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Fiche explicative de la leçon : Intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est croissante, constante ou décroissante.

Tout au long de cette fiche explicative, nous utiliserons la notation d’intervalles pour décrire les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante. Nous commençons par rappeler ce que nous entendons par notation d’intervalles.

Définition : Notation d’intervalles

L’intervalle des nombres compris entre 𝑎 et 𝑏, y compris 𝑎 et 𝑏, est souvent désigné par [𝑎;𝑏], 𝑎 et 𝑏 sont appelées les bornes de l’intervalle.

Pour indiquer que l’une des bornes doit être exclue de l’ensemble, le crochet correspondant peut être remplacé par une parenthèse ou inversé. Ainsi, en notation d’intervalles, cela est exprimé comme suit:(𝑎,𝑏)=]𝑎,𝑏[={𝑥𝑎<𝑥<𝑏},[𝑎,𝑏)=[𝑎,𝑏[={𝑥𝑎𝑥<𝑏},(𝑎,𝑏]=]𝑎,𝑏]={𝑥𝑎<𝑥𝑏},[𝑎,𝑏]=[𝑎,𝑏]={𝑥𝑎𝑥𝑏}.

Nous allons maintenant définir les conditions pour qu’une fonction soit croissante, décroissante ou constante sur un intervalle donné.

Définition : Fonctions croissantes

Une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est croissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥).

Comme il faut comparer 𝑓(𝑥) à 𝑓(𝑥), la fonction 𝑓 doit être défini sur ]𝑎;𝑏[. Lorsqu’une fonction est croissante sur un intervalle, ses valeurs de sorties augmentent le long de cet intervalle, de sorte que sa courbe monte sur cet intervalle.

Définition : Fonctions décroissantes

Une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est décroissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)>𝑓(𝑥).

Lorsqu’une fonction est décroissante sur un intervalle, ses valeurs de sorties diminuent sur cet intervalle, de sorte que sa courbe descend sur cet intervalle.

Il est également fréquent de se référer à des fonctions strictement croissantes ou strictement décroissantes;cependant, nous n’utiliserons pas cette terminologie dans cette fiche explicative.

Nous pouvons également décrire des fonctions dont les images ne changent pas sur un intervalle comme suit.

Définition : Fonction constante sur un intervalle

Une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est constante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[:𝑓(𝑥)=𝑐, pour une certaine constante 𝑐.

Lorsqu’une fonction est constante sur un intervalle, ses sorties sont constantes sur cet intervalle, de sorte que sa courbe est horizontale sur cet intervalle.

Définition : Fonctions croissantes, décroissantes ou constantes

Si une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est croissante sur tout son ensemble de définition, on dit simplement que la fonction est croissante. De même, si 𝑓(𝑥) est décroissante sur tout son ensemble de définition, on dit que la fonction est décroissante. Enfin, si une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est constante sur tout son ensemble de définition, on dit que la fonction est constante.

Nous allons maintenant voir une variété de représentations graphiques et déterminer sur quels intervalles de leurs ensembles de définitions les fonctions sont croissantes, décroissantes ou constantes. Dans le premier exemple, nous allons déterminer cette information à partir d’un graphique donné correspondant à une fonction.

Exemple 1: Identifier si la fonction représentée dans le graphique donné est croissante, décroissante ou aucune des deux

La représentation graphique d’une fonction est donnée ci-dessous. Laquelle des affirmations suivantes sur la fonction est vraie?

  1. La fonction est constante sur .
  2. La fonction est croissante sur .
  3. La fonction est décroissante sur .
  4. La fonction est constante sur ];0].
  5. La fonction est croissante sur ];0].

Réponse

Commençons par rappeler ce que les mots croissant, décroissant et constant nous donnent des informations sur les courbes représentatives d’une fonction.

Premièrement, une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est croissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥). Deuxièmement, une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est décroissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)>𝑓(𝑥). Enfin, une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est constante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)=𝑐, pour une certaine constante 𝑐.

Si on compare ces définitions à la représentation graphique donnée, on voit qu’on a une droite horizontale, donc la fonction doit être constante. Pour chaque valeur de 𝑥, on voit que l’image, 𝑦, est égal à 4.

Si on observe la droite horizontale représentant la fonction, on voit qu’elle a des flèches aux deux extrémités. Cela signifie que la droite doit s’étendre de à +. L’intervalle ];+[ est l’ensemble des nombres réels;par conséquent, la fonction doit être constante pour tous les nombres réels.

Par conséquent, la bonne réponse est la réponse A;la fonction est constante sur .

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser la représentation graphique d’une fonction pour déterminer les intervalles sur lesquels elle est croissante, décroissante ou constante.

Exemple 2: Déterminer le sens de variation d’une fonction définie par morceaux à l’aide d’un graphique

Laquelle des affirmations suivantes décrit correctement le sens de variation de la fonction représentée sur la figure ci-dessous?

  1. La fonction est croissante sur ]5;8[ et décroissante sur ]2;5[.
  2. La fonction est croissante sur ]2;5[ et décroissante sur ]5;8[.
  3. La fonction est croissante sur ]2;1[, constante sur ]1;5[ et décroissante sur ]5;8[.
  4. La fonction est croissante sur ]5;8[, constante sur ]1;5[ et décroissante sur ]2;1[.

Réponse

Le sens de variation d’une fonction indique si elle est croissante ou décroissante sur un intervalle donné. Dans cet exemple, nous avons quatre options possibles.

On rappelle qu’une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est croissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥). Une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est décroissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)>𝑓(𝑥). Enfin, une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est constante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[:𝑓(𝑥)=𝑐 , pour une certaine constante 𝑐.

La représentation graphique comporte trois sections principales.

Entre 𝑥=2 et 𝑥=1, comme la valeur de 𝑥 augmente, l’image, 𝑦, augmente également. Cela signifie que la fonction est croissante sur ]2;1[. Comme les options utilisent des intervalles ouverts, nous ne devons pas nous inquiéter sur les bornes des intervalles dans cette question.

Entre 𝑥=1 et 𝑥=5, l’image, 𝑦, est toujours égal à 3, de sorte que la fonction est constante sur cet intervalle. Cela signifie que la fonction est constante sur ]1;5[. Une fois encore, l’intervalle est ouvert aux deux bornes.

Entre 𝑥=5 et 𝑥=8, comme la valeur de 𝑥 augmente, l’image, 𝑦, diminue. Cela signifie que la fonction est décroissante sur ]5;8[.

Le sens de variation de la fonction peut être décrit comme croissante sur ]2;1[, constante sur ]1;5[ et décroissante sur ]5;8[.

Par conséquent, la bonne réponse est la réponse C;la fonction est croissante sur ]2;1[, constante sur ]1;5[ et décroissante sur ]5;8[.

Dans le prochain exemple, nous allons identifier les régions croissantes et décroissantes à partir de la représentation graphique d’une fonction inverse.

Exemple 3: Identifier les régions croissantes et décroissantes d’un graphique

Le graphique d’une fonction est donné ci-dessous. Laquelle des affirmations suivantes sur la fonction est vraie?

  1. La fonction est croissante sur ];0[ et ]0;+[.
  2. La fonction est décroissante sur ];0[ et ]0;+[.
  3. La fonction est croissante sur ];5[ et ]5;+[.
  4. La fonction est décroissante sur ];5[ et ]5;+[.

Réponse

Chacune des affirmations considère le sens de variation de la fonction;c’est-à-dire si elle est croissante ou décroissante sur un intervalle donné. On rappelle qu’une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est croissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥). Une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est décroissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)>𝑓(𝑥).

La représentation graphique donnée comporte deux asymptotes. On voit que l’axe des 𝑦(𝑥=0) est une asymptote verticale et on a une asymptote horizontale en 𝑦=5. Cela signifie que 0 n’appartient pas à l’ensemble de définition de 𝑓.

Comme 0 n’appartient pas à l’ensemble de définition de 𝑓, on doit chercher le sens de variation de la fonction sur son ensemble de définition, les intervalles ];0[ et ]0;+[.

Considérons maintenant ce qui arrive à la représentation graphique lorsque 𝑥 augmente. Plus qu’on se déplace de à 0 le long de l’axe des 𝑥, la valeur de 𝑓(𝑥) augmente. Cela signifie que sur l’intervalle ];0[, la fonction est croissante.

La même chose se produit lorsqu’on se déplace de 0 à + le long de l’axe des 𝑥;la valeur de 𝑓(𝑥) augmente. Cela signifie que sur l’intervalle ]0;+[, la fonction est également croissante.

Il est important de noter ce qui se passe en 𝑥=0. Comme 0 n’appartient pas à l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥), cela signifie qu’il n’appartient pas aux intervalles où 𝑓(𝑥) est croissante ou décroissante.

On peut conclure que la fonction est croissante sur ];0[ et ]0;+[.

Comme 0 n’appartient pas à l’ensemble de définition de 𝑓, on doit donc considérer le sens de variation de la fonction uniquement sur les intervalles ];0[ et ]0;+[. La fonction est donc croissante sur tout son ensemble de définition.

Par conséquent, la bonne réponse est la réponse A;la fonction est croissante sur ];0[ et ]0;+[.

Nous allons maintenant considérer les critères nécessaires pour qu’une fonction exponentielle soit croissante.

Exemple 4: Identifier la condition pour qu’une fonction exponentielle soit croissante

Quelle condition doit-il y avoir sur 𝑧 pour que 𝑓(𝑥)=𝑧7, 𝑥 est un nombre positif, soit une fonction croissante?

Réponse

Une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est croissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥).

Pour s’assurer que la fonction exprimée par 𝑓(𝑥)=𝑧7, est croissante pour toutes les valeurs positives de 𝑥, on doit remarquer qu’il s’agit d’une fonction exponentielle. La forme générale d’une fonction exponentielle est 𝑓(𝑥)=𝑎. Si 𝑎>1, la fonction est croissante, et si 0<𝑎<1, la fonction est décroissante. Cela peut être partiellement illustré comme suit.

À partir de 0<𝑥<𝑥, on doit trouver les valeurs de 𝑎 telles que 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥).

On peut écrire 𝑥=𝑥+𝑝,𝑝>0.où

On peut l’utiliser pour comparer les valeurs de 𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)=𝑎=𝑎=𝑎×𝑎=𝑎𝑓(𝑥).

On sait que 𝑎>0 et 𝑝>0, donc 𝑎>0.

On sait également que 𝑥, 𝑥>0, donc 𝑓(𝑥),𝑓(𝑥)>0.

Pour une fonction croissante, on a besoin que l’inéquation 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥) soit vraie pour toutes les valeurs possibles de 𝑥 et 𝑥. En substituant dans l’expression de 𝑓(𝑥), on peut réécrire cette inéquation comme 𝑓(𝑥)<𝑎𝑓(𝑥).

Comme 𝑓(𝑥) et 𝑎 sont positifs, cette inéquation ne sera vraie que si 𝑎>1, pour toute valeur positive de 𝑝. On peut trouver les valeurs de 𝑎 qui vérifient cette inéquation en prenant des logarithmes des deux membres:logloglogloglog(𝑎)>(1),𝑝(𝑎)>(1),𝑝(𝑎)>0.

Comme 𝑝 est positif, il faut avoir log(𝑎)>0, ce qui est vrai lorsque 𝑎>1.

Par conséquent, la fonction 𝑎 est croissante, pour toute valeur positive de 𝑥, lorsque 𝑎>1. Dans cette question, 𝑎=𝑧7, nous avons donc l’inégalité 𝑧7>1(7)𝑧>7.multiplierlesdeuxmembrespar

Par conséquent, si 𝑧>7, alors 𝑓(𝑥)=𝑧7 est une fonction croissante pour les valeurs positives de 𝑥.

Dans le dernier exemple, on va considérer les régions croissantes et décroissantes d’une fonction inverse sans avoir la représentation graphique.

Exemple 5: Identifier les régions croissantes et décroissantes d’une fonction inverse

Laquelle des affirmations suivantes est vraie pour la fonction définie par (𝑥)=17𝑥5?

  1. (𝑥) est croissante sur les intervalles ];7[ et ]7;+[.
  2. (𝑥) est croissante sur les intervalles ];7[ et ]7;+[.
  3. (𝑥) est décroissante sur les intervalles ];7[ et ]7;+[.
  4. (𝑥) est décroissante sur les intervalles ];7[ et ]7;+[.

Réponse

On voit que la fonction est une fonction inverse. On peut déterminer les régions croissantes et décroissantes d’une fonction à partir de son graphique, donc une façon de répondre à cette question est de tracer la courbe d’équation (𝑥)=17𝑥5.

On commence par tracer la représentation graphique de 𝑓(𝑥)=1𝑥. Cette représentation graphique possède des asymptotes horizontales et verticales formées par l’axe des 𝑥 et l’axe des 𝑦.

On va maintenant considérer l’ensemble des transformations qui transforment 𝑓(𝑥)=1𝑥 vers (𝑥).

Premièrement, la représentation graphique de 1(𝑥) est l’image par symétrie de 1𝑥 par rapport à l’axe des 𝑦 et possède les mêmes asymptotes horizontales et verticales.

Ensuite, on peut transformer 1(𝑥) vers 17𝑥 par une translation de la représentation graphique de 7 unités vers la droite. Puisque 17𝑥=1(𝑥7), cela signifie que l’asymptote verticale est maintenant la droite d’équation 𝑥=7, et comme une translation horizontale n’affecte pas la position de l’asymptote horizontale, cela reste toujours l’axe des 𝑥.

La fonction exprimée par (𝑥) représente l’opposée de celui-ci, de sorte que nous pouvons transformer 17𝑥 vers 17𝑥 par symétrie par rapport à l’axe des 𝑥. Les asymptotes verticales et horizontales sont inchangées selon cette transformation, car 𝑦=0 est l’asymptote horizontale.

Enfin, pour transformer 17𝑥 vers (𝑥)=17𝑥5, on effectue une translation verticale de 5 unités vers le bas. Cela change la position de l’asymptote horizontale par 5 unités vers le bas et laisse l’asymptote verticale inchangée. Donc, on a maintenant une asymptote horizontale en 𝑦=5.

La fonction exprimée par (𝑥)=17𝑥5 est une fonction inverse avec une asymptote verticale en 𝑥=7 et une asymptote horizontale en 𝑦=5.

On doit maintenant déterminer où cette fonction est croissante et où elle est décroissante.

On rappelle qu’une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est croissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥). Une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est décroissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)>𝑓(𝑥).

Plus qu’on se déplace de à 7 le long de l’axe des 𝑥, les images (𝑥) diminuent.

Cela signifie que sur l’intervalle ];7[, la fonction est décroissante.

De même, lorsqu’on se déplace de 7 à + le long de l’axe des 𝑥, les images (𝑥) diminuent. Cela signifie que sur l’intervalle ]7;+[, la fonction est également décroissante.

Il est important de noter ce qui se passe en 𝑥=7. Comme 7 n’appartient pas à l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥), cela signifie qu’elle ne peut se trouver dans les intervalles où 𝑓(𝑥) est croissante ou décroissante.

On peut conclure que la fonction exprimée par (𝑥)=17𝑥5 est décroissante sur les intervalles ];7[ et ]7;+[;en d’autres termes, c’est une fonction décroissante.

Par conséquent, la bonne réponse est la réponse D;(𝑥) est décroissante sur les intervalles ];7[ et ]7;+[.

Nous terminerons cette fiche explicative en récapitulant certains des points clés.

Points clés

  • Une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est croissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)<𝑓(𝑥).
  • Une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est décroissante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥<𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)>𝑓(𝑥).
  • Une fonction exprimée par 𝑓(𝑥) est constante sur un intervalle ]𝑎;𝑏[ si pour tout 𝑥 appartenant à ]𝑎;𝑏[𝑓(𝑥)=𝑐, pour une certaine constante 𝑐.
  • Une fonction peut être croissante, décroissante ou constante pour différents intervalles sur son ensemble de définition. Nous pouvons identifier ces différentes régions à partir du graphique de la fonction.
  • On peut aussi décrire une fonction comme étant simplement croissante, décroissante ou constante, si cela est vrai pour tout son ensemble de définition.

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