Vidéo : Existence d’une limite

Dans cette vidéo, nous verrons comment déterminer si la limite d’une fonction existe en une certaine valeur.

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Transcription de vidéo

L’existence d’une limite

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer si la limite d’une fonction existe en une certaine valeur. Il y a plusieurs raisons pour lesquelles une limite peut ne pas exister. Nous verrons ces raisons et les utiliserons pour déduire l’existence ou non de certaines limites. Lorsque nous considérons la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, il existe plusieurs raisons pour lesquelles la limite peut ne pas exister. La première est si la limite est infinie. Dans le cas de cette fonction 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir que lorsque 𝑥 tend vers zéro, 𝑓 de 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini selon qu’on se rapproche de zéro de droite ou de gauche. La raison pour laquelle cette limite n’existe pas c’est qu’il faut que la limite se rapproche d’un point particulier. Et nous ne pouvons pas dire que l’infini est un point puisque l’infini n’existe pas vraiment ; c’est juste un concept.

Notons rapidement quelques cas particuliers où nous avons une limite infinie. Dans le cas de 𝑔 de 𝑥, nous pouvons voir que les limites gauche et droite tendent toutes les deux vers plus l’infini lorsque 𝑥 tend vers zéro. Puisque ces limites gauche et droite tendent toutes deux vers le même signe de l’infini, on peut donc dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑔 de 𝑥 égale aussi l’infini. Cependant, il faut noter que cette limite n’existe toujours pas puisque l’infini n’est pas un nombre ; c’est juste un concept. De même, nous pouvons noter que, pour ℎ de 𝑥, les limites gauche et droite lorsque ℎ tend vers zéro tendent toutes deux vers moins l’infini. On peut donc dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de ℎ de 𝑥 égale moins l’infini. Mais encore une fois, cette limite n’existe toujours pas. Il est pourtant important de s’en rappeler car il peut être utile de savoir si une certaine limite tend vers un certain signe de l’infini, plutôt que le cas de 𝑓 de 𝑥 où les différents côtés de la limite tendent vers des signes différents de l’infini.

Voyons maintenant un autre cas où une limite peut ne pas exister. Nous pouvons dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas si la limite ne se rapproche pas d’un certain point précis. Et cela se produit avec certaines fonctions oscillantes. Voici un exemple de fonction oscillante 𝑓 de 𝑥 où il la limite n’existe pas. Et cette limite est lorsque 𝑥 tend vers zéro. Nous pouvons voir que plus les valeurs de 𝑥 sont proches de zéro, plus notre fonction oscille rapidement vers le haut et le bas. Cette fonction oscille entre les valeurs de moins un et un. Plus 𝑥 se rapproche de zéro, plus elle oscille rapidement entre moins un et un. Nous pouvons donc dire que la fonction ne se rapproche pas d’une valeur spécifique lorsqu’elle tend vers zéro, car plus elle se rapproche de de zéro, plus elle change rapidement entre un et moins un. Et à partir de là, nous pouvons dire que 𝑓 de 𝑥 ne se rapproche pas d’un point particulier lorsque 𝑥 tend vers zéro. Et, par conséquent, la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas.

Voyons maintenant une autre raison pour laquelle les limites peuvent ne pas exister. En déterminant la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, il est très important de prendre en compte les limites gauche et droite. C’est parce que si la limite gauche ou droite n’existe pas, ou si les limites gauche et droite existent mais qu’elles ne sont pas égales, alors la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas. Si nous considérons la fonction 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 est une fonction définie par morceaux entre les valeurs 𝑎 et 𝑐. Considérons la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Nous pouvons voir que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de la droite est égale à 𝑓 de 𝑎. Cependant, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de la gauche, 𝑓 est indéfinie. Et donc, par suite, cette limite de gauche n’existe pas.

Cela nous indique que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas. Considérons maintenant la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑏 de 𝑓 de 𝑥. Pour considérer cette limite, marquons les deux sections de notre graphique. Nous appellerons la section entre 𝑎 et 𝑏 𝑔 de 𝑥, et la section entre 𝑏 et 𝑐 ℎ de 𝑥. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑏 de la droite sera égale à ℎ de 𝑏 puisque nous venons de la droite de 𝑏 et que la valeur de 𝑓 de 𝑥 se déplacera selon ℎ de 𝑥.

Maintenant, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑏 de la gauche sera égale à 𝑔 de 𝑏, puisque lorsque la valeur de 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus de 𝑏 de la gauche elle suivra 𝑔 de 𝑥. Et ainsi, elle sera égale à 𝑔 de 𝑏. Puisque ℎ de 𝑏 et 𝑔 de 𝑏 ne sont pas égales, nous devons en conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas. Maintenant, nous avons couvert toutes les raisons pour lesquelles une limite peut ne pas exister. Nous pouvons dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe si les limites gauche et droite existent et que la limite gauche égale la limite droite. Nous pouvons également dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 égale une constante 𝐿, où 𝐿 égale aussi la limite gauche et droite. Nous sommes maintenant prêts à voir quelques exemples.

Discutez l’existence de la limite lorsque 𝑥 vers sept de 𝑓 de 𝑥, sachant que 𝑓 de 𝑥 égale 13𝑥 plus sept si un est strictement inférieur à 𝑥, qui est strictement inférieur à sept, et 14𝑥 plus sept si sept est inférieur ou égal à 𝑥 qui est strictement inférieur à huit.

Dans cet exemple, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est une fonction définie par morceaux. Et on nous demande de déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers sept. Sept est la valeur de 𝑥 en laquelle notre fonction passe 13𝑥 plus sept à 14𝑥 plus sept. Pour déterminer si notre limite existe, nous devons vérifier si les limites gauche et droite existent, et si elles sont égales. Nous allons commencer par considérer la limite gauche. Puisque 𝑥 tend vers sept par le bas, nous savons que 𝑥 doit être strictement inférieur à sept. Puisque 𝑥 est strictement inférieur à sept, nous pouvons voir de notre définition par morceaux que 𝑓 de 𝑥 égale 13𝑥 plus sept.

Comme il s’agit d’un polynôme, nous pouvons utiliser la substitution directe. Pour déterminer cette limite, nous substituons simplement 𝑥 égale sept dans 13𝑥 plus sept. Et cela nous donne que la limite de gauche égale 98. Puisque la limite ici est égale à une constante réelle, nous savons que cette limite doit exister. Considérons maintenant la limite lorsque 𝑥 tend vers sept du haut. Étant donné que 𝑥 tend vers sept en haut, nous avons 𝑥 est strictement supérieur à sept. Ainsi, à partir de notre définition par morceaux, nous avons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 14𝑥 plus sept, qui est aussi un polynôme. Nous pouvons donc utiliser la substitution directe pour trouver cette limite. En substituant 𝑥 égale sept dans 14𝑥 plus sept, nous obtenons la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de la droite égale 105. Ainsi, notre limite existe.

Nous avons constaté que la limite gauche et droite existent. Cependant, la limite gauche est égale à 98. Et la limite droite est égale à 105. Par conséquent, nous pouvons conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers sept de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas car les limites gauche et droite ne sont pas égales. Dans cet exemple, nous avons vu comment la limite n’existait pas car les limites gauche et droite n’étaient pas égales. C’est parce qu’il y a un saut dans la fonction au point où nous essayons de déterminer la limite. Par conséquent, nous ne pouvons pas dire que la limite de 𝑓 de 𝑥 tend vers un point spécifique puisqu’elle dépend de la direction dans laquelle nous rapprochons la limite quant à ce que la limite pourrait égaler.

Maintenant, allons voir un autre exemple.

Discutez l’existence de la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥, sachant que 𝑓 de 𝑥 égale mod de 𝑥 moins deux plus trois si moins deux est strictement inférieur à 𝑥, qui est strictement inférieur à trois 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins 27 le tout sur 𝑥 au carré moins trois 𝑥, si trois est strictement inférieur à 𝑥, qui est strictement inférieur à neuf.

Considérons les limites gauche et droite lorsque 𝑥 tend vers trois de cette fonction définie par morceaux. Lorsque 𝑥 tend vers trois en bas, nous savons que 𝑥 sera strictement inférieur à trois. Ainsi, 𝑓 de 𝑥 sera égale au mod de 𝑥 moins deux plus trois. Nous pouvons utiliser la substitution directe pour trouver cette limite. Nous constatons qu’elle égale quatre. Voyons maintenant la limite de droite. Puisque 𝑥 tend vers trois du haut, nous savons que 𝑥 sera strictement supérieur à trois. Donc 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins 27 le tout sur 𝑥 au carré moins trois 𝑥. Si nous essayons d’utiliser la substitution directe pour trouver cette limite, nous trouverons qu’elle égale zéro sur zéro, ce qui est indéfini. Cependant, puisqu’il s’agit d’une fonction rationnelle avec des polynômes au numérateur et au dénominateur, le numérateur et le dénominateur étant tous deux égaux à zéro en trois, cela signifie que nous pouvons factoriser avec comme facteur 𝑥 moins trois en haut et en bas.

On obtient 𝑥 plus neuf fois 𝑥 moins trois sur 𝑥 fois 𝑥 moins trois. Ensuite, nous pouvons simplement éliminer le 𝑥 moins trois en haut et en bas de la fraction. Cependant, nous devons faire attention car, ce faisant, nous changeons l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥. Le fait de saisir précédemment une valeur de 𝑥 égale trois nous aura donné un résultat indéfini. Cependant, si nous saisissons maintenant 𝑥 égale trois, nous obtiendrons un nombre. Ainsi, nous devrions appeler cette nouvelle fonction 𝑔 de 𝑥 où 𝑔 de 𝑥 est parfaitement identique à 𝑓 de 𝑥 hormis son ensemble de définition, puisque nous pouvons introduire 𝑥 égale trois dans 𝑔 de 𝑥, mais nous ne pouvons pas dans 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons maintenant utiliser la substitution directe dans 𝑔 de 𝑥 afin de trouver la limite du haut.

Nous obtenons que la limite en haut est égale à quatre. En comparant cela à la limite du bas, nous pouvons voir qu’elles sont égales. Nous pouvons donc conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 existe. Et elle égal quatre. Dans cet exemple, nous avons vu comment une limite définie par morceau, au point où la définition de la fonction change, peut exister si les limites gauche et droite ont la même valeur de la limite.

Voyons maintenant un autre exemple.

Discutez l’existence de la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de un sur le mod de 𝑥 moins deux.

Commençons par considérer la limite lorsque 𝑥 tend vers deux du mod 𝑥 moins deux, qui est le dénominateur de notre fraction. Nous pouvons trouver cela en utilisant la substitution directe. Et cela nous donne zéro. Cela nous indique que lorsque 𝑥 tend vers deux, le module de 𝑥 moins deux devient de plus en plus petit en se rapprochant de zéro. Et puisque le mod de 𝑥 moins deux devient plus petit, cela implique que la réciproque un sur le mod de 𝑥 moins deux deviendra de plus en plus grande. Et cela nous montre que nous avons ici une limite infinie. Ainsi, la limite ne se rapproche pas d’une valeur spécifique et la limite n’existe donc pas. C’est parce que l’infini n’est pas un nombre ; c’est juste un concept. Maintenant, il y a plus de faits que nous pouvons déduire autre que la limite n’existe pas. Traçons la courbe représentative de un sur le mod de 𝑥 moins deux.

Notre courbe ira vers l’infini lorsque 𝑥 égale deux. Et nous savons que la courbe doit être positive partout sur 𝑥 puisque notre représentation graphique contient un module ou une valeur absolue. Puisque tout ce qui est en dehors du module est positif, cela signifie que notre graphique doit être positif partout sur 𝑥. Nous pouvons voir sur notre graphique que, lorsque 𝑥 tend vers deux en haut et en bas, notre fonction tend vers l’infini positif. On peut donc dire que les limites gauche et droite lorsque 𝑥 tend vers deux égalent l’infini. Puisqu’elles égalent toutes les deux plus l’infini, nous pouvons conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de un sur mod de 𝑥 moins deux égale aussi plus l’infini.

Il est important de se rappeler que cette limite n’existe toujours pas puisque l’infini n’est pas un nombre. Par conséquent, nous pouvons conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de un sur le mod de 𝑥 moins deux n’existe pas. Mais la limite égale l’infini. Dans cet exemple, nous avons vu ce qui arrive lorsque notre limite tend vers l’infini. Voyons maintenant un dernier exemple.

Étudiez la limite de 𝑓 de 𝑥 égale deux cos un sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro. a) Complétez le tableau de valeurs 𝑓 de 𝑥 pour les valeurs de 𝑥 qui se rapprochent de zéro.

Pour répondre à cette première partie de la question, nous substituons simplement les valeurs de 𝑥 dans 𝑓 de 𝑥. Nous trouvons que 𝑓 de un sur 99 est égale à moins deux. 𝑓 de un sur 100𝜋 égale deux. En continuant ainsi, nous pouvons compléter le tableau, et c’est la solution de la partie a).

Partie b), qu’est-ce que cela nous indique à propos de la représentation graphique de 𝑓 tend vers zéro ?

Notre tableau indique que plus nous nous rapprochons de zéro, plus la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 oscillera rapidement entre deux et moins deux. Voyons rapidement pourquoi il en est ainsi. Nous savons que si 𝑥 tend vers zéro en haut, alors un sur 𝑥 se rapprochera de l’infini. Et comme 𝑥 se rapproche de zéro en bas, un sur 𝑥 se rapprochera de moins l’infini. Cela signifie que lorsque 𝑥 devient plus petit, un sur 𝑥 deviendra très grand dans le sens positif ou négatif suivant comment nous nous rapprochons de zéro. Maintenant, plus nous nous rapprochons de zéro, plus le taux auquel un sur 𝑥 grandit augmentera.

Nous savons maintenant que la fonction cos oscille entre moins un et un à un taux constant. Cependant, étant donné que le taux d’augmentation de un sur 𝑥 augmente, cela signifie que cos un sur 𝑥 va osciller entre moins un et un à un taux croissant. C’est pourquoi notre graphique oscillera rapidement entre moins deux et deux.

Partie c), évaluez donc la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥.

Dans la partie b), nous avons vu que lorsque 𝑥 tend vers zéro, 𝑓 de 𝑥 va osciller de plus en plus rapidement entre moins deux et deux. Donc, lorsque 𝑥 tend vers zéro, nous ne pouvons pas en déduire une valeur spécifique vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tendra, puisque la représentation graphique passera de plus en plus rapidement de moins deux à deux. Comme la fonction ne tend pas vers un point spécifique lorsque 𝑥 se rapproche de zéro, on peut en déduire que la limite n’existe pas. Nous avons maintenant vu pourquoi la limite d’une fonction oscillante peut ne pas exister.

Nous avons donc abordé quelques exemples des raisons pour lesquelles une limite peut exister ou non. Récapitulons quelques points clés de la vidéo.

Si une fonction tend vers l’infini en un point, alors la limite de la fonction en ce point n’existe pas. Pour qu’une limite existe, elle doit tendre vers un point spécifique. Ainsi, dans le cas de certaines fonctions oscillantes, elles peuvent commencer à osciller trop rapidement lorsqu’elles tendent vers un point. Et ainsi, la limite n’existera pas. Si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 en dessous de 𝑓 de 𝑥 ou la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 au-dessus de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas, ou si la limite en bas n’égale pas la limite en haut, alors la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 n’existe pas. Si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 en dessous de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 au-dessus de 𝑓 de 𝑥 existent toutes deux, et que la limite en bas égale la limite en haut qui égale une certaine constante 𝐿, alors la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe. Et on peut dire que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿.

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