Transcription de la vidéo
Sachant que la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins neuf 𝑘 si 𝑥 est strictement inférieur à moins cinq et 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus 116 si 𝑥 est strictement supérieur à moins cinq a une limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq, déterminez est la valeur de 𝑘 ?
La question nous donne une fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥. On nous dit que cette fonction 𝑓 de 𝑥 a une limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq. Nous devons déterminer la valeur de 𝑘 qui rend cela possible. Nous rappelons que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 d’une fonction 𝑓 de 𝑥 existe si les conditions suivantes sont remplies. Nous avons besoin que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 par la gauche de 𝑓 de 𝑥 et que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de la droite de 𝑓 de 𝑥 existent. De plus, ces deux limites doivent être égales. On nous dit que cela est vrai pour notre fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque la valeur de 𝑎 est de moins cinq. Définissons donc 𝑎 comme moins cinq dans notre expression.
Puisque nous savons que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq de 𝑓 de 𝑥 existe, toutes nos conditions doivent être vraies. La limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq à gauche de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq à droite de 𝑓 de 𝑥 doivent exister et elles doivent être égales. Essayons donc d’évaluer ces limites. Nous commencerons par la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq par la gauche de 𝑓 de 𝑥. Puisque 𝑥 tend vers moins cinq par la gauche, nos valeurs de 𝑥 seront inférieures à moins cinq. Nous pouvons voir à partir de notre définition par morceaux de la fonction 𝑓 de 𝑥 que si nos valeurs de 𝑥 sont inférieures à moins cinq, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est exactement égale à la fonction 𝑥 au carré moins neuf 𝑘.
Ainsi, puisque notre fonction 𝑓 de 𝑥 est exactement égale à la fonction 𝑥 au carré moins neuf 𝑘 pour toutes les valeurs de 𝑥 inférieures à moins cinq, leur limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq à partir de la gauche seront égales. Maintenant, nous pouvons voir que ce n’est que la limite d’un polynôme. Nous pouvons évaluer cela par substitution directe. En substituant 𝑥 est égal à moins cinq, nous obtenons moins cinq au carré moins neuf 𝑘. Puisque moins cinq au carré est égal à 25, nous pouvons simplifier cette expression et obtenir 25 moins neuf 𝑘. Faisons de même pour évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq à partir de la droite de 𝑓 de 𝑥.
Puisque 𝑥 tend vers moins cinq à partir de la droite, nos valeurs de 𝑥 seront supérieures à moins cinq. Encore une fois, à partir de notre définition par morceaux de la fonction 𝑓 de 𝑥 pour des valeurs de 𝑥 supérieures à moins cinq, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à deux 𝑥 plus 116. Ainsi, puisque nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq à partir de la droite, nous pouvons réécrire 𝑓 de 𝑥 comme deux 𝑥 plus 116. Nous pouvons maintenant voir que nous évaluons simplement la limite d’une fonction affine. Nous pouvons le faire par substitution directe.
En substituant 𝑥 est égal à moins cinq, nous obtenons deux fois moins cinq plus 116. Nous pouvons calculer cela et obtenir 106. Maintenant, rappelons que, puisque cette limite existe, la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq à partir de la gauche de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq à partir de la droite de 𝑓 de 𝑥 doivent être égales. Cela nous donne 25 moins neuf 𝑘 est égal à 106. Ainsi, nous devons à présent résoudre l’équation 25 moins neuf 𝑘 est égal à 106. Nous allons soustraire 25 des deux côtés de l’équation. Cela nous donne moins neuf 𝑘 est égal à 81. Ensuite, nous allons simplement diviser les deux côtés de l’équation par moins neuf. Cela nous donne 𝑘 est égal à moins neuf.
Nous avons donc la fonction 𝑓 de 𝑥 qui est égale à 𝑥 au carré moins neuf 𝑘 si 𝑥 est strictement inférieur à moins cinq et 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 plus 116 si 𝑥 est strictement supérieur à moins cinq, qui a une limite lorsque 𝑥 tend vers moins cinq. Alors, la valeur de 𝑘 doit être égale à moins neuf.
