement à l’axe des 𝑥. C’est ce qu’on appelle une dilatation ou un élargissement horizontal. Puisque tout a été doublé suivant l’axe des 𝑥, on peut en conclure que cette dilatation horizontale est d’un facteur de deux. Comment exprimer cela sous forme de fonction ? Rappelons que pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑓 de 𝑏 fois 𝑥, où 𝑏 est une constante réelle, qui représente un étirement horizontal d’un facteur un sur 𝑏. Comparons notre facteur à celui de la définition générale.

On obtient : un sur 𝑏 égale deux. Pour en déduire la valeur de 𝑏, multiplions par 𝑏 de chaque côté de cette équation puis divisons par deux, on obtient alors un demi égale 𝑏, c’est-à-dire 𝑏 égale un demi. On peut donc dire que la courbe verte a pour équation 𝑦 égale 𝑓 d’un demi 𝑥. Mais, bien sûr, nous avons dit que la courbe verte avait pour équation 𝑦 égale 𝑔 de 𝑥. On peut donc dire que 𝑔 de 𝑥 doit être égale à 𝑓 d’un demi 𝑥. Nous pouvons simplifier en écrivant un demi de 𝑥 comme 𝑥 sur deux. 𝑔 de 𝑥, en tant que transformation de 𝑓 de 𝑥, s’écrit donc 𝑔 de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥 sur deux.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment trouver les coordonnées d’un point sur un graphique après une dilatation.

Le graphique représente l’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et le point 𝐴. Le point 𝐴 est un maximum local. Identifiez le maximum local correspondant pour la transformation 𝑦 égale 𝑓 de deux 𝑥.

Rappelons d’abord la transformation qui change la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 en la courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de deux 𝑥. Nous savons que pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑓 de 𝑏 fois 𝑥 est une dilatation horizontale de facteur un sur 𝑏. Et donc, en comparant l’équation 𝑦 égale 𝑓 de deux 𝑥 à l’équation générale 𝑦 égale 𝑓 de 𝑏𝑥, on voit qu’on a une dilatation horizontale. Trouvons le facteur en écrivant 𝑏 égale à deux.

Nous obtenons que pour notre fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑓 de deux 𝑥 est une dilatation horizontale par un facteur un demi. Autrement dit, il s’agira d’une compression du graphique suivant l’axe des 𝑦. Ça donne à peu près ceci. Appelons A prime la coordonnée du maximum local sur notre transformation. Nous pouvons voir que son ordonnée 𝑦 reste la même, mais son abscisse 𝑥 est divisée par deux. Donc, 𝐴 prime est deux sur deux, un, ou un, un. On voit donc que le maximum local correspondant à la transformation 𝑦 égale 𝑓 de deux 𝑥 est en un, un.

Dans le dernier exemple, nous verrons comment dessiner une transformation par dilatation.

Le graphique représente la courbe de la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 pour des valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à moins trois et inférieures ou égales à trois. Dessinez la courbe de 𝑦 égale un tiers de 𝑓 de 𝑥 dans le même repère.

Commençons par rappeler quelle transformation change 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 en 𝑦 égale un tiers de 𝑓 de 𝑥. Nous savons que pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥 correspond à une dilatation verticale par un facteur 𝑎. En comparant cela avec la fonction de notre question, on voit qu’il s’agit d’une dilatation verticale, mais nous allons prendre 𝑎 égale un tiers. Et donc, pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale un tiers de 𝑓 de 𝑥 est une dilatation verticale par un facteur d’un tiers. Procédons point par point.

Commençons par le point sur le côté gauche du graphe. Ce point a pour coordonnées moins trois, trois. En effectuant une dilatation ou un étirement vertical, on trouve un tiers de l’ordonnée 𝑦. Un tiers de trois vaut un, donc les coordonnées correspondantes sur notre graphique transformé sont moins trois, un. Comme il est étiré verticalement, il passera toujours au même endroit de l’axe des 𝑥. Qu’en est-il du point de coordonnées zéro, moins trois ? Encore une fois, l’abscisse 𝑥 reste la même, et l’ordonnée 𝑦 est divisée par trois ; on obtient zéro, moins un.

Procédons de même pour le point un, moins trois, on obtient le point de coordonnées un, moins un. Il se situe à nouveau au même endroit sur l’axe des 𝑥. Enfin, transformons le point de coordonnées trois, un. Divisons par trois l’ordonnée 𝑦, on obtient les coordonnées de ce point : trois, un tiers. Nous voyons donc à quoi ressemble le graphique de 𝑦 égale un tiers 𝑓 de 𝑥. Il s’agit d’une dilatation ou d’un étirement vertical de facteur un tiers.

Dans cette vidéo, nous avons appris qu’il existait deux manières de faire des dilatations. Pour une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, 𝑦 égale 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥, où 𝑎 est une constante réelle, représente une dilatation verticale de facteur 𝑎. De même, 𝑦 égale 𝑓 de 𝑏𝑥 représente une dilatation ou un étirement horizontal parallèle à l’axe des 𝑥. Le facteur vaut dans ce cas un sur 𝑏.

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