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Vidéo de la leçon : Intervalles de Croissance et Décroissance d’une fonction Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est croissante, constante ou décroissante.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est croissante, décroissante ou constante.

On dit qu’une fonction est croissante lorsque la valeur de la fonction 𝑓 de 𝑥 augmente au fur et à mesure que la valeur de 𝑥 augmente. Cela produit une courbe en pente ascendante. Et donc, la pente de la courbe d’une fonction sur un intervalle sur lequel elle est croissante doit être positive. On peut inversement dire qu’une fonction est décroissante si la valeur de 𝑓 de 𝑥 diminue au fur et à mesure que la valeur de 𝑥 augmente. Il s’ensuit que si une fonction est décroissante sur cet intervalle, la pente de sa courbe sera négative.

Pour qu’une fonction soit strictement croissante ou décroissante, il ne peut y avoir aucune partie plate sur la courbe de cette fonction. Si on a une partie plate sur la courbe, en d’autres termes, une droite horizontale, on dit que la fonction est constante sur cet intervalle. Maintenant, bien sûr, on pourrait ne pas avoir la courbe de la fonction, on peut donc généraliser ces concepts. Une fonction est croissante si lorsque 𝑥 deux est supérieur à 𝑥 un, 𝑓 de 𝑥 deux est supérieur ou égal à 𝑓 de 𝑥 un. Ensuite, elle est strictement croissante si 𝑓 de 𝑥 deux est supérieure à 𝑓 de 𝑥 un. Si lorsque 𝑥 deux est supérieur à 𝑥 un, 𝑓 de 𝑥 un est égal à 𝑓 de 𝑥 deux, la fonction est constante sur cet intervalle.

De même, on peut formuler des définitions pour les fonctions strictement croissantes et décroissantes. Maintenant, tout au long de cette vidéo, nous allons également utiliser la notation d’intervalle pour décrire les intervalles de croissance et de décroissance. Rappelons. 𝑅 est l’ensemble des nombres réels. Il s’agit des nombres qu’on utilise le plus souvent, et ils comprennent les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Mais ils n’incluent pas les nombres imaginaires ou plus ou moins l’∞. Ensuite, les crochets décrivent un ensemble de valeurs lorsqu’on veut inclure les extrémités. Et puis on utilise les parenthèses lorsqu’on ne veut pas inclure les extrémités de l’intervalle. Nous allons maintenant examiner un certain nombre d’exemples dans lesquels on utilise des graphiques pour établir les intervalles de croissance ou de décroissance, et aussi comment les déterminer en utilisant des équations.

Ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction. Quelle des phrases suivantes est vraie à propos de cette fonction ? Est-ce (A) la fonction est décroissante sur l’ensemble des nombres réels ? Est-ce (B) la fonction est constante sur l’ensemble des nombres réels ? (C) La fonction est croissante sur l’intervalle gauche-ouvert-droit-fermé de moins l’∞ à zéro. Est-ce (D) la fonction est croissante sur l’ensemble des nombres réels ? Ou (E) la fonction est constante sur l’intervalle gauche-ouvert-droit-fermé de moins l’∞ à zéro.

Commençons par rappeler ce que les mots décroissant, croissant et constant nous disent sur la représentation graphique d’une fonction. Si une fonction 𝑓 de 𝑥 est décroissante sur un intervalle, alors la valeur de 𝑓 de 𝑥 diminue au fur et à mesure que la valeur de 𝑥 augmente. En termes de représentation graphique, on peut dire que la courbe sera en pente descendante sur cet intervalle. Le contraire est vrai si une fonction est croissante sur un certain intervalle. Lorsque la valeur de 𝑥 augmente, la valeur de la fonction augmente également. Et on a une courbe en pente ascendante. Ensuite, si une fonction est constante, lorsque la valeur de 𝑥 augmente, la valeur de la fonction reste la même. Et si on examine sa représentation graphique, elle ressemble à une droite horizontale.

Et si on compare notre graphique à ces trois termes et à ces critères, on voit qu’il s’agit d’une droite horizontale. Donc, notre fonction est constante. Donc, si on compare aux options (A) à (E), on sait qu’il s’agit de (B) ou (E). (B) dit que la fonction est constante sur l’ensemble des nombres réels, alors que (E) dit que la fonction est constante sur l’intervalle gauche-ouvert-droit-fermé de moins l’∞ à zéro.

Alors, lequel allons-nous choisir ? Si on considère cette notation, elle indique que la fonction est constante pour toutes les valeurs inférieures à zéro, inclusivement. Et en fait, il s’agit d’un sous-ensemble de l’ensemble des nombres réels qui s’étend de moins l’∞ à plus l’∞ mais n’inclut pas ces extrémités. Si on regarde la droite horizontale qui représente notre fonction, on constate qu’elle a des flèches aux deux extrémités. Et donc notre droite doit également s’étendre de moins l’∞ à plus l’∞. Et donc nous pouvons dire que la bonne réponse est (B) ; la fonction est constante sur l’ensemble des nombres réels.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment utiliser la notation d’intervalle pour décrire si une fonction est croissante, décroissante ou constante sur des intervalles précis.

Quelle des phrases suivantes décrit correctement la monotonie de la fonction représentée sur le graphique ci-dessous ? Est-ce (A) la fonction est croissante sur l’intervalle ouvert cinq à huit, constante sur l’intervalle ouvert moins un à cinq, et décroissante sur l’intervalle ouvert moins deux à moins un ? Est-ce (B) la fonction est croissante sur l’intervalle ouvert moins deux à moins un, constante sur l’intervalle ouvert moins un à cinq et décroissante sur l’intervalle ouvert cinq à huit ? Est-ce (C) la fonction est croissante sur l’intervalle ouvert cinq à huit et décroissante sur l’intervalle ouvert moins deux à cinq ? Ou (D) la fonction est croissante sur l’intervalle ouvert moins deux à cinq et décroissante sur l’intervalle ouvert cinq à huit.

Donc, en lisant la question, nous avons probablement déduit ce qu’on entend par la monotonie d’une fonction. La monotonie d’une fonction nous dit simplement si la fonction est croissante, décroissante ou constante. Et bien sûr, nous rappelons que si une fonction est croissante sur un certain intervalle, elle a une pente positive. Si elle est décroissante, elle a une pente négative. Et elle est constante, eh bien, c’est une droite horizontale. Alors examinons la représentation graphique de notre fonction. Nous voyons qu’elle a trois sections principales. La première section se situe entre moins deux et moins un. La section suivante est entre moins un et cinq, tandis que la troisième section est entre cinq et huit.

Alors considérons chaque section à tour de rôle. On peut constater que la pente de la première partie de la fonction doit être positive. Elle est en pente ascendante. On a ensuite une droite horizontale entre 𝑥 égale moins un et cinq. Et la troisième partie de notre figure a une pente négative. Elle est en pente descendante. Notre fonction est donc croissante pendant un certain temps, constante, puis finalement décroissante. Nous devons déterminer les intervalles sur lesquels chacune de ces situations se produit. La figure a une pente positive entre 𝑥 égale moins deux et moins un. Et donc on définit cela avec l’intervalle ouvert moins deux à moins un.

Nous n’allons pas utiliser un intervalle fermé. Nous ne savons pas vraiment ce qui se passe aux extrémités de cet intervalle. Par exemple, lorsque 𝑥 est égal à moins un, la courbe de notre fonction a une sorte de bout pointu. Et donc nous allons exclure 𝑥 égal moins deux et 𝑥 égal moins un de notre intervalle. De la même manière, la fonction est constante sur l’intervalle ouvert moins un à cinq. Et elle est décroissante sur l’intervalle ouvert de cinq à huit. Encore une fois, nous ne savons pas ce qui se passe à ces extrémités, mais nous avons des bouts pointus. Et donc nous ne pouvons pas dire si elle est croissante, décroissante ou constante. Et donc la bonne réponse est (B) : la fonction est croissante sur l’intervalle ouvert moins deux à moins un, constante sur l’intervalle ouvert de moins un à cinq, et décroissante sur l’intervalle ouvert cinq à huit.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment identifier les régions croissantes et décroissantes à partir d’un graphique.

Ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction. Quelle des phrases suivantes est vraie à propos de cette fonction ? Est-ce (A) la fonction est croissante sur l’intervalle ouvert moins l’∞ à zéro et croissante sur l’intervalle ouvert de zéro à l’∞ ? Est-ce (B) la fonction est décroissante sur l’intervalle ouvert moins l’∞ à moins cinq et moins cinq à l’∞ ? Est-ce (C) la fonction est croissante sur l’intervalle ouvert moins l’∞ à moins cinq et l’intervalle ouvert moins cinq à l’∞ ? Ou (D) la fonction est décroissante sur l’intervalle ouvert moins l’∞ à zéro et décroissante sur l’intervalle ouvert de zéro à l’∞.

Chacune des phrases concerne la monotonie de la représentation graphique. On nous demande si la fonction est croissante ou décroissante sur des intervalles précis. Et donc nous rappelons qu’on peut dire qu’une fonction est croissante si sa valeur de 𝑓 de 𝑥 augmente au fur et à mesure que la valeur de 𝑥 augmente. Lorsqu’on examine sa courbe, on s’attend à une pente positive. Ensuite, si une fonction est décroissante, sa courbe a une pente négative sur cet intervalle. Et donc examinons notre graphique. Il semble qu’il s’agit d’une fonction réciproque. Et le graphique a deux asymptotes. Nous voyons que l’axe des 𝑦, qui est la droite 𝑥 égale zéro, est une asymptote verticale. Et puis il y a une asymptote horizontale définie par la droite 𝑦 égale moins cinq.

Maintenant, cela signifie que la représentation graphique de notre fonction se rapprochera de ces droites, mais ne les touchera jamais. Et cela, signifie que la courbe de notre fonction ne sera jamais une droite complètement horizontale ou complètement verticale. Voyons donc ce qui se passe lorsque la valeur de 𝑥 augmente. Lorsqu’on passe de moins l’∞ à zéro, la fonction 𝑓 de 𝑥 est croissante. Sa pente est toujours positive, et chaque valeur de 𝑓 de 𝑥 est supérieure à la valeur précédente de 𝑓 de 𝑥. Ensuite, lorsqu’on passe de 𝑥 égal à zéro à plus l’∞, la même chose se produit. Et cela signifie donc que la fonction est croissante de moins l’∞ à zéro et de zéro à l’∞. Mais que se passe-t-il à zéro ?

Eh bien, nous voyons que la fonction ne peut pas prendre une valeur de 𝑥 égale zéro. Et donc la courbe de notre fonction se rapproche de la droite 𝑥 est égal à zéro mais ne l’atteint jamais. Nous utilisons ensuite ces parenthèses pour montrer que la courbe est croissante entre 𝑥 est égal à moins l’∞ et zéro et entre 𝑥 est égal à zéro et l’∞, mais que nous ne voulons pas inclure les extrémités. Notez qu’on n’inclut pas moins l’∞ et plus l’∞ car on ne peut pas vraiment définir ces quantités. Et donc la bonne réponse est (A), la fonction est croissante sur l’intervalle ouvert moins l’∞ à zéro et croissante sur l’intervalle ouvert zéro à l’∞.

Nous allons à présent examiner les critères d’une fonction exponentielle qui la rendrait purement croissante.

Quelle condition 𝑧 doit-il remplir pour que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑧 sur sept puissance 𝑥, où 𝑥 est un nombre positif, soit une fonction croissante ?

Pour qu’une fonction soit croissante, on sait qu’au fur et à mesure qu’on augmente les valeurs de 𝑥, la valeur de 𝑓 de 𝑥 doit elle aussi augmenter. Alors comment peut-on être sûr que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑧 sur sept puissance 𝑥 est croissante sur tout son domaine de définition, en d’autres termes, pour toutes valeurs de 𝑥 ? Eh bien, rappelons ce que nous savons des fonctions exponentielles. Voici une fonction exponentielle. Et la forme générale d’une fonction exponentielle est 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 puissance 𝑥. Eh bien, tant que 𝑎 est positif et un entier non nul pas égal à un, la fonction sera croissante si 𝑎 est supérieure à un et décroissante si 𝑎 est inférieur à un.

Et donc nous allons définir 𝑎 comme étant 𝑧 sur sept. Et donc, pour que notre fonction soit croissante, 𝑧 sur sept doit être supérieur à un. Nous avons une inégalité que nous pouvons résoudre comme nous le ferions pour toute équation normale. Nous allons multiplier les deux côtés par sept. 𝑧 sur de sept fois sept est égal à 𝑧, et un fois sept font sept. Et donc 𝑧 lui-même doit être supérieur à sept pour que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑧 sur sept puissance 𝑥 soit une fonction croissante.

Nous allons maintenant considérer un dernier exemple. Et nous allons chercher à identifier les intervalles croissants et décroissants d’une fonction inverse lorsqu’on n’a pas sa représentation graphique.

Quelle des phrases ci-dessous est vraie à propos de la fonction ℎ de 𝑥 égale moins un sur sept moins 𝑥 moins cinq ? Est-ce (A) ℎ de 𝑥 est décroissante sur les intervalles moins l’∞ à sept et sept à l’∞ ? Est-ce (B) ℎ de 𝑥 est décroissante sur les intervalles moins l’∞ à moins sept et moins sept à l’∞ ? (C) ℎ de 𝑥 est croissante sur les intervalles moins l’∞ à moins sept et moins sept à l’∞. Ou (D) ℎ de 𝑥 est croissante sur les intervalles moins l’∞ à sept et sept à l’∞.

Si on regarde attentivement, on constate que ℎ de 𝑥 est une fonction inverse. C’est un sur un polynôme. Nous savons donc qu’il y aura probablement des asymptotes sur notre graphique. Pensons à la façon dont nous pourrions esquisser la courbe de ℎ de 𝑥. Nous allons commencer par la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à un sur 𝑥. Et puis nous allons considérer la série de transformations qui associent la fonction un sur 𝑥 à la fonction ℎ de 𝑥. Voici la fonction un sur 𝑥. Elle a des asymptotes horizontales et verticales qui sont les axes des 𝑥 et des 𝑦. Maintenant, nous allons voir comment associer 𝑓 de 𝑥 à un sur moins 𝑥. Ceci est représenté par la réflexion dans l’axe des 𝑦.

Et puis comment associe-t-on cela à la fonction un sur sept moins 𝑥 ? Eh bien, lorsqu’on ajoute sept à la partie intérieure de notre fonction composée, on obtient une translation horizontale par moins sept. Soit une translation vers la gauche de sept unités. Maintenant, ce faisant, notre asymptote horizontale reste la même ; c’est toujours l’axe des 𝑥. Mais notre asymptote verticale se déplace également de sept unités vers la gauche. Et ainsi, elle quitte l’axe des 𝑦, qui est la droite 𝑥 est égal à zéro, à la droite 𝑥 est égal à moins sept. Mais bien sûr, ℎ de 𝑥 est moins un sur sept moins 𝑥. Cette fois, nous effectuons une réflexion de la courbe dans l’axe des 𝑦. Ainsi, notre asymptote horizontale reste inchangée, mais notre asymptote verticale est maintenant 𝑥 est égale à sept.

Notre transformation finale associe cette fonction à ℎ de 𝑥. Soit moins un sur sept moins 𝑥 moins cinq. Et maintenant, nous déplaçons toute la courbe que nous avons translatée cinq unités vers le bas. Et donc nous avons maintenant la représentation graphique de ℎ de 𝑥 égale moins un sur sept moins 𝑥 moins cinq, et nous pouvons déterminer si la fonction est croissante ou décroissante sur les différents intervalles. Souvenez-vous que si une fonction est décroissante, sa courbe aura une pente négative, et si elle est croissante, sa courbe aura une pente positive. Lorsque nous déplaçons nos valeurs de 𝑥 de gauche à droite, c’est-à-dire de moins l’∞ jusqu’à 𝑥 égale sept, nous voyons que la courbe est en pente descendante. Elle tend vers moins l’∞, mais ne l’atteindra jamais.

Ensuite, lorsque 𝑥 tend vers plus l’∞ à partir de sept, la courbe continue d’être descendante. Cette fois, cependant, elle tend vers moins cinq. Et donc la fonction est certainement décroissante sur ces intervalles de moins l’∞ à sept et de sept à l’∞. Puisque la fonction elle-même ne peut pas prendre une valeur de 𝑥 égale sept, et c’est pourquoi on a l’asymptote horizontale, alors on utilise des intervalles ouverts. Qui sont représentées par les parenthèses. Et donc la bonne réponse est (A), ℎ de 𝑥 est décroissante sur l’intervalle ouvert moins l’∞ à sept et sept à l’∞.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris qu’une fonction est croissante si 𝑓 de 𝑥 augmente au fur et à mesure que la valeur de 𝑥 augmente. Sur ces intervalles, la courbe de la fonction a une pente positive. Et puis, si la valeur de la fonction diminue lorsque 𝑥 augmente, on dit qu’elle est décroissante et la courbe a une pente négative. Souvenez-vous qu’on peut dire qu’une fonction est strictement croissante ou décroissante, s’il n’y a pas du tout de partie plate sur sa représentation graphique. Enfin, nous avons vu qu’une fonction est constante si la valeur de 𝑓 de 𝑥 reste inchangée lorsque la valeur de 𝑥 augmente et que la représentation graphique d’une fonction constante ressemble à une droite horizontale.

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