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Vidéo de la leçon : Domaine des fonctions rationnelles Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier le domaine d’une fonction rationnelle et le domaine commun de deux fonctions rationnelles ou plus.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier le domaine d’une fonction rationnelle et le domaine commun de deux fonctions rationnelles ou plus. Nous savons que le domaine d’une fonction est l’ensemble de toutes les entrées possibles de cette fonction, tandis que l’ensemble image est toutes les valeurs qu’on peut obtenir après avoir substitué le domaine.

Maintenant, pour les fonctions polynomiales, le domaine est simplement l’ensemble des nombres réels. Cela signifie qu’on peut substituer toute valeur réelle de 𝑥 dans une équation de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 zéro plus 𝑎 un 𝑥 jusqu’à 𝑎 𝑛 𝑥 puissance 𝑛 et le résultat sera bien défini. Cependant, il y a des moments où le domaine d’une fonction doit avoir des restrictions. Et cela est particulièrement important lorsqu’on a affaire à des fonctions rationnelles, c’est-à-dire une fonction de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥, où 𝑝 et 𝑞 sont des fonctions polynômiales et 𝑞 de 𝑥 n’est pas le polynôme zéro.

Maintenant, cette restriction sur 𝑞 est importante, car lorsqu’on divise par zéro le résultat est indéfini. On ne veut donc pas qu’un polynôme soit divisé par zéro. Et cela nous donne un indice sur comment trouver le domaine d’une fonction rationnelle. Rappelons que lorsqu’on détermine le domaine du quotient de deux fonctions, on cherche l’intersection des domaines des fonctions respectives. Mais on exclut en plus toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le dénominateur de l’expression est égal à zéro.

Puisque le domaine d’un polynôme est l’ensemble des nombres réels et qu’une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes, le domaine d’une fonction rationnelle est l’ensemble des nombres réels privé de toutes valeurs de 𝑥 pour lesquelles le dénominateur est égal à zéro. Nous allons utiliser cette définition dans le reste de cette vidéo. Donc, avec cela en tête, déterminons le domaine d’une fonction rationnelle qui implique des fonctions du second degré.

Pour quelles valeurs de 𝑥 la fonction 𝑛 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins 25 sur 𝑥 au carré moins 12𝑥 plus 32 est-elle indéfinie ?

Commençons par examiner la fonction 𝑛 de 𝑥. 𝑛 de 𝑥 est le quotient de deux polynômes. C’est-à-dire, une fonction polynomiale divisée par une autre fonction polynomiale. Afin d’identifier les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction est indéfinie, nous allons commencer par considérer le domaine d’une fonction rationnelle. Le domaine d’une fonction rationnelle est l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction est définie. Ainsi, si on considère l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction est définie, on peut rapidement identifier les valeurs pour lesquelles elle n’est pas définie.

Le domaine d’une fonction rationnelle est l’ensemble des nombres réels, mais on doit exclure toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le dénominateur de cette fonction est égal à zéro. Cela signifie que notre fonction sera définie sur l’ensemble des nombres réels sauf l’ensemble des nombres pour lesquels l’expression au dénominateur, 𝑥 au carré moins 12𝑥 plus 32, est égale à zéro.

Pour déterminer ces valeurs de 𝑥, nous allons définir le dénominateur comme égal à zéro et résoudre, on a, 𝑥 au carré moins 12𝑥 plus 32 est égal à zéro. Puisqu’on a une expression du second degré, on peut essayer de la résoudre en factorisant. Nous savons que nous devons avoir 𝑥 au début de chaque expression car 𝑥 fois 𝑥 nous donne 𝑥 au carré. Ensuite, nous devons trouver deux nombres dont le produit est 32 et dont la somme est moins 12. Bien, moins quatre fois moins huit est égal à plus 32 comme requis. Et moins quatre plus moins huit est en effet égal à moins 12.

On réécrit donc cette équation comme indiqué. 𝑥 moins quatre fois 𝑥 moins huit est égal à zéro. Ensuite, bien sûr, pour que le produit de ces deux expressions soit égal à zéro, nous savons qu’au moins une de ces expressions doit être égale à zéro. Ainsi, les solutions de notre équation sont les solutions des équations 𝑥 moins quatre égal à zéro et 𝑥 moins huit égal à zéro.

On résout la première équation en ajoutant quatre des deux côtés, on a donc 𝑥 est égal à quatre. Et on résout la deuxième équation en ajoutant huit des deux côtés, donc 𝑥 est égal à huit. Rappelons que, si on considère le domaine de 𝑛 de 𝑥, on sait que c’est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble qui contient les nombres pour lesquels le dénominateur est égal à zéro. Ainsi, le domaine de notre fonction est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble qui contient quatre et huit. Bien sûr, cela signifie que notre fonction est définie sur cet ensemble. Et par conséquent, elle est indéfinie lorsque 𝑥 est égal à quatre ou 𝑥 est égal à huit. Et donc nous voyons que la fonction 𝑛 de 𝑥 est indéfinie pour l’ensemble qui contient quatre et huit.

Nous allons maintenant considérer un deuxième exemple dans lequel on détermine le domaine d’une fonction rationnelle qui est le quotient de deux fonctions du second degré.

Quel est le domaine de la fonction 𝑦 égale 𝑥 au carré moins un sur 𝑥 au carré plus un ?

Rappelons que le domaine d’une fonction est l’ensemble de toutes les entrées possibles de cette fonction. Et si nous examinons soigneusement notre fonction 𝑦 égale 𝑥 au carré moins un sur 𝑥 au carré plus un, nous pouvons voir qu’il s’agit d’une fonction rationnelle. Autrement dit, c’est le quotient de deux polynômes. Nous allons donc nous rappeler ce que nous savons sur le domaine d’une fonction rationnelle. Le domaine d’une fonction rationnelle est l’ensemble des nombres réels, mais on exclut toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le dénominateur de la fonction est égal à zéro. Dans ce cas, la fonction est indéfinie pour toutes les valeurs de 𝑥 qui sont des racines de l’équation 𝑥 au carré plus un est égal à zéro. Pour établir pour quelles valeurs de 𝑥 ceci est vrai, résolvons cette équation.

Nous pouvons commencer par soustraire un des deux côtés, donc 𝑥 au carré est égal à moins un. Ensuite, on prend la racine positive et négative de moins un. Mais bien sûr, la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel. Et puisque nous avons dit que le domaine d’une fonction rationnelle est l’ensemble des nombres réels, il n’y a pas de valeurs de 𝑥 dans ce cas pour lesquels le dénominateur est égal à zéro. Nous pouvons donc dire que le domaine de notre fonction et l’ensemble des nombres pour lesquels elle est bien définie est juste l’ensemble des nombres réels.

Nous avons considéré quelques exemples dans lesquels nous avons examiné des fonctions rationnelles et calculé les points où elles sont indéfinies et, par extension, leurs domaines. Nous pouvons également avoir des problèmes où on nous donne le domaine d’une fonction, et nous devons l’utiliser pour trouver des valeurs manquantes. Prenons un exemple qui utilise ce concept.

Sachant que le domaine de la fonction 𝑛 de 𝑥 égale 36 sur 𝑥 plus 20 sur 𝑥 plus 𝑎, est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble qui contient moins deux, zéro, évaluez 𝑛 de trois.

𝑛 de 𝑥 est la somme de deux fonctions rationnelles. 36 sur 𝑥 et 20 sur 𝑥 plus 𝑎 sont les quotients de deux polynômes. Nous savons également qu’on peut déterminer le domaine de la somme de deux fonctions en considérant l’intersection de ces domaines. Commençons donc par comparer les domaines de 36 sur 𝑥 et de 20 sur 𝑥 plus 𝑎 au domaine qui nous a été donné, l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble qui contient moins deux, zéro. Cela nous permettra de trouver la valeur de 𝑎, ce qui nous permettra d’évaluer 𝑛 de trois.

Commençons par examiner l’expression 36 sur 𝑥. Rappelons que le domaine d’une fonction rationnelle est l’ensemble des nombres réels, mais on exclut toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le dénominateur est égal à zéro. Dans ce cas, le dénominateur est simplement 𝑥. On fixe donc 𝑥 comme égal à zéro, et on voit que 𝑥 égale zéro est une valeur qu’on doit exclure du domaine de cette fonction. Le domaine de 𝑛 de 36 sur 𝑥 est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble qui contient zéro. Nous allons maintenant considérer la seconde fonction rationnelle. On a 20 sur 𝑥 plus 𝑎. Cette fois, le domaine est l’ensemble des nombres réels privé de toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le dénominateur 𝑥 plus 𝑎 est égal à zéro.

Fixons donc 𝑥 plus 𝑎 à zéro et déterminons 𝑥. Lorsqu’on fait cela, on obtient 𝑥 est égal à moins 𝑎. On peut donc dire que le domaine de cette seconde fonction est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble qui contient moins 𝑎. Le domaine de 𝑛 de 𝑥 est alors l’intersection de ces deux domaines. L’intersection ici est l’ensemble des nombres réels privé de l’ensemble qui contient moins 𝑎, zéro. Maintenant, si nous comparons cela au domaine qui nous a été donné, nous pouvons voir que moins 𝑎 doit être égal à moins deux. Et si moins 𝑎 est égal à moins deux, 𝑎 doit être égal à deux. Nous pouvons donc réécrire 𝑛 de 𝑥 en utilisant notre valeur de 𝑎. On a 36 sur 𝑥 plus 20 sur 𝑥 plus deux.

Nous pouvons maintenant évaluer 𝑛 de trois et nous pouvons le faire en introduisant trois dans cette équation. Lorsqu’on fait cela, on obtient 36 sur trois plus 20 sur trois plus deux. Et cela devient 12 plus quatre, ce qui est égal à 16. Ainsi, si on considère les informations sur le domaine de notre fonction, 𝑛 de trois est égal à 16.

Dans cet exemple, nous avons vu que lorsqu’on additionne deux fonctions, on doit prendre en compte le domaine des deux fonctions. Maintenant, un processus similaire est vrai lorsqu’on veut déterminer le domaine commun de deux fonctions ou plus. En particulier, on peut considérer n’importe quel nombre de fonctions, le domaine commun est simplement les intersections des domaines des fonctions respectives. Donc, nous devons juste déterminer le domaine de chaque fonction séparément et identifier les régions où elles se chevauchent. Et puis nous pouvons exprimer cela en notation d’ensemble. Voyons un exemple qui couvre ce concept.

Déterminez le domaine commun entre les fonctions 𝑓 un de 𝑥 égale moins neuf sur 𝑥 plus neuf, 𝑓 deux de 𝑥 égale huit sur 𝑥 plus trois et 𝑓 trois de 𝑥 égale sept 𝑥 sur 𝑥 au cube moins quatre 𝑥.

Rappelons que, pour un nombre quelconque de fonctions, le domaine commun est l’intersection des domaines des fonctions respectives. Dans ce cas, nous devons déterminer le domaine de 𝑓 un de 𝑥, 𝑓 deux de 𝑥 et 𝑓 trois de 𝑥. Et nous pouvons déterminer leur intersection. Donc, ensuite, rappelons comment déterminer le domaine d’une fonction rationnelle. Le domaine d’une fonction rationnelle est l’ensemble des nombres réels, mais on exclut toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le dénominateur est égal à zéro. Prenons donc la fonction 𝑓 un de 𝑥. Son domaine sera l’ensemble des nombres réels, mais on doit exclure les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑥 plus neuf est égal à zéro. Pour déterminer 𝑥, on soustrait neuf des deux côtés et on obtient que la valeur de 𝑥 qui satisfait cette équation est moins neuf. Ainsi, le domaine de 𝑓 un de 𝑥 est l’ensemble des nombres réels privé de l’ensemble qui contient moins neuf.

Considérons maintenant 𝑓 deux de 𝑥. Cette fois, on doit exclure les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑥 plus trois, le dénominateur de 𝑓 deux de 𝑥, est égal à zéro. La valeur de 𝑥 qui satisfait cette équation est 𝑥 égale moins trois. Et donc le domaine de cette fonction est l’ensemble des nombres réels privé de l’ensemble qui contient moins trois. Enfin, on considère 𝑓 trois de 𝑥. Le dénominateur ici est 𝑥 au cube moins quatre 𝑥. Nous savons donc qu’on doit exclure toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles ceci est égal à zéro. Nous avons donc l’équation 𝑥 au cube moins quatre 𝑥 égale zéro. Et comment la résoudre ?

Eh bien, nous pourrions d’abord essayer de factoriser l’expression de gauche. La première étape consiste à prendre un facteur commun de 𝑥. Ensuite, nous pouvons factoriser l’expression 𝑥 au carré moins quatre en utilisant l’identité remarquable de la différence de deux carrés. Ainsi, on peut écrire 𝑥 au cube moins quatre 𝑥 comme 𝑥 fois 𝑥 plus deux fois 𝑥 moins deux.

La première solution à cette équation est lorsque 𝑥 est égal à zéro, donc on a 𝑥 est égal à zéro. On obtient la deuxième solution en fixant 𝑥 plus deux égal à zéro. Et lorsqu’on résout cette équation, on obtient 𝑥 est égal à moins deux. Enfin, on résout l’équation 𝑥 moins deux égale zéro et on obtient 𝑥 égale deux. Donc, enfin, nous avons trouvé que le domaine de 𝑓 trois de 𝑥 est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble qui contient ces valeurs de 𝑥. Le domaine commun est alors l’intersection de ces trois domaines. Nous allons donc devoir prendre l’ensemble des nombres réels et exclure les valeurs suivantes de 𝑥 : moins neuf, moins trois, moins deux, zéro et deux. Par conséquent, le domaine commun entre les trois fonctions qui nous sont données est l’ensemble des nombres réels privé de l’ensemble qui contient moins neuf, moins trois, moins deux, zéro et deux.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons appris qu’une fonction rationnelle est de la forme 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥. Ces deux fonctions, 𝑝 de 𝑥 et 𝑞 de 𝑥, sont elles-mêmes des polynômes et 𝑞 de 𝑥 n’est pas le polynôme zéro. Avec cette définition, on peut alors identifier le domaine d’une fonction rationnelle. C’est l’ensemble des nombres réels, mais on exclut toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le dénominateur, 𝑞 de 𝑥, est égal à zéro. Enfin, nous avons appris qu’on peut prendre n’importe quel nombre de fonctions, puis leur domaine commun est simplement l’intersection de leurs domaines respectifs.

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