Transcription de la vidéo
𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme, où 𝐴𝐵 est égal à 41 centimètres, 𝐵𝐶 est égal à 27 centimètres et la mesure de l’angle 𝐵 est de 159 degrés. Déterminez l’aire de 𝐴𝐵𝐶𝐷 en donnant la réponse au centimètre carré près.
Commençons par tracer ce parallélogramme. On nous donne la mesure d’un angle, l’angle 𝐵, qui est de 159 degrés. On nous donne les longueurs des deux côtés du parallélogramme qui entourent cet angle. Ainsi, cette partie du parallélogramme ressemblera à ceci. Bien sûr, les deux autres côtés du parallélogramme sont parallèles à l’un des côtés que nous avons déjà dessinés. Ils ont aussi la même longueur que leur côté opposé. Nous pouvons donc compléter le parallélogramme.
Maintenant, on nous demande de calculer l’aire de ce parallélogramme. Généralement, nous utilisons la formule suivante : la base multipliée par la hauteur perpendiculaire. Seulement, on ne nous a pas donné la hauteur perpendiculaire de ce parallélogramme. Nous pouvons la calculer avec des notions de trigonométrie, mais il existe une autre méthode que nous pouvons utiliser. Rappelons que les diagonales d’un parallélogramme divisent chacune le parallélogramme en deux triangles superposables. Si nous le souhaitons, nous pouvons le prouver en utilisant la condition de superposabilité côté-côté-côté ou SSS.
Dans les triangles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴𝐷𝐶, les côtés 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont de même longueur car ce sont des côtés opposés dans le parallélogramme d’origine. Pour la même raison, les côtés 𝐴𝐷 et 𝐶𝐵 sont aussi de même longueur. 𝐴𝐶 est un côté commun aux deux triangles. Nous avons donc montré que les deux triangles sont superposables en utilisant la condition côté-côté-côté. Puisque les deux triangles sont superposables, leurs aires sont égales. Ainsi, l’aire du parallélogramme est le double de l’aire de chaque triangle.
Nous rappelons ensuite la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle. Pour un triangle 𝐴𝐵𝐶, où grand 𝐴, grand 𝐵 et grand 𝐶 représentent les mesures des trois angles du triangle et petit 𝑎, petit 𝑏 et petit 𝑐 représentent les longueurs des trois côtés opposés, alors la formule trigonométrique de son aire est un demi 𝑎𝑏 sinus 𝐶. Ici, 𝑎 et 𝑏 représentent les longueurs de deux côtés du triangle et 𝐶 représente la mesure de l’angle inclus. Il s’agit de l’angle entre les deux côtés dont nous utilisons la longueur.
Si nous considérons le triangle 𝐴𝐵𝐶 sur notre figure, alors nous connaissons les longueurs des deux côtés 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. Ils mesurent respectivement 41 et 27 centimètres. De plus, nous connaissons la mesure de leur angle inclus ; il mesure 159 degrés. Ainsi, lorsque nous substituons 41 et 27 à la place des deux longueurs des côtés dans la formule trigonométrique et 159 degrés à la place de leur angle inclus, nous avons que l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 est égale à un demi multiplié par 41 multiplié par 27 multiplié par sinus de 159 degrés.
Comme nous l’avons déjà dit, l’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 est le double de l’aire des triangles individuels. Nous avons donc deux multiplié par un demi multiplié par 41 multiplié par 27 multiplié par un sinus de 159 degrés. Bien sûr, le facteur deux et le facteur demi se compensent, laissant 41 multiplié par 27 multiplié par sinus de 159 degrés.
Nous pouvons maintenant évaluer cela sur une calculatrice, en nous assurant que la calculatrice est en mode degré. Cela donne 396,713. La question nous demande de donner notre réponse au centimètre carré près. Ainsi, cette valeur arrondie à l’entier près est 397.
Alors, en rappelant que les diagonales d’un parallélogramme le divisent en deux triangles superposables, puis en appliquant la formule trigonométrique pour l’aire d’un triangle, nous avons constaté que l’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 au centimètre carré près est de 397 centimètres carrés.
