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Vidéo de la leçon: Existence de limites Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer si la limite d’une fonction en une certaine valeur existe.

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Transcription de la vidéo

L’existence de limites

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer si la limite d’une fonction en une certaine valeur existe. Il y a plusieurs raisons pour lesquelles une limite peut ne pas exister. Nous examinerons ces raisons et les utiliserons pour déduire l’existence ou non de certaines limites. Lorsque nous considérons la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, il y a plusieurs raisons pour lesquelles la limite peut ne pas exister. La première est si la limite n’est pas finie. Dans le cas de ce 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir que lorsque 𝑥 tend vers zéro, 𝑓 de 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini selon que nous tendons vers zéro par la droite ou par la gauche. La raison pour laquelle cette limite n’existe pas est que la limite doit être un point particulier. Et nous ne pouvons pas dire que l’infini est un point puisque l’infini n’existe pas réellement ; ce n’est qu’un concept.

Notons rapidement quelques cas particuliers où nous avons une limite infinie. Dans le cas de 𝑔 de 𝑥, nous pouvons voir que les limites à gauche et à droite, lorsque 𝑥 tend vers zéro, tendent toutes les deux vers plus l’infini. Puisque ces limites à gauche et à droite tendent toutes deux vers le même signe de l’infini, on peut dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑔 de 𝑥 est aussi égale à l’infini. Cependant, il faut noter que cette limite n’existe toujours pas puisque l’infini n’est pas un nombre ; ce n’est qu’un concept. De même, nous pouvons noter que, pour ℎ de 𝑥, les limites à gauche et à droite lorsque ℎ tend vers zéro tendent toutes les deux vers moins l’infini. Et donc on peut dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de ℎ de 𝑥 est égale à moins l’infini. Mais encore une fois, cette limite n’existe toujours pas. Il est en revanche important de retenir cela, car il peut être utile de savoir si une limite particulière tend vers un certain signe de l’infini, contrairement au cas de 𝑓 de 𝑥 où les différents côtés de la limite tendent vers des signes différents de l’infini.

Considérons maintenant un autre cas faisant qu’une limite n’existe pas. On peut dire que la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas si la limite ne tend pas vers un point particulier. Et cela se produit avec certaines fonctions oscillantes. Voici un exemple de fonction oscillante 𝑓 de 𝑥 où une limite n’existe pas. Et cette limite est lorsque 𝑥 tend vers zéro. Nous pouvons voir que plus les valeurs de 𝑥 se rapprochent de zéro, plus notre fonction oscille rapidement. Cette fonction oscille entre les valeurs de moins un et un. Plus 𝑥 se rapproche de zéro, plus elle oscille rapidement entre moins un et un. Nous pouvons donc dire que la fonction ne tend pas vers une valeur particulière lorsque 𝑥 tend vers zéro, car plus 𝑥 se rapproche de zéro, plus la fonction change rapidement entre un et moins un. Et à partir de là, nous pouvons dire que 𝑓 de 𝑥 ne tend pas vers un point particulier lorsque 𝑥 tend vers zéro. Et, par conséquent, la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas.

Maintenant, considérons une autre raison pour laquelle les limites peuvent ne pas exister. Lorsque nous déterminons la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, il est très important de considérer les limites à gauche et à droite. En effet, si la limite à gauche ou à droite n’existe pas ou si les limites à gauche et à droite existent mais qu’elles ne sont pas égales, alors la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas. Si nous considérons la fonction 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 est une fonction définie par morceaux entre les valeurs 𝑎 et 𝑐. Considérons la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Nous pouvons voir que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 par la droite est égale à 𝑓 de 𝑎. Cependant, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 par la gauche, la fonction 𝑓 n’est pas définie. Et par conséquent, cette limite à gauche n’existe pas.

Cela nous indique que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas. Considérons maintenant la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑏 de 𝑓 de 𝑥. Pour considérer cette limite, identifions les deux morceaux de notre courbe. Nous appelons le morceau entre 𝑎 et 𝑏 𝑔 de 𝑥 et le morceau entre 𝑏 et 𝑐 ℎ de 𝑥. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑏 par la droite est égale à ℎ de 𝑏 puisque nous venons de la droite de 𝑏 et que la valeur de 𝑓 de 𝑥 suit ℎ de 𝑥.

Ensuite, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑏 par la gauche est égale à 𝑔 de 𝑏 puisque lorsque la valeur de 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus de 𝑏 par la gauche, elle suit 𝑔 de 𝑥. Et donc elle est égale à 𝑔 de 𝑏. Puisque ℎ de 𝑏 et 𝑔 de 𝑏 ne sont pas égaux, nous devons conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas. Maintenant, nous avons couvert toutes les raisons pour lesquelles une limite peut ne pas exister. On peut dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe si les limites à gauche et à droite existent et que la limite à gauche est égale à la limite à droite. On peut aussi dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à une constante 𝐿 où 𝐿 est aussi égale aux limites à gauche et droite. Nous sommes maintenant prêts à examiner quelques exemples.

Déterminez l’existence de la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥 sachant que 𝑓 de 𝑥 est égal à 13𝑥 plus sept pour un inférieur à 𝑥 inférieur à sept et 14𝑥 plus sept pour sept inférieur ou égal à 𝑥 inférieur à huit.

Dans cet exemple, notre 𝑓 de 𝑥 est une fonction définie par morceaux. Et on nous demande de trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers sept. Sept est la valeur de 𝑥 à laquelle notre fonction bascule entre 13𝑥 plus sept et 14𝑥 plus sept. Afin de déterminer si notre limite existe, nous devons vérifier si les limites à gauche et à droite existent et si elles sont égales. Nous allons commencer par considérer la limite à gauche. Puisque 𝑥 tend vers sept par la gauche, nous savons que 𝑥 doit être inférieur à sept. Puisque 𝑥 est inférieur à sept, nous pouvons voir dans notre définition par morceaux que 𝑓 de 𝑥 égale 13𝑥 plus sept.

Comme il s’agit d’un polynôme, nous pouvons utiliser une substitution directe. Pour trouver cette limite, nous substituons simplement 𝑥 égale sept dans 13𝑥 plus sept. Et cela nous donne que la limite à gauche est égale à 98. Puisque la limite ici est égale à une constante réelle, nous savons que cette limite doit exister. Considérons maintenant la limite lorsque 𝑥 tend vers sept par la droite. Puisque 𝑥 tend vers sept par la droite, nous avons que 𝑥 est supérieur à sept. Par conséquent, à partir de notre définition par morceaux, nous avons que 𝑓 de 𝑥 est égal à 14𝑥 plus sept, ce qui est encore un polynôme. Nous pouvons donc utiliser une substitution directe pour trouver cette limite. En substituant 𝑥 égale sept dans 14𝑥 plus sept, on obtient que la limite lorsque 𝑥 tend vers sept par la droite est égale à 105. Par conséquent, notre limite existe.

Maintenant, nous avons constaté que les limites à gauche et à droite existent. Cependant, la limite à gauche est égale à 98. Et la limite à droite est égale à 105. Par conséquent, nous pouvons conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas car les limites à gauche et à droite ne sont pas égales. Dans cet exemple, nous avons vu que la limite n’existait pas car les limites à gauche et à droite n’étaient pas égales. Cela vient du fait qu’il y a un saut dans la fonction au point où nous essayons de prendre la limite. Par conséquent, nous ne pouvons pas dire que la limite de 𝑓 de 𝑥 tend vers un point particulier car la valeur de la limite dépend du côté par lequel nous approchons.

Maintenant, considérons un autre exemple.

Déterminez l’existence de la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 sachant que 𝑓 de 𝑥 est égal à valeur absolue de 𝑥 moins deux plus trois pour moins deux inférieur à 𝑥 inférieur à trois et 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins 27, le tout sur 𝑥 au carré moins trois 𝑥 pour trois inférieur à 𝑥 inférieur à neuf.

Considérons les limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers trois de cette fonction définie par morceaux. Lorsque 𝑥 tend vers trois par la gauche, nous savons que 𝑥 est inférieur à trois. Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 est égal à valeur absolue de 𝑥 moins deux plus trois. Nous pouvons utiliser la substitution directe pour trouver cette limite. Nous constatons qu’elle est égale à quatre. Maintenant, considérons la limite à droite. Puisque 𝑥 tend vers trois par la droite, nous savons que 𝑥 est supérieur à trois. Donc 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins 27 sur 𝑥 au carré moins trois 𝑥. Si nous essayons d’utiliser la substitution directe pour trouver cette limite, nous constatons qu’elle est égale à zéro sur zéro, ce qui est indéfini. Cependant, comme il s’agit d’une fonction rationnelle avec des polynômes au numérateur et au dénominateur où le numérateur et le dénominateur sont tous deux égaux à zéro en trois, cela signifie que nous pouvons factoriser par 𝑥 moins trois en haut et en bas.

Nous obtenons 𝑥 plus neuf multiplié par 𝑥 moins trois sur 𝑥 multiplié par 𝑥 moins trois. Ensuite, nous pouvons simplement simplifier le 𝑥 moins trois en haut et en bas de la fraction. Cependant, nous devons être prudents car, en faisant cela, nous modifions l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥. Précédemment, substituer 𝑥 égale trois dans l’expression de 𝑓 de 𝑥 était indéfini. En revanche, maintenant, substituer 𝑥 égale trois donne un nombre défini. Par conséquent, nous devons appeler cette nouvelle fonction 𝑔 où 𝑔 est identique à 𝑓 sauf pour son ensemble de définition, puisque nous pouvons substituer 𝑥 égale à trois dans 𝑔 de 𝑥, mais nous ne pouvons pas le faire dans 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons maintenant utiliser la substitution directe sur 𝑔 de 𝑥 afin de trouver la limite à droite.

Nous obtenons que la limite à droite est égale à quatre. En comparant cela à la limite à gauche, nous pouvons voir que ces deux sont égales. Nous pouvons donc conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 existe. Et elle est égale à quatre. Dans cet exemple, nous avons vu comment la limite d’une fonction définie par morceaux au point où la définition de la fonction change peut exister si les limites à gauche et à droite se rejoignent en une valeur qui est la limite.

Voyons maintenant un autre exemple.

Déterminez l’existence de la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de un sur valeur absolue de 𝑥 moins deux.

Commençons par considérer la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de valeur absolue de 𝑥 moins deux, qui est le dénominateur de notre fraction. Nous pouvons calculer cela en utilisant une substitution directe. Et cela nous donne zéro. Ce que cela nous dit, c’est que, lorsque 𝑥 tend vers deux, la valeur absolue de 𝑥 moins deux devient de plus en plus petite en se rapprochant de zéro. Et puisque la valeur absolue de 𝑥 moins deux devient plus petite, cela signifie que l’inverse de valeur absolue de 𝑥 moins deux deviendra de plus en plus grand. Et cela nous dit que nous avons ici une limite infinie. Par conséquent, la limite ne tend pas vers une valeur particulière et la limite n’existe donc pas. Car l’infini n’est pas un nombre ; c’est simplement un concept. Cependant, nous pouvons en déduire plus que la simple non-existence de la limite. Traçons donc la courbe de un sur la valeur absolue de 𝑥 moins deux.

Notre courbe ira à l’infini en 𝑥 égale deux. Et nous savons que la courbe doit être positive en tout 𝑥 puisque notre fonction contient une valeur absolue. Puisque tout ce qui est en dehors de la valeur absolue est positif, cela signifie que notre courbe doit être positive en tout 𝑥. Nous pouvons voir sur notre graphique que, lorsque 𝑥 approche deux par la droite et par la gauche, notre fonction tend vers plus l’infini. On peut donc dire que les limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers deux sont égales à l’infini. Puisque ces deux valeurs sont égales à plus l’infini, nous pouvons conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de un sur valeur absolue de 𝑥 moins deux est aussi égale à plus l’infini.

Il est important de se rappeler que cette limite n’existe toujours pas puisque l’infini n’est pas un nombre. Par conséquent, nous pouvons conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de un sur valeur absolue de 𝑥 moins deux n’existe pas. Mais la limite est égale à l’infini. Dans cet exemple, nous avons vu ce qui se passe lorsque notre limite tend vers l’infini. Maintenant, voyons un dernier exemple.

Étudiez la limite de 𝑓 de 𝑥 égale deux cos de un sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro. a) Complétez le tableau de valeurs de 𝑓 de 𝑥 pour les valeurs de 𝑥 qui se rapprochent de zéro.

Afin de résoudre cette première partie, nous substituons simplement les valeurs de 𝑥 en 𝑓 de 𝑥. Nous constatons que 𝑓 de un sur 99 est égal à moins deux. 𝑓 de un sur 100𝜋 est égal à deux. En continuant ainsi, nous pouvons compléter le reste du tableau et nous constatons que cela est la solution de la partie a).

Partie b) Que cela suggère-t-il concernant la courbe de 𝑓 au voisinage de zéro ?

Notre tableau suggère que plus nous nous rapprochons de zéro, plus la courbe de 𝑓 de 𝑥 oscille rapidement entre moins deux et deux. Voyons rapidement pourquoi. Nous savons que lorsque 𝑥 tend vers zéro par la droite, un sur 𝑥 tend vers l’infini. Et lorsque 𝑥 tend vers zéro par la gauche, un sur 𝑥 tend vers moins l’infini. Cela signifie que lorsque 𝑥 devient plus petit, un sur 𝑥 deviendra très grand dans le sens positif ou négatif selon le côté par lequel nous tendons vers zéro. Alors plus on se rapproche de zéro, plus le taux auquel un sur 𝑥 va augmenter augmente.

Et nous savons que la fonction cos oscille entre moins un et un à un taux constant. Cependant, comme le taux d’augmentation de un sur 𝑥 augmente, cela signifie que le cos de un sur 𝑥 oscille entre moins un et un à un taux croissant. Voilà donc pourquoi notre graphique oscille rapidement entre moins deux et deux.

Partie c) Évaluez alors la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥.

Dans la partie b), nous avons vu que lorsque 𝑥 tend vers zéro, 𝑓 de 𝑥 oscille de plus en plus rapidement entre moins deux et deux. Ainsi, lorsque 𝑥 tend vers zéro, nous ne pouvons pas en déduire une valeur particulière vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tend puisque la courbe passe de plus en plus rapidement de moins deux à deux. Puisque la fonction ne tend pas vers un point particulier lorsque 𝑥 tend vers zéro, on peut en déduire que la limite n’existe pas. Nous avons maintenant vu pourquoi la limite d’une fonction oscillante peut ne pas exister.

Nous avons donc couvert quelques exemples de raisons pour lesquelles une limite peut exister ou non. Récapitulons quelques points clés de la vidéo.

Si une fonction tend vers l’infini en un point, alors la limite de la fonction en ce point n’existe pas. Pour qu’une limite existe, la fonction doit tendre vers un point particulier. Ainsi, dans le cas de certaines fonctions oscillantes, elles peuvent commencer à osciller rapidement en s’approchant d’un point. Et, par conséquent, la limite n’existe pas. Si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 par la gauche de 𝑓 de 𝑥 ou la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 par la droite de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas ou si la limite à gauche n’est pas égale à la limite à droite, alors la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas. Si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 par la gauche de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 par la droite de 𝑓 de 𝑥 existent toutes deux et que la limite à gauche est égale à la limite à droite qui est égale à une constante 𝐿, alors la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe. Et l’on peut dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿.

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