Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la dérivée première d’une fonction par la combinaison des règles du produit, du quotient et de dérivation en chaîne.
De nombreuses fonctions sont construites à partir de fonctions plus simples combinées à l’aide des moyens suivants :
- addition et soustraction : et ;
- multiplication et division : et ;
- composition : .
On rappelle qu’il existe heureusement des règles pour dériver de telles fonctions. Pour l’addition et la soustraction, on peut utiliser la linéarité de la dérivée ; pour la multiplication et la division, on a la règle du produit et la règle du quotient ; pour la composition, on peut appliquer la règle de dérivation en chaîne. On rappelle ces règles ci-dessous.
Règle : Règles de dérivation
Pour deux fonctions dérivables et et deux constantes , on a les règles suivantes :
- Linéarité : .
- Règle du produit : .
- Règle du quotient : pour , .
- Règle de dérivation en chaîne : .
On peut utiliser ces règles individuellement ou les combiner, ce qui nous permet alors de dériver n’importe quelle combinaison de fonctions élémentaires. Cependant, signalons que dans la plupart des cas, cet exercice n’est pas trivial ; il n’est pas toujours simple d’identifier quelles règles appliquer ni dans quel ordre, ni de déterminer les éventuelles simplifications algébriques qui permettraient de faciliter le processus. Dans cette fiche explicative, nous étudierons un certain nombre d’exemples pour apprendre comment résoudre ce type de problèmes.
Prenons l’exemple d’une fonction compliquée combinant plusieurs opérations différentes et voyons comment on peut la dériver en la séparant en plusieurs parties. On considère la fonction
À première vue, dériver cette fonction peut sembler difficile ; mais on peut la séparer en plusieurs parties pour faciliter le processus. Pour cela, la meilleure méthode consiste généralement à considérer en premier la couche la plus externe, avant de progresser vers l’intérieur de la fonction. Si l’on fait cela avec notre fonction, on constate qu’il s’agit en fait d’une somme de deux fonctions :
Il découle de la linéarité de la dérivation que l’on peut dériver séparément et et les additionner ensuite. Commençons par nous occuper de ; on peut voir que
Autrement dit, est une fonction composée et on peut par conséquent lui appliquer la règle de dérivation en chaîne. Bien sûr, cela implique que l’on doit également trouver la dérivée de , mais cette fonction peut elle aussi être séparée en parties plus simples à dériver. En continuant ce processus d’élimination des couches de complexité de la fonction, on aboutit finalement à des expressions élémentaires que l’on sait dériver. On peut représenter visuellement ce processus comme suit.
Notez qu’en bas de l’arbre, dans les feuilles, toutes les fonctions sont facilement dérivables. À travers cet exemple, on observe qu’en appliquant la règle appropriée à chaque étape, on peut trouver la dérivée de fonctions très complexes.
Appliquons maintenant cette approche à quelques exemples un peu plus simples que celui-ci. Nous commencerons par un polynôme de degré élevé donné sous forme factorisée.
Exemple 1: Trouver la dérivée première de fonctions polynomiales en un point en utilisant la règle du produit et de dérivation en chaîne
Trouvez la dérivée première de en .
Réponse
Commençons par analyser la fonction donnée et voyons quelles règles on peut lui appliquer. Comme il s’agit d’une fonction polynomiale, on pourrait la réécrire sous forme développée puis réduite et dériver séparément chacun de ses termes, mais cela générerait un grand nombre de calculs. Une méthode plus efficace consisterait à séparer la fonction en différentes parties pour calculer la dérivée en combinant plusieurs règles de dérivation. On commence par observer que notre fonction est un produit de fonctions :
On rappelle que d’après la règle du produit, la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est donnée par
Pour utiliser cette formule, on a besoin des dérivées et . On peut dériver la première fonction, , en utilisant la règle de dérivation d’une puissance ; on obtient alors . Quant à la seconde fonction, , on remarque qu’il s’agit d’une composition de fonctions :
Ainsi, si et , alors . On rappelle que l’on peut trouver la dérivée d’une fonction composée en utilisant la règle de dérivation en chaîne, à savoir
En utilisant la règle de dérivation d’une puissance, on trouve que la dérivée de est et que la dérivée de est . On remplace ces résultats dans la formule ci-dessus (ainsi que ) et on obtient
Maintenant que l’on a et , on peut remplacer , , et dans la formule de la règle du produit pour obtenir
Enfin, on doit trouver la dérivée première au point . Notons que sont les coordonnées d’un point sur le graphe de la fonction initiale et que la coordonnée est égale à 1 en ce point. On remplace donc dans notre dérivée pour trouver
Comme on a pu le voir dans cet exemple, il est souvent utile de décomposer les fonctions en différentes parties pour les traiter individuellement à l’aide des règles du produit et de dérivation en chaîne. Voyons un autre exemple dans lequel il est avantageux de combiner plusieurs règles de dérivation.
Exemple 2: Dériver des combinaisons de fonctions polynomiales et racines en utilisant les règles du produit et de dérivation en chaîne
Trouvez en .
Réponse
On nous demande de dériver une fonction qui consiste en une combinaison de fonctions polynomiales et racine ; réfléchissons à la meilleure façon d’aborder ce problème. Une possibilité serait de rentrer le terme dans la racine et d’utiliser la règle de dérivation en chaîne pour dériver la fonction racine résultante. Une autre façon de faire serait de remarquer que notre fonction est un produit de fonctions :
Les fonctions et étant dérivables, on peut donc utiliser la règle du produit, à savoir
Pour cela, on doit calculer et . On peut dériver la première fonction, , en utilisant la règle de dérivation d’une puissance ; on obtient alors . Pour la seconde fonction, , on ne peut pas utiliser la règle de dérivation d’une puissance directement, mais il est possible de séparer la fonction en deux en observant qu’il s’agit d’une composition de fonctions :
On a donc , où et . Donc, on peut utiliser la règle de dérivation en chaîne qui est
On peut maintenant trouver et en utilisant la règle de dérivation d’une puissance, ce qui nous donne
En remplaçant ces résultats dans la formule de la règle de dérivation en chaîne, on obtient
On revient à présent à l’équation issue de la règle du produit, dans laquelle on remplace par l’expression trouvée ci-dessus, ainsi que , et ; on obtient alors
Rappelons qu’il nous est demandé d’évaluer cette fonction en . Ce faisant, on obtient la solution suivante :
Dans nos deux premiers exemples, il était nécessaire, pour dériver nos fonctions, d’utiliser à la fois la règle du produit et la règle de dérivation en chaîne. Dans le prochain exemple, nous considérerons une fonction combinant des fonctions polynomiales et racine pour laquelle il sera nécessaire d’appliquer la règle du quotient.
Exemple 3: Dériver en un point une fonction impliquant des fonctions rationnelles en utilisant les règles de dérivation
Évaluez en sachant que .
Réponse
Dans cet exemple, on veut déterminer la dérivée première d’une fonction rationnelle en appliquant les règles de dérivation et l’évaluer au point .
Étant donné qu’il sera probablement nécessaire d’utiliser plus d’une règle de dérivation, réfléchissons à l’ordre dans lequel nous voulons les appliquer. La meilleure méthode pour cela est de considérer la partie la plus externe de la fonction et de réfléchir à la manière dont on pourrait la décomposer.
Afin de déterminer la dérivée de celle-ci, nous utiliserons la règle du quotient qui stipule que pour une fonction , nous avons, pour ,
Ainsi, nous pouvons déterminer la dérivée de la fonction donnée en définissant et dans le numérateur et le dénominateur respectivement. Afin d'appliquer cette règle, nous devons évaluer les dérivées de et de .
La dérivée de est simple et peut être trouvée à partir de la règle de puissance sous la forme . Puisque est la composition de deux fonctions, et , pour trouver la dérivée de , nous utiliserons la règle de la chaîne qui stipule que pour une fonction composite , nous avons
Afin d'appliquer cette règle, nous devons évaluer les dérivées de et par rapport à , les deux pouvant être trouvés par une application de la règle de puissance comme suit :
En remplaçant ces expressions dans la règle de la chaîne avec , nous trouvons la dérivée de par rapport à comme suit :
Substitution de , , , et comme indiqué ci-dessus , nous pouvons maintenant appliquer la règle du quotient comme suit :
En multipliant à la fois le numérateur et le dénominateur par , nous pouvons simplifier la fraction, nous donnant
La substitution du point donné dans cette expression donne
Jusqu'à présent, nous n'avons vu que des exemples où il est optimal d'appliquer la règle du produit ou du quotient suivie de la règle de la chaîne, mais l'ordre inverse peut être plus naturel selon la fonction donnée. Dans chaque cas, nous devons nous assurer que l'ordre dans lequel nous appliquons les règles dérivées a un sens. Considérons une situation où nous devrons peut-être changer l'ordre d'application des règles.
Exemple 4: Dériver une fonction composée d’une fonction rationnelle et d’une fonction racine en utilisant la règle de dérivation en chaîne et la règle du quotient
Si , déterminez .
Réponse
Ici, on nous a demandé de calculer la dérivée d'une fonction qui semble être une combinaison de différentes fonctions. Comme nous devrons probablement utiliser plus d'une règle de dérivation pour ce faire, nous devrions commencer par déterminer laquelle appliquer en premier. Pour ce faire, nous examinons la partie la plus externe de la fonction et travaillons vers l'intérieur. Puisque la partie extérieure est une racine carrée, nous pouvons voir que nous avons
Ainsi, , où et . Il s’agit d’une fonction composée de fonctions dérivables, donc on peut utiliser la règle de dérivation en chaîne,
Pour utiliser cette formule, nous avons besoin de et , dont le premier peut simplement être obtenu en utilisant la règle de puissance pour obtenir . Pour ce dernier, on voit qu'il s'agit d'un quotient de fonctions dérivables :
On peut donc appliquer la règle du quotient. On rappelle que pour , on a, d’après la règle du quotient
Les fonctions et sont toutes les deux des fonctions polynomiales, donc on peut les dériver à l’aide de la règle de dérivation d’une puissance. On obtient
On remplace ensuite ces fonctions dans la formule de la règle du quotient pour obtenir
Maintenant que l’on a , ainsi que , on rappelle que l’on peut trouver notre dérivée d’origine en utilisant la règle de dérivation en chaîne :
On rappelle que et par conséquent, . En remplaçant dans l’équation ci-dessus, on obtient
On peut utiliser le fait que pour simplifier notre expression et l’on obtient
Notons qu’il existe une autre façon de résoudre ce problème. Si nous avions commencé par utiliser le fait que , on aurait eu
Pour ensuite dériver cette expression, on aurait utilisé la règle du quotient en premier et la règle de dérivation en chaîne en second, sur les fonctions du numérateur et du dénominateur. Notons cependant que cette approche nous demanderait une quantité de travail similaire pour aboutir au même résultat.
Rappelons à présent qu’il existe un autre type de problème de dérivation. Imaginons que l’on doive trouver , où
Si la fonction n’est pas donnée explicitement en fonction de , on ne peut la dériver directement. Au lieu de cela, on peut utiliser la forme suivante de la règle de dérivation en chaîne :
Il est possible de dériver par rapport à et par rapport à , donc cette formule nous permet de calculer notre dérivée. Une autre façon de faire serait de remplacer dans l’équation de pour obtenir
Exprimer la fonction ainsi nous permet d’utiliser la forme habituelle de la règle de dérivation en chaîne :
Notons qu’il s’agit simplement d’une autre façon d’écrire l’expression de donnée ci-dessus (avec en particulier, et ). Notons également que remplacer comme on l’a fait dans l’équation de , peut avoir pour effet de simplifier l’expression et éventuellement nous permettre de dériver sans avoir besoin d’utiliser la règle de dérivation en chaîne (mais ce n’est pas toujours le cas).
Examinons un exemple de ce type de problème dans lequel l’application de la règle de dérivation en chaîne est compliquée par la nécessité d’utiliser une règle de dérivation supplémentaire.
Exemple 5: Dériver une fonction composée de fonctions polynomiales et rationnelles en utilisant la règle de dérivation en chaîne et la règle du quotient
Évaluez en sachant que et .
Réponse
Dans cet exemple, on doit dériver une fonction par rapport à , mais la fonction n’est pas explicitement donnée en fonction de .
Pour dériver cette fonction, l’une des possibilités serait de remplacer l’expression de dans la fonction de , ce qui nous permettrait de dériver directement par rapport à . Cependant, si l’on choisit cette méthode, on obtiendra des fractions de fractions, ce qui n’est pas très pratique.
Utilisons plutôt la règle de dérivation en chaîne pour trouver notre dérivée. On rappelle que l’on peut écrire la règle de dérivation en chaîne en fonction de et (i.e., la notation de Leibniz) comme suit :
Il nous faut donc calculer et . Ces deux fonctions sont des quotients de polynômes (qui sont des fonctions dérivables), ce qui signifie que l’on peut utiliser la règle du quotient pour les dériver. On rappelle que pour , la règle du quotient est donnée par
Pour notre fonction , on peut remplacer la variable par et l’on a et . On peut dériver ces deux fonctions en appliquant simplement la règle de dérivation d’une puissance ; cela nous donne et . On combine tout cela dans l’équation de la règle du quotient et l’on obtient
Nous pouvons effectuer un calcul très similaire pour . Soit , de sorte que et , avec des dérivées et . Ensuite, en utilisant la règle du quotient, nous obtenons
On revient à notre formule de la règle de dérivation en chaîne et l’on multiplie nos deux dérivées pour obtenir
Nous pourrions exprimer cela uniquement en fonction de , mais ce n'est pas nécessaire car nous n'avons besoin d'évaluer la dérivée au point donné, . Notez qu'à ce stade, . Ainsi, en laissant et , nous avons
Récapitulons quelques points importants abordés dans cette fiche explicative.
Points clés
- À l’aide des règles de dérivation du produit, du quotient et de dérivation en chaîne, on peut calculer la dérivée de n’importe quelle combinaison de fonctions élémentaires.
- Il est important de réfléchir à l’ordre dans lequel appliquer les règles de dérivation ; on s’assure ainsi d’utiliser la méthode la plus efficace.
- En général, il est préférable de commencer par considérer les parties les plus externes de la fonction et de progresser ensuite vers l’intérieur. En procédant de la sorte, on peut décomposer une fonction compliquée en plusieurs parties plus simples que l’on peut évaluer directement.
- Gardons à l’esprit que bien que nous n’ayons pas rencontré ce cas de figure dans cette fiche explicative, certains problèmes peuvent être simplifiés au point qu’il n’est plus nécessaire d’utiliser plusieurs règles de dérivation pour les résoudre, ce qui rend le processus beaucoup plus facile.
