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Déterminez la dérivée de la fonction 𝑦 égale à quatre 𝑥 fois racine carrée de 𝑥 plus six au point moins deux, moins 16.
Examinons cette function 𝑦. On constate qu'elle est constituée d'un produit de termes. Elle est égale à quatre 𝑥 fois racine carrée de 𝑥 plus six. Comme l'exposant de ce deuxième facteur est un demi, on ne peut pas simplement développer les parenthèses pour obtenir une fonction polynôme.
Nous allons devoir utiliser la règle de dérivation d’un produit. Cette règle nous dit que, pour deux fonctions différentiables 𝑢 et 𝑣, la dérivée par rapport à 𝑥 de leur produit 𝑢𝑣 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Il faut multiplier chaque fonction par la dérivée de l'autre et les additionner. On définit donc 𝑢 comme étant l'un de nos facteurs. On va définir 𝑢 comme étant égal à quatre 𝑥. Et on définit 𝑣 comme étant la racine carrée de 𝑥 plus six, qui peut être exprimée comme 𝑥 plus six à la puissance un demi.
Il nous faut ensuite trouver chacune de leurs dérivées respectives. d𝑢 sur d𝑥 est simple. On peut utiliser la règle de la dérivation d'une puissance. On peut considérer que quatre 𝑥 est quatre 𝑥 puissance un. Donc, pour la dériver, on multiplie par l'exposant de un, puis on diminue l'exposant de un, ce qui donne quatre fois un fois 𝑥 puissance zéro. 𝑥 puissance zéro est simplement un. Nous avons donc quatre fois un fois un, ce qui est simplement quatre.
Maintenant, d𝑣 sur d𝑥 est un peu plus compliqué car nous voyons que 𝑣 est en fait une fonction composée. C'est une fonction d'une fonction. En effet, on prend la fonction 𝑥 plus six puis on trouve sa racine carrée. Pour calculer cette dérivée, nous allons devoir utiliser la règle de dérivation en chaîne. La règle de dérivation en chaîne nous dit que si 𝑣 est une fonction d'une autre fonction 𝑧, qui est elle-même une fonction de 𝑥, alors la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑧 fois la dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑥. J'ai changé les lettres par rapport à ce qui se trouve ici. On le voit souvent écrit en termes de 𝑢, parce que nous avons déjà 𝑢 définie comme étant une autre fonction dans cette question.
On peut donc introduire cette nouvelle variable 𝑧. Nous considérerons que 𝑧 égale 𝑥 plus six. C'est la partie intérieure de notre fonction composée. 𝑣 sera alors égal à 𝑧 à la puissance un demi. Donc 𝑣 est une fonction de 𝑧. Et 𝑧 est une fonction de 𝑥. On trouve ensuite chacune de leurs dérivées respectives, en utilisant dans les deux cas la règle de dérivation d’une puissance. La dérivée de 𝑧 par rapport à 𝑥 est simplement égale un. Et la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑧 est un demi fois 𝑧 puissance moins un demi.
En appliquant la règle de dérivation en chaîne, on obtient donc que d𝑣 sur d𝑥 égale à d𝑣 sur d𝑧 fois d𝑧 sur d𝑥. C'est un demi 𝑧 puissance moins un demi fois un. Bien sûr, la multiplication par un n'a aucun effet. On peut le réécrire comme un sur deux 𝑧 puissance un demi. Et enfin, il ne faut pas oublier de défaire notre substitution. C'est à dire il nous faut donc donner d𝑣 sur d𝑥 en fonction de 𝑥. On trouve alors que d𝑣 sur d𝑥 égale un demi fois 𝑥 plus six puissance un demi. On a remplacé 𝑧 par 𝑥 plus six.
Il se peut maintenant que vous pouvez aussi trouver cette dérivée en utilisant la règle générale de dérivation d’une puissance plutôt que la règle de dérivation en chaîne. Qui nous dit que si nous avons une certaine fonction 𝑓 de 𝑥 à la puissance 𝑛, alors sa dérivée par rapport à 𝑥 égale à 𝑛 fois 𝑓 prime de 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Cela ressemble beaucoup à la règle de dérivation d'une puissance. Mais on a ce facteur supplémentaire 𝑓 prime de 𝑥. C'est la dérivée de notre fonction 𝑓 de 𝑥.
Donc pour notre fonction 𝑣, la fonction 𝑓 de 𝑥 serait 𝑥 plus six. En appliquant la règle générale de dérivation d’une puissance, on trouve donc que d𝑣 sur d𝑥 égale 𝑛, c'est-à-dire un demi, fois 𝑓 prime de 𝑥, qui est la dérivée de 𝑥 plus six, soit simplement un, fois 𝑓 de 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Ce qui donne 𝑥 plus six puissance moins un demi. On peut bien sûr l'écrire comme un sur deux fois 𝑥 plus six puissance un demi, ce qui correspond à ce que nous avons déjà trouvé pour notre dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑥 en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Ces deux méthodes peuvent donc être utilisées sans problème.
Dans les deux cas, étant donné que nous avons à la fois d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥, il nous faut revoir notre formule de la règle du produit. On a que d𝑦 sur d𝑥 égale 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥. On a donc quatre 𝑥 fois un sur deux 𝑥 plus six puissance un demi, ce qui s'écrit comme quatre 𝑥 sur deux 𝑥 plus six puissance un demi. Plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. On obtient donc quatre fois 𝑥 plus six puissance un demi. On peut simplifier par le facteur commun deux pour notre premier terme. Et il est utile de réécrire ces exposants de un demi sous forme de racines carrées. On a donc que d𝑦 sur d𝑥 égale deux 𝑥 sur racine carrée de 𝑥 plus six plus quatre fois racine carrée de 𝑥 plus six.
Rappelons enfin que ce n’est pas demandé de donner une expression générale de la dérivée première. On nous a demandé de la calculer en un point particulier. La dernière étape consiste donc à substituer l’abscisse 𝑥 de ce point, c'est-à-dire moins deux, dans notre expression de d𝑦 sur d𝑥. Cela donne d𝑦 sur d𝑥 égale deux fois moins deux sur racine carrée de moins deux plus six plus quatre fois racine carrée de moins deux plus six. Ce qui se simplifie en moins quatre sur racine carrée de quatre plus quatre fois racine carrée de quatre. La racine carrée de quatre est bien sûr deux. On a donc moins quatre sur deux plus quatre fois deux. Cela donne moins deux plus huit, soit six.
Pour cette question, nous avons donc dû utiliser plus d'une règle de dérivation, soit la règle du produit et la règle de dérivation en chaîne, soit la règle du produit et la règle générale de dérivation d'une puissance. Mais en procédant ainsi, nous avons trouvé que la dérivée première de la fonction 𝑦 égale à quatre 𝑥 fois racine carrée de 𝑥 plus six au point de coordonnées moins deux, moins 16 est six.
