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Fiche explicative de la leçon : Existence d’une limite Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer si la limite d’une fonction en une certaine valeur existe.

La limite d’une fonction en un point nous donne des informations utiles sur la forme de sa courbe représentative en ce point et est un outil fondamental en analyse. Rappelons la définition de la limite d’une fonction en un point.

Rappel : Limite d’une fonction en un point

Si les valeurs de 𝑓(𝑥) tendent vers une valeur 𝐿 quand les valeurs de 𝑥 tendent vers 𝑎 (des deux côtés) mais pas nécessairement en 𝑥=𝑎, alors on dit que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝐿 et on note lim𝑓(𝑥)=𝐿.

En utilisant la notation des limites à gauche et à droite de la fonction, on peut réécrire cette définition.

Définition : Limite d’une fonction en un point en fonction de ses limites à gauche et à droite

Soit 𝐿,𝑎. Si lim𝑓(𝑥)=𝐿 etlim𝑓(𝑥)=𝐿, alors lim𝑓(𝑥)=𝐿.

Lorsque cette définition est vérifiée pour une fonction 𝑓(𝑥) en une valeur 𝑥=𝑎, cela nous donne des informations sur la forme de sa courbe représentative au voisinage de ce point:on sait qu’elle est arbitrairement proche du point (𝑎;𝐿). On peut donc étudier la limite d’une fonction en un point en évaluant ses limites à gauche et à droite en ce point et en les comparant.

On peut utiliser cette définition de l’existence d’une limite pour présenter une autre définition de la limite d’une fonction en un point.

Définition : Limite d’une fonction en un point

Si les limites à gauche et à droite d’une fonction 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 existent toutes les deux et sont égales à une valeur 𝐿, alors lim𝑓(𝑥)=𝐿.

Il n’est pas toujours possible de déterminer la limite d’une fonction en un point. Considérons par exemple la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥) illustrée ci-dessous.

Pour déterminer lim𝑓(𝑥), nous devons calculer séparément les limites à gauche et à droite en 𝑥=1. Tout d’abord, quand les valeurs de 𝑥 tendent vers 1 depuis la gauche, les images de la fonction sont constantes et égales à un 1, donc lim𝑓(𝑥)=1. Ensuite, quand les valeurs de 𝑥 tendent vers 1 depuis la droite, les images de la fonction tendent vers 2, donc lim𝑓(𝑥)=2. Comme les limites à gauche et à droite de la fonction en 𝑥=1 ne sont pas égales, on ne peut pas déterminer lim𝑓(𝑥).

Lorsque l’on ne peut pas déterminer la limite d’une fonction en un point, on dit que sa limite n’existe pas. Dans l’exemple ci-dessus, nous avons vu que cela peut arriver si les limites à gauche et à droite ne sont pas égales mais la limite d’une fonction en un point peut ne pas exister pour d’autres raisons. Considérons lim1𝑥;une façon d’étudier cette limite est de tracer la courbe représentative de la fonction.

Nous devons déterminer les limites à gauche et à droite de 1𝑥 quand 𝑥 tend vers 0.

Sur la courbe représentative, on peut voir que les images de la fonction augmentent sans borne supérieure dans les deux cas. En particulier, cela signifie que les images ne convergent vers aucune valeur finie 𝐿. Lorsque les images de la fonction augmentent sans borne supérieure, on dit souvent que la limite est égale à +. Il est cependant important de se rappeler que cette limite n’existe pas et dire que la limite est égale à + est un raccourci pour dire que la limite n’existe pas et que les images augmentent sans borne supérieure.

Une situation similaire se produit pour 𝑦=1𝑥 en 𝑥=0.

Quand 𝑥 tend vers 0 à gauche ou à droite, les images de la fonction diminuent sans borne inférieure. On peut dire que lim1𝑥=, ce qui signifie encore une fois que la limite n’existe pas.

Un autre cas similaire est la limite de 1𝑥 en 𝑥=0.

Si les valeurs de 𝑥 tendent vers 0 depuis la droite, les images de la fonction augmentent sans borne supérieure. On peut donc direlim1𝑥=+. Cependant, si les valeurs de 𝑥 tendent vers 0 depuis la gauche, alors les images de la fonction diminuent sans borne inférieure. Cela signifie que lim1𝑥=. Dans ce cas, les limites à gauche et à droite de 1𝑥 en 0 ne sont pas égales, on dit donc que lim1𝑥 n’existe pas;on ne lui assigne aucune valeur infinie car les limites à gauche et à droite sont différentes.

La limite d’une fonction en un point peut ne pas exister pour une dernière raison. Au lieu de croître ou décroître sans borne, les images peuvent osciller et ne jamais converger vers une seule valeur. Considérons par exemple la courbe représentative de 𝑓(𝑥)=1𝑥sin.

Sur la figure, il semble que quand 𝑥 tend vers 0, les images oscillent fortement. Pour voir plus clairement ce qui se passe au voisinage de 𝑥=0, essayons d’évaluer la limite de cette fonction à l’aide d’un tableau. On choisit comme points d’échantillon les inverses de multiples entiers impairs de 𝜋2, car ce sont les valeurs qui maximiseront les valeurs absolues des images.

𝑥299𝜋2101𝜋2103𝜋2105𝜋02105𝜋2103𝜋2101𝜋299𝜋
sin1𝑥11111111

On peut voir que quand les valeurs de 𝑥 tendent vers 0 de part et d’autre, les images de la fonction oscillent entre 1 et 1, et ne convergent donc vers aucune valeur;on dit donc que cette limite n’existe pas.

Nous allons maintenant résumer quelques unes des raisons pour lesquelles une limite peut ne pas exister.

Définition : Limite non définie d’une fonction en un point

Si les valeurs de 𝑓(𝑥) ne tendent pas vers une valeur 𝐿 quand les valeurs de 𝑥 tendent vers 𝑎 des deux côtés, alors on dit que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 𝑎 n’existe pas.

En particulier,

  • si les images de 𝑓(𝑥) augmentent sans borne supérieure quand 𝑥 tend vers 𝑎 des deux côtés, on dit que lim𝑓(𝑥)=+;
  • si les images de 𝑓(𝑥) diminuent sans borne inférieure quand 𝑥 tend vers 𝑎 des deux côtés, on dit que lim𝑓(𝑥)=.

En d’autres termes, pour déterminer la limite d’une fonction en un point, on doit vérifier que ses limites à gauche et à droite existent et sont égales. Voyons un exemple d’application de cette définition à une fonction affine par morceaux.

Exemple 1: Vérifier l’existence de la limite en un point d’une fonction affine par morceaux

Déterminez si lim𝑓(𝑥) existe pour 𝑓(𝑥)=13𝑥+71<𝑥<7,14𝑥+77𝑥<8.sisi

Réponse

Puisqu’il s’agit d’une fonction affine par morceaux et que 𝑥=7 est une borne des deux intervalles de définition, on ne peut pas calculer cette limite par substitution directe. On rappelle alors que l’on peut déterminer la limite de cette fonction quand 𝑥 tend vers 7 en vérifiant que les limites à gauche et à droite de 𝑓(𝑥) existent et sont égales.

On commence parlim𝑓(𝑥), comme il s’agit de la limite à gauche, 𝑥<7 et que les valeurs de 𝑥 se rapprocheront arbitrairement de 7 lors de l’évaluation de cette limite;on peut donc supposer que 1<𝑥<7 sans affecter la valeur de la limite. Lorsque les valeurs de 𝑥 sont dans cet intervalle, 𝑓(𝑥)=13𝑥+7 et cela donnelimlim𝑓(𝑥)=(13𝑥+7).

On peut maintenant calculer par substitution directe:lim(13𝑥+7)=13(7)+7=98.

On peut faire de même pour la limite à droite:restreindre les valeurs de 𝑥 à l’intervalle ]7;8[ n’affecte pas la valeur de la limite, ce qui donne limlim𝑓(𝑥)=(14𝑥+7)=14(7)+7=105.

Pour que la limite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=7 existe, les limites à gauche et à droite doivent être égales. On a cependant montré que ce n’est pas le cas.

Par conséquent, la limite n’existe pas carlimlim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).

Dans les deux exemples suivants, nous allons montrer l’existence et calculer la limite d’une fonction définie par morceaux en un point situé aux bornes de ses intervalles de définition.

Exemple 2: Vérifier l’existence de la limite en un point d’une fonction définie par morceaux

Déterminez si lim𝑓(𝑥) existe pour𝑓(𝑥)=|𝑥2|+3,2<𝑥<3,𝑥+6𝑥27𝑥3𝑥,3<𝑥<9.

Réponse

Puisqu’il s’agit d’une fonction définie par morceaux et que 𝑥=3 est une borne des deux intervalles de définition, on ne peut pas calculer cette limite par substitution directe. On rappelle alors que l’on peut déterminer la limite de cette fonction quand 𝑥 tend vers 3 en vérifiant que les limites à gauche et à droite de 𝑓(𝑥) existent et sont égales.

Pour déterminer la limite quand 𝑥 tend vers 3 depuis la gauche, on remarque que lorsque 2<𝑥<3, on a 𝑓(𝑥)=|𝑥2|+3. Lors de l’évaluation de cette limite, les valeurs de 𝑥 s’approcheront arbitrairement de 3, on peut donc supposer que 2<𝑥<3 sans affecter la valeur de la limite. Cela nous donnelimlim𝑓(𝑥)=(|𝑥2|+3).

On peut déterminer la limite d’une fonction valeur absolue par substitution directe, ce qui donne lim(|𝑥2|+3)=|32|+3=1+3=4.

Pour calculer ensuite lim𝑓(𝑥), on peut remarquer que lorsque 3<𝑥<9, on a 𝑓(𝑥)=𝑥+6𝑥27𝑥3𝑥;cela nous donnelimlim𝑓(𝑥)=𝑥+6𝑥27𝑥3𝑥.

Comme il s’agit d’une fonction rationnelle, on peut essayer de l’évaluer par substitution directe:3+6(3)27(3)3(3)=00.

Il s’agit d’une forme indéterminée, nous devons donc simplifier la fonction rationnelle en la factorisant. On rappelle que l’on peut éliminer le facteur commun 𝑥3 au numérateur et au dénominateur à l’intérieur de la limite car il n’affecte la valeur de la fonction que lorsque 𝑥=3, et non quand 𝑥 est arbitrairement proche de 3 depuis la droite:limlimlim𝑥+6𝑥27𝑥3𝑥=(𝑥+9)(𝑥3)𝑥(𝑥3)=𝑥+9𝑥=3+93=4.

Par conséquent, on a montré que la limite à gauche et la limite à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=3 existent et sont toutes les deux égales à 4.

Par conséquent, lim𝑓(𝑥) existe et est égale à 4.

Exemple 3: Déterminer la limite en un point d’une fonction affine par morceaux

Calculez lim𝑓(𝑥) pour𝑓(𝑥)=8+|𝑥+9|,𝑥9,7,𝑥=9.

Réponse

Comme il s’agit d’une fonction affine par morceaux et que 𝑥=9 est une borne des deux intervalles de définition, on ne peut pas calculer cette limite par substitution directe. On rappelle alors que l’on peut déterminer la limite de cette fonction quand 𝑥 tend vers 9 en vérifiant que les limites à gauche et à droite de 𝑓(𝑥) existent et sont égales.

On commence par lim𝑓(𝑥). Quand 𝑥>9, on sait que |𝑥+9|=𝑥+9, donc8+|𝑥+9|=8+𝑥+9=𝑥+1.

Par conséquent, lorsque 𝑥>9, on a 𝑓(𝑥)=𝑥+1;cela signifie que sa limite quand 𝑥 tend vers 9 depuis la droite doit être égales à limlimlim𝑓(𝑥)=(8+|𝑥+9|)=(𝑥+1)=9+1=8.

De même, lorsque 𝑥<9, on a 8+|𝑥+9|=8(𝑥+9)=𝑥17. Cela signifie quelimlimlim𝑓(𝑥)=(8+|𝑥+9|)=(𝑥17)=(9)17=8.

Comme la limite à gauche et à droite de 𝑓(𝑥) existent et sont égales à 8, on peut conclure quelim𝑓(𝑥)=8.

Dans cet exemple, nous avons vu que même si 𝑓(9)=7, sa limite quand 𝑥 tend vers 9 est égale à 8. Il s’agit d’un exemple de la propriété suivante.

Propriété : Existence d’une limite

L’existence ou la valeur de 𝑓(𝑎) n’affecte pas l’existence ou la valeur de lim𝑓(𝑥)

Dans le prochain exemple, nous allons tracer une courbe représentative pour déterminer l’existence de la limite en un point de l’inverse d’une fonction valeur absolue.

Exemple 4: Vérifier l’existence de la limite en un point de l’inverse d’une fonction valeur absolue

Déterminez si lim1|𝑥2| existe.

Réponse

On rappelle que l’on peut déterminer si la limite de cette fonction existe quand 𝑥 tend vers 2 en vérifiant que les limites à gauche et à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=2 existent et sont égales. Pour déterminer la valeur de cette limite, on peut tracer la courbe représentative de 𝑦=1|𝑥2|. On peut d’abord tracer 𝑦=1𝑥2 comme une translation de 𝑦=1𝑥 de deux unités vers la droite puis remarquer que 1|𝑥2|=|||1𝑥2|||:on effectue donc une symétrie des images négatives de la courbe représentative par rapport à l’axe des 𝑥, ce qui donne la courbe représentative suivante.

La courbe représentative a une asymptote verticale en 𝑥=2. Si on étudie les images de la fonction à gauche et à droite de 𝑥=2, on peut voir que lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers 2 de chaque côté, les images de la fonction augmentent sans borne supérieure.

En termes de limites on a limetlim1|𝑥2|=+1|𝑥2|=+.

On rappelle que dire qu’une limite est égale à plus l’infini signifie que la limite n’existe pas. Cependant, comme les limites à gauche et à droite sont égales, on peut écrire que lim1|𝑥2|=+.

Par conséquent, lim1|𝑥2| n’existe pas mais lim1|𝑥2|=+.

Dans le dernier exemple, nous allons étudier la limite d’une fonction qui a un comportement oscillatoire.

Exemple 5: Comprendre les limites et le comportement oscillatoire

Étudiez le comportement de 𝑓(𝑥)=21𝑥cos quand 𝑥 tend vers 0.

  1. Complétez le tableau de valeurs de 𝑓(𝑥) pour des valeurs de 𝑥 qui tendent vers 0.
    𝑥199𝜋1100𝜋1999𝜋11000𝜋19999𝜋110000𝜋
    𝑓(𝑥)
  2. Que cela suggère-t-il concernant la courbe représentative de 𝑓 au voisinage de 0?
    1. Elle augmente sans borne supérieure.
    2. Elle diminue sans borne inférieure.
    3. Elle varie de manière aléatoire.
    4. Elle tend vers 2.
    5. Elle oscille rapidement entre 2 et 2.
  3. Déduisez-en lim𝑓(𝑥).

Réponse

Partie 1

On trouve chaque valeur du tableau en substituant la valeur de 𝑥 dans la fonction 𝑓(𝑥)=21𝑥cos. Par exemple,𝑓199𝜋=21=2(99𝜋).coscos

La fonction cosinus est périodique avec une période de 2𝜋, on peut donc simplifier par 2(99𝜋)=2(98𝜋+𝜋)=2(𝜋)=2.coscoscos

De même,𝑓1100𝜋=21=2(100𝜋)=20=2.coscoscos

On peut suivre ce raisonnement pour toutes les valeurs du tableau et obtenir

𝑥199𝜋1100𝜋1999𝜋11000𝜋19999𝜋110000𝜋
𝑓(𝑥)222222

Partie 2

Dans le tableau, on peut voir que les valeurs de 𝑥 de gauche à droite tendent vers 0. Cependant, les images de la fonction ne convergent vers aucune valeur, elles oscillent entre 2 et 2.

Par conséquent, le tableau suggère que la courbe représentative oscille rapidement entre 2 et 2, qui est la réponse E.

Partie 3

Le tableau de la partie 2 suggère que 𝑓(𝑥) ne converge vers aucune valeur mais que les images oscillent entre 2 et 2. Cela signifie que la limite à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=0 n’existe pas. Pour que la limite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=0 existe, la limite à gauche et la limite à droite doivent exister et être égales.

Par conséquent, la limite n’existe pas.

Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Pour déterminer si la limite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 existe, trois conditions doivent être vérifiées:
    • la limite à gauche de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 existe;
    • la limite à droite de𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 existe;
    • ces deux limites sont égales.
    Si ces trois conditions sont remplies, on dit que la limite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 existe et est égale à ses limites à gauche et à droite;sinon, on dit que la limite n’existe pas.
  • Si les images de 𝑓(𝑥) augmentent sans borne supérieure quand 𝑥 tend vers 𝑎 des deux côtés, on dit que lim𝑓(𝑥)=+;il s’agit d’un exemple de limite non définie.
  • Si les images de 𝑓(𝑥) diminuent sans borne inférieure quand 𝑥 tend vers 𝑎 des deux côtés, on dit que lim𝑓(𝑥)=;il s’agit d’un autre exemple de limite non définie.

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