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Fiche explicative de la leçon : Ensemble de définition des fonctions rationnelles Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier l'ensemble de définition d'une fonction rationnelle, et l'ensemble de définition commun à deux fonctions rationnelles ou plus.

On rappelle tout d’abord ce qu’est l’ensemble de définition d’une fonction. Lorsque l’on définit une fonction, on l’écrit généralement sous la forme 𝑓𝑋𝑌. Cela signifie que pour tout élément 𝑥𝑋, on associe par la fonction 𝑓 un élément 𝑦𝑌. Nous écrivons cela comme 𝑓(𝑥)=𝑦. Ici, 𝑋 est appelé l’ensemble de définition (ou domaine) de la fonction et 𝑌 est appelé l’ensemble d’arrivée (ou codomaine) de la fonction. Illustrons cette idée par le diagramme ci-dessous.

Ici, la fonction 𝑓 a pour ensemble de définition 𝑋={1;3;4}, et pour ensemble d’arrivée 𝑌={0;2;3;6}. En outre, l’ensemble image de 𝑓, qui contient les valeurs de 𝑓(𝑥), est {0;2;3}, qui est, dans le cas présent, strictement inclus dans l’ensemble d’arrivée. Si nous voulions écrire que 2 est associée à 1 par 𝑓, nous utiliserions la notation 𝑓(1)=2.

Prenons un exemple d’une fonction spécifique 𝑓𝑋𝑌 définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+7.

Ici, on peut considérer, sans problème, que l’ensemble de définition 𝑋 est l’ensemble des nombres réels , puisque nous pouvons déterminer la valeur de l’expression de la fonction pour toute valeur de 𝑥 réelle sans problème. On peut aussi bien définir l’ensemble d’arrivée 𝑌 de cette fonction comme étant , car pour tout 𝑥, on a 𝑓(𝑥). Nous n’avons pas besoin de le savoir pour cet exemple, mais l’ensemble image de cette fonction est 𝑓(𝑥)=[7;+[. Cette affirmation est vraie car 𝑥0 pour tout 𝑥 et donc 𝑓(𝑥) ne peut pas être inférieur à 7. En revanche, plus 𝑥 devient plus grand, plus 𝑥 augmente également, et ce-dernier tend même vers +.

Rappelons qu’une fonction polynomiale est une fonction de la forme 𝑓(𝑥)=𝑎+𝑎𝑥+𝑎𝑥++𝑎𝑥.

L’expression 𝑥+7 ci-dessus est un polynôme du second degré. Typiquement, pour toute fonction polynomiale, nous souhaitons avoir 𝑋,𝑌. Cependant, comme nous allons le voir plus tard dans le cas de fonctions différentes, il est parfois nécessaire de restreindre l’ensemble de définition.

Rappelons qu’un nombre rationnel (ou une fraction) est un nombre quelconque de la forme 𝑝𝑞, 𝑝 et 𝑞 sont des entiers et 𝑞0. Il est important de rappeler que le dénominateur 𝑞 ne peut pas être nul car la division par zéro est une opération indéfinie. Nous pouvons étendre cette idée des nombres rationnels aux fonctions rationnelles, avec la définition suivante.

Définition : Fonctions rationnelles

Une fonction 𝑓𝑋𝑌 est une fonction rationnelle si elle peut être écrite sous la forme 𝑓(𝑥)=𝑝(𝑥)𝑞(𝑥),𝑝 et 𝑞 sont des fonctions polynomiales et que 𝑞(𝑥)0 pour tout 𝑥𝑋.

Remarquons que l’ensemble de définition 𝑋 de la fonction 𝑓 ne doit inclure aucun point 𝑥 tel que 𝑞(𝑥)0. Puisque 𝑞 est un polynôme, nous serons parfois amenés à calculer ses racines afin de déterminer les valeurs interdites de la fonction. Prenons par exemple la fonction suivante 𝑓(𝑥)=1𝑥2.

On peut dire que cette fonction n’est pas définie si 𝑥2=0, une équation que nous pouvons facilement résoudre et montrer que 𝑥 ne peut pas être égal à 2. Par conséquent, l’ensemble de définition de cette fonction est {2}, c’est-à-dire l’ensemble des nombres réels différents de 2. On note que l’ensemble d’arrivée de cette fonction est toujours et que, plus généralement, on peut définir l’ensemble d’arrivée de toute fonction rationnelle comme étant égal à .

Étudions un exemple plus compliqué, dans lequel il nous faut résoudre une équation du second degré pour pouvoir déterminer les valeurs pour lesquelles une fonction n’est pas définie.

Exemple 1: Déterminer les valeurs interdites d’une fonction rationnelle

Pour quelles valeurs de 𝑥 la fonction 𝑛(𝑥)=𝑥25𝑥12𝑥+32 n’est-elle pas définie?

Réponse

Pour déterminer les valeurs pour lesquelles 𝑛(𝑥) n’est pas définie, il suffit de prendre le dénominateur de la fraction, 𝑥12𝑥+32, et chercher quand il est égal à 0. En effet, quelle que soit la valeur prise par le numérateur 𝑥25, cela ne rend pas 𝑛(𝑥) indéfinie.

Ainsi, essayons de résoudre 𝑥12𝑥+32=0. Pour résoudre une équation du second degré, on peut essayer de la factoriser, ou bien utiliser la formule des racines du second degré. Ici, essayons de la factoriser en supposant 𝑥12𝑥+32=(𝑥𝑎)(𝑥𝑏)=𝑥(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏.

Ainsi, 𝑎 et 𝑏 doivent avoir leur somme est égale à 12 et leur produit est égal à 32. En essayant avec différents nombres, on peut constater que pour 𝑎=4 et 𝑏=8 ou vice versa, cela fonctionne. Par conséquent, nous avons 𝑥12𝑥+32=(𝑥8)(𝑥4)=0.

Ainsi, 𝑥=4 et 𝑥=8 sont les solutions de l’équation, et donc la fonction 𝑛(𝑥) n’est pas définie pour 𝑥=4;8.

Essayons de résoudre un problème similaire dans lequel nous devons déterminer l’ensemble de définition d’une fonction.

Exemple 2: Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle

Quel est l’ensemble de définition de la fonction définie par 𝑦=𝑥1𝑥+1?

Réponse

Pour déterminer l’ensemble de définition de cette fonction, nous devons déterminer les valeurs pour lesquelles elle n’est pas définie, c’est-à-dire les points pour lesquelles le dénominateur s’annule, 𝑥+1=0.

Pour résoudre une équation du second degré, on essaie d'habitude soit de la factoriser, soit d'appliquer la formule des racines du second degré. Toutefois, dans cet exemple, cela semble être impossible. En effet, en réarrangeant l’équation ci-dessus, on voit que 𝑥+1=0𝑥=1𝑥=1.

Puisque 1 est négatif, on ne peut pas en prendre la racine carrée (du moins pas si 𝑥). Cette équation n’a donc pas de solution. En d’autres termes, il n’y a pas de point tel que 𝑥+1=0 et la fonction rationnelle étudiée est donc bien définie pour toutes les valeurs. La fonction 𝑥1𝑥+1 a donc pour ensemble de définition .

Jusqu’à présent, nous avons étudié des exemples dans lesquels nous avons calculer les points pour lesquels des fonctions rationnelles n’étaient pas définies (et donc, par extension, leurs ensembles de définitions). Dans certains problèmes, il pourra nous être donné l’ensemble de définition d’une fonction, et on doit chercher quelles valeurs correspondent à cet ensemble. Voyons un exemple illustrant cette idée.

Exemple 3: Déterminer l’image d’une fonction d’ensemble de définition connu

Sachant que l’ensemble de définition de la fonction 𝑛(𝑥)=36𝑥+20𝑥+𝑎 est {2;0}, trouvez la valeur de 𝑛(3).

Réponse

La résolution de cette question se fait en deux étapes principales. D’abord, en déterminant les valeurs interdites de 𝑛, ce qui devrait nous permettre de déterminer la valeur de l’inconnue 𝑎. Ensuite, en substituant 𝑥=3 dans l’expression de 𝑛 pour trouver la réponse.

Pour commencer, on remarque que 𝑛 est donnée comme une somme de deux fonctions rationnelles distinctes. Pour calculer les points pour lesquels 𝑛 n’est pas définie, et donc son ensemble de définition, on doit déterminer les valeurs interdites de l’une et l’autre fonction rationnelles, puisque l’indéfinition de l’une entraine l’indéfinition de leur somme. Commençons par 36𝑥.

Il s’agit d’une fonction rationnelle simple, et on peut voir qu’elle n’est pas définie lorsque son dénominateur s’annule, 𝑥=0. Ensuite, on a 20𝑥+𝑎.

On voit ici que cette fonction n’est pas définie dès lors que le dénominateur vérifie 𝑥+𝑎=0. Cela est équivalent à 𝑥=𝑎.

On sait par ailleurs que l’ensemble de définition de la fonction est égal à {2;0}, ainsi 𝑛 ne peut être définie ni en 𝑥=0, ni en 𝑥=2. On peut voir que la valeur interdite 𝑥=0 provient du terme 36𝑥. Ainsi, 𝑥=𝑎 implique que 𝑥=2. En combinant ces deux équations, on a donc 𝑎=2 ou 𝑎=2. Cela nous donne, 𝑛(𝑥)=36𝑥+20𝑥+2.

Pour résoudre ce problème, nous pouvons finalement trouver la valeur de 𝑛(3). Après avoir calculé la valeur de 𝑎, il suffit de substituer 3 dans l’équation pour obtenir:𝑛(3)=363+203+2=12+4=16.

Dans cet exemple, nous avons envisagé l’idée que, lorsque l’on combine plusieurs fonctions rationnelles entre elles, on doit prendre en considération les ensembles de définitions de chacune des fonctions séparément lorsqu’on cherche l’ensemble de définition de la fonction qui en résulte. Dans la lignée de cette idée, nous allons introduire le concept d’ensemble de définition commun de deux ou plusieurs fonctions rationnelles. Supposons, pour donner un exemple simple, que nous ayons les fonctions suivantes:𝑓{0},𝑓(𝑥)=1𝑥,𝑔{2},𝑔(𝑥)=1𝑥2.

Ici, pour déterminer l’ensemble de définition commun, on prend simplement l'intersection des deux ensembles de définitions. Ainsi, l’ensemble de définition commun de ces deux fonctions correspond à ({0})({2})={0,2}.

Plus généralement, on peut prendre un nombre quelconque de fonctions, et leur ensemble de définition commun est simplement l’intersection de leurs ensembles de définitions. Ainsi, il nous suffit de déterminer les ensembles de définitions de chaque fonction individuellement et d’en prendre l’intersection. Étudions un exemple qui illustre ce concept.

Exemple 4: Déterminer l’ensemble de définition commun de trois fonctions rationnelles

Trouvez l’ensemble de définition commun aux fonctions 𝑛(𝑥)=9𝑥+9, 𝑛(𝑥)=8𝑥+3 et 𝑛(𝑥)=7𝑥𝑥4𝑥.

Réponse

Pour trouver l’ensemble de définition commun de ces trois fonctions, on doit d’abord déterminer séparément chacun de leur ensemble de définition. Tout d’abord, considérons 𝑛(𝑥)=9𝑥+9.

En étudiant le dénominateur 𝑥+9, on peut voir que 𝑛 n’est pas définie en 𝑥=9, car cela entrainerait alors une division par 0. Par conséquent, cette fonction est définie partout sauf en ce point, et son ensemble de définition est donc {9}. Ensuite, nous avons 𝑛=8𝑥+3.

De la même manière, on remarque que 𝑛 n’est pas défini lorsque 𝑥=3, de sorte que son ensemble de définition doit être égal à {3}. Enfin, on considère 𝑛=7𝑥𝑥4𝑥.

La fonction 𝑛 n’est pas définie lorsque le dénominateur 𝑥4𝑥 est nul. Ce dénominateur est un polynôme cubique;cependant, puisque 𝑥 est un facteur commun, ce polynôme se factorise aisément en:𝑥4𝑥=𝑥𝑥4=𝑥(𝑥2)(𝑥+2).

En déterminant ses racines, on constate que 𝑛 n’est pas défini pour 𝑥=0;2 ou 2. Ainsi, l’ensemble de définition de cette fonction est égal à {2;0;2}.

Finalement, nous prenons l’intersection de ces trois ensembles de définitions. Cette intersection est simplement privé de tous les points interdits de chacune des fonctions. Ainsi, l’ensemble de définition commun est {9,3,2,0,2}.

Enfin, étudions un exemple qui met en jeu tous les concepts abordés jusqu’ici.

Exemple 5: Déterminer l’image d’une fonction d’ensemble de définition donné

Si l’ensemble de définition commun de deux fonctions 𝑛(𝑥)=𝑥𝑥+64 et 𝑛(𝑥)=5𝑥+11𝑥𝑏 est {7;4}, déterminez la valeur de 𝑏.

Réponse

L’ensemble de définition commun est l’intersection des ensembles de définition de 𝑛 et de 𝑛. Afin de déterminer la valeur de 𝑏, on commence par calculer les ensembles de définition de 𝑛 et de 𝑛 que l’on comparera à {7,4}.

Pour commencer, considérons 𝑛(𝑥)=𝑥𝑥+64.

Pour trouver l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle, on détermine les points pour lesquelles le dénominateur est égal a 0. Dans ce cas, on voit que 𝑥+64=0𝑥=64𝑥=64.

Puisque 𝑥 doit être un nombre réel, cette équation n’a pas de solution;ainsi, 𝑥+640 pour tout 𝑥. L’ensemble de définition de 𝑛 est donc simplement .

Maintenant, avant de déterminer l’ensemble de définition de 𝑛, remarquons que, puisque l’ensemble de définition commun est {7,4}, nous avons {𝑛}{𝑛}={7,4}{𝑛}={7,4}.ensemblededénitiondeensemblededénitiondeensemblededénitionde

Étant donné que chaque point de l’ensemble de définition de 𝑛 appartient à , nous avons {𝑛}={7,4}.ensemblededénitionde

Cela montre que les valeurs interdites 4 et 7 doivent provenir de la fonction 𝑛. On rappelle que 𝑛 est définie par 𝑛(𝑥)=5𝑥+11𝑥𝑏.

Comme dans le cas de la fonction 𝑛, on détermine l’ensemble de définition de cette fonction en considérant les points où le dénominateur de 𝑛 est égal a 0. En d’autres termes, nous devons résoudre 𝑥+11𝑥+𝑏=0.

En temps normal, il ne serait possible de résoudre cette équation du second degré qu’en donnant ses solutions en fonction de 𝑏. Toutefois, puisque l’ensemble de définition de 𝑛={7;4}, les solutions de cette équation doivent correspondre aux valeurs interdites 4 et 7.

Un polynôme du second degré dont les racines sont 4 et 7 est de la forme (𝑥+4)(𝑥+7)=𝑥+11𝑥+28.

En comparant ce polynôme avec le dénominateur de la fonction 𝑛, nous avons 𝑥+11𝑥𝑏𝑥+11𝑥+28.

Ainsi, on trouve 𝑏=28.

Terminons par récapitulant les points clés que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Une fonction 𝑓𝑋𝑌 est une fonction rationnelle si elle peut être écrite sous la forme 𝑓(𝑥)=𝑝(𝑥)𝑞(𝑥),𝑝 et 𝑞 sont des fonctions polynomiales et telle que 𝑞(𝑥)0 pour tout 𝑥𝑋.
  • On peut déterminer l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle en résolvant 𝑞(𝑥)=0 au dénominateur et en excluant ces points de .
  • L’ensemble de définition commun de deux fonctions rationnelles ou plus peut être trouvé en prenant l’intersection de leurs ensembles de définition respectifs.

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