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Déterminez l’ensemble de définition de la fonction réelle d’expression 𝑓 de 𝑥 égal 𝑥 plus 48 sur 𝑥 au cube moins 343.
Rappelez-vous que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des antécédents qui ont une image par cette fonction. Et en fait, en examinant 𝑓 de 𝑥, nous obtenons un peu plus d’informations à son sujet. Il s’agit du quotient de deux polynômes. Cela signifie que c’est l’expression d’une fonction rationnelle. Que savons-nous alors de l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle ?
L’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble des nombres réels. Mais nous excluons toutes les valeurs de 𝑥 qui annulent le dénominateur. Et c’est parce que nous ne pouvons simplement pas diviser par zéro. Ainsi, l’ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 va être l’ensemble des nombres réels. Mais nous devons nous assurer que l’expression 𝑥 au cube moins 343 n’est jamais égale à zéro.
Ainsi, bien qu’apparaissant un peu contre-intuitif, nous allons la poser comme étant nulle et résoudre l’équation. Ceci nous donnera la ou les valeurs de 𝑥 que nous pouvons exclure de l’ensemble de définition de notre fonction. Posons 𝑥 au cube moins 343 égal zéro. Pour déterminer 𝑥, commençons par ajouter 343 aux deux membres, donc 𝑥 au cube égal 343. Ensuite, nous prenons la racine cubique de chaque membre. Donc 𝑥 égal racine cubique de 343.
La racine cubique de 343 est en fait égale à sept. Ainsi, lorsque 𝑥 égal sept, 𝑥 au cube moins 343 égal zéro. C’est donc la valeur de 𝑥 que nous excluons de l’ensemble de définition de notre fonction. L’ensemble de définition de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 est par conséquent l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble constitué de l’élément sept.
