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Une particule se déplace en ligne droite de sorte que sa vitesse 𝑣 après 𝑡 secondes est donnée par 𝑣 égal moins 𝑡 au carré moins 68𝑡 plus 63 mètres par seconde lorsque 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Quand la vitesse de la particule augmente-t-elle ?
Dans cette question, on nous a donné une expression de la vitesse en fonction du temps. Et, nous cherchons à déterminer quand la vitesse de cette particule augmente. Eh bien, la vitesse d’un objet augmentera lorsque son accélération sera strictement supérieure à zéro. Et ainsi, ensuite, nous rappelons que l’accélération est le taux de variation de la vitesse de l’objet par rapport au temps. Sous forme de dérivée, 𝑎 est la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑡.
Donc, nous devons déterminer quand la dérivée première de notre fonction 𝑣 par rapport à 𝑡 est supérieure à zéro. Et en fait, cela a bien du sens. Nous savons que pour toute fonction 𝑓. Lorsque sa dérivée est supérieure à zéro, elle est croissante. Et, lorsque sa dérivée première est inférieure à zéro, elle doit être une fonction décroissante. Il est donc logique de commencer par dériver notre fonction 𝑣 par rapport à 𝑡. C’est moins 𝑡 carré moins 68𝑡 plus 63.
Maintenant, c’est encore un peu complexe, nous allons donc séparer un peu cela. Nous savons que nous pouvons éliminer tous les facteurs constants et nous concentrer sur la dérivation de la fonction elle-même. Alors, retirons ce facteur commun moins un. Nous savons également que la dérivée de la somme d’un certain nombre de fonctions est égale à la somme des dérivées de chacune de ces fonctions. Donc, nous allons dériver 𝑡 au carré, moins 68𝑡 et 63, individuellement.
Et puis, nous rappelons que pour toutes constantes réelles 𝑎 et 𝑛, la dérivée de 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 est 𝑛𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. En d’autres termes, nous multiplions l’expression entière par l’exposant, puis réduisons cet exposant de un. Cela signifie que la dérivée de 𝑡 au carré est deux 𝑡 à la puissance un soit deux 𝑡. La dérivée de moins 68𝑡 est un fois moins 68𝑡 à la puissance zéro. Et enfin, 𝑡 à la puissance zéro vaut un. Ainsi, sa dérivée est juste moins 68. De plus, la dérivée de toute constante est zéro. Nous développons enfin nos parenthèses et nous voyons que notre dérivée première de la fonction 𝑣 par rapport à 𝑡 est moins deux 𝑡 plus 68.
Il ne reste plus qu’à trouver l’intervalle d’augmentation. Nous définissons l’expression de la dérivée comme étant strictement supérieure à zéro et nous résolvons l’inéquation d’inconnue 𝑡. À présent nous pourrions soustraire 68 aux deux membres, mais nous nous retrouverions avec un coefficient négatif pour 𝑡. Donc, à la place, ajoutons deux 𝑡 à chaque membre. Lorsque nous le faisons, nous constatons que 68 est supérieur à deux 𝑡. Et enfin, nous divisons par deux. Et, nous voyons que 34 est strictement supérieur à 𝑡. En d’autres termes, 𝑡 est strictement inférieur à 34. La vitesse de la particule augmente lorsque 𝑡 est strictement inférieur à 34.
Maintenant, revenons à notre inégalité et revérifions que nous aurions obtenu la même réponse si nous avions effectivement soustrait 68 au départ. Nous aurions obtenu moins deux 𝑡 supérieur à moins 68. Ensuite, nous divisons chaque membre par moins deux. Mais bien sûr, lorsque nous divisons ou multiplions une inégalité par un nombre négatif, nous devons inverser le symbole de l’inégalité. Et donc, encore une fois, nous nous retrouvons bien avec 𝑡 strictement inférieur à 34.
