Vidéo : Règles de dérivation

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la dérivée première d’une fonction en utilisant des combinaisons de la règle du produit, la règle du quotient et la règle d dérivation en chaîne.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment trois règles de dérivation peuvent être combinées pour nous permettre de dériver des fonctions de plus en plus complexes. Nous nous rappelons ces trois règles, la règle du produit, la règle du quotient et la règle de la dérivation en chaîne. Ensuite, nous appliquerons des combinaisons de ces règles à quelques exemples différents.

Tout d’abord, rappelons ces trois règles et leurs utilisations. La première règle est la règle du produit, qui nous permet de dériver les produits de fonctions. Elle nous dit que la dérivée du produit 𝑓𝑔, qui est 𝑓𝑔 prime, est égale à 𝑓𝑔 prime plus 𝑓 prime 𝑔. Ce que nous faisons, c’est multiplier chaque fonction par la dérivée de l’autre et les additionner ensemble.

La deuxième règle est la règle du quotient, qui nous permet de dériver les quotients des fonctions, c’est-à-dire 𝑓 sur 𝑔. Et cela nous dit que la dérivée de 𝑓 sur 𝑔 est égale à 𝑔𝑓 prime moins 𝑓𝑔 prime sur 𝑔 au carré. Il est important de noter que, contrairement à la règle du produit, qui est symétrique en 𝑓 et 𝑔, la règle du quotient n’est pas symétrique en 𝑓 et 𝑔. Donc, nous devons nous assurer que nous définissons 𝑓 comme étant la fonction dans le numérateur et 𝑔 comme étant la fonction dans le dénominateur.

La troisième règle est la règle de dérivation en chaîne, qui nous permet de dériver les fonctions composées ; c’est-à-dire des fonctions d’autres fonctions. Ici, nous avons la fonction 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, ce qui signifie que nous appliquons d’abord 𝑓 puis appliquons 𝑔. Sa dérivée est donnée par 𝑓 prime de 𝑥 multipliée par 𝑔 prime de 𝑓 de 𝑥. C’est la dérivée de la fonction interne multipliée par la dérivée de la fonction externe, avec la fonction interne toujours à l’intérieur.

Il est important de bien comprendre les différentes utilisations de la notation. Dans la règle du produit, 𝑓𝑔 signifie 𝑓 multipliée par 𝑔. Alors que dans la règle de dérivation en chaîne, 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 signifie la fonction composée que nous obtenons lorsque nous appliquons d’abord 𝑓 puis appliquons 𝑔. Nous pouvons également exprimer chacune de ces règles en utilisant la notation de Leibniz. Et il est plus courant d’utiliser les lettres 𝑢 et 𝑣 lorsque nous le faisons, bien que cela n’ait aucune importance.

La règle de produit nous dit que la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑢𝑣 est égale à 𝑢 d𝑣 par d𝑥 plus 𝑣 d𝑢 par d𝑥. La règle du quotient nous dit que la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑢 sur 𝑣 est égale à 𝑣 d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. Et enfin, la règle de la dérivation chaîne nous dit que si 𝑦 égale la fonction composée 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, et que nous définissons 𝑢 comme 𝑓 de 𝑥 de sorte que 𝑦 devient une fonction de 𝑢, 𝑦 égale 𝑔 de 𝑢. Alors, d𝑦 par d𝑥 égale d𝑦 par d𝑢 fois d𝑢 par d𝑥. Nous dérivons 𝑦 par rapport à 𝑢 puis multiplions par le dérivé de 𝑢 par rapport à 𝑥. Nous allons maintenant appliquer des combinaisons de ces trois règles à certains exemples.

Trouvez la dérivée première de 𝑦 égale 𝑥 moins cinq fois 𝑥 moins deux à la puissance six en un, moins quatre.

Commençons par envisager cette fonction qui nous a été donnée. Nous pouvons voir que c’est le produit de deux fonctions, 𝑥 moins cinq et 𝑥 moins deux à la puissance six. On peut donc en déduire qu’il va falloir utiliser la règle du produit pour déterminer cette dérivée. Nous pouvons donc définir l’une des fonctions comme étant 𝑓 et l’autre comme étant 𝑔. Voici la règle du produit, mais comme elle est symétrique en 𝑓 et 𝑔, peu importe le sens de cette définition. Nous avons alors 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins cinq et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 moins deux à la puissance six.

Et pour appliquer la règle du produit, nous devons trouver les dérivées de 𝑓 et de 𝑔. 𝑓 prime de 𝑥 est simple. C’est juste un. Mais qu’en est-il de 𝑔 prime ? Nous avons une puissance de six, et nous ne voulons certainement pas distribuer toutes les parenthèses pour donner un polynôme. Alors, comment allons-nous trouver cette dérivée ? 𝑔 est en fait une fonction composée, ce qui signifie que nous pouvons appliquer la règle de dérivation en chaîne pour trouver sa dérivée, d𝑦 par d𝑥 égale d𝑦 par d𝑢 fois d𝑢 par d𝑥. Nous pouvons remplacer les 𝑦s dans la règle de dérivation en chaîne par les 𝑔s. Et ensuite, nous pouvons définir 𝑢 égale 𝑥 moins deux, ce qui rend 𝑔 égale à 𝑢 à la puissance six.

La dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est un. Et en appliquant la règle de puissance, la dérivée de 𝑔 par rapport à 𝑢 est six 𝑢 à la puissance cinq. En appliquant la règle de dérivation en chaîne, d𝑔 par d𝑥 égale six 𝑢 à la puissance cinq, c’est d𝑔 par d𝑢, fois un, soit d𝑢 par d𝑥. Mais bien sûr, multiplier par un n’a aucun effet. Donc, d𝑔 par d𝑥 égale six 𝑢 à la puissance cinq.

Cependant, il faut que cette dérivée soit en fonction de 𝑥, nous devons donc inverser la substitution. 𝑢 égale 𝑥 moins deux, donc d𝑔 par d𝑥 en fonction de 𝑥 égale six fois 𝑥 moins deux à la puissance cinq. Nous aurions aussi pu voir cela en appliquant la règle de dérivation en chaîne à la règle de puissance. Maintenant que nous avons trouvé chaque dérivé, nous pouvons commencer par remplacer dans la règle du produit pour déterminer la dérivée de 𝑦.

d𝑦 par d𝑥 sera égale à 𝑓, c’est-à-dire 𝑥 moins cinq, fois 𝑔 prime, c’est-à-dire six fois 𝑥 moins deux à la puissance cinq. Nous ajoutons ensuite 𝑓 prime, c’est simplement un, fois 𝑔, ce qui donne 𝑥 moins deux à la puissance de six. Nous pouvons simplifier en prenant un facteur commun 𝑥 moins deux à la puissance cinq. Et puis en simplifiant dans cette deuxième parenthèse, on obtient 𝑥 moins deux à la puissance cinq fois sept 𝑥 moins 32. Nous avons donc trouvé la dérivée première de 𝑦.

Mais on nous demande d’évaluer cette dérivée en un point spécifique ; le point un, moins quatre. Cela signifie que nous devons faire une substitution. Nous devons substituer la valeur 𝑥 en ce point dans notre fonction de gradient, ce qui donne un moins deux à la puissance cinq fois sept, fois un moins 32. Cela donne moins un à la puissance cinq fois moins 25, soit 25.

Ainsi, dans cette question, on a eu besoin d’une combinaison de la règle du produit et de celle de la dérivation en chaîne afin de résoudre ce problème.

Ensuite, nous allons voir un exemple nécessitant une combinaison différente de règles.

Déterminez la dérivée de la fonction 𝑔 de 𝑢 égale 𝑢 au carré plus cinq sur 𝑢 au carré moins un le tout à la puissance quatre.

Commençons par envisager les règles qui nous seront utiles dans cette question. Nous pouvons voir que nous avons un quotient, 𝑢 au carré plus cinq sur 𝑢 au carré moins un. Nous devrons donc utiliser la règle du quotient. J’ai écrit la règle du quotient ici en utilisant 𝑝 et 𝑞 car nous avons déjà 𝑢 et 𝑔 dans la question. Cela nous permettra donc de trouver la dérivée de cette expression entre parenthèses.

Mais nous avons toujours cette puissance de quatre. Nous allons définir 𝑣 égale l’expression entre parenthèses. Elle égale 𝑢 au carré plus cinq sur 𝑢 carré moins un. Alors, 𝑔 sera égale à 𝑣 à la puissance quatre. Et nous pouvons appliquer la règle de dérivation en chaîne, d𝑔 par d𝑢 égale d𝑔 par d𝑣 fois d𝑣 par d𝑢.

On peut facilement calculer d𝑔 par d𝑣 en appliquant la règle de puissance. Cela équivaut à quatre 𝑣 au cube. Mais pour calculer d𝑣 sur d𝑢, nous allons devoir appliquer la règle du quotient. Nous allons définir 𝑝 égale le numérateur de 𝑣, c’est 𝑢 au carré plus cinq, et 𝑞 égale le dénominateur, c’est 𝑢 au carré moins un. On peut déterminer d𝑝 par d𝑢 et d𝑞 par d𝑢 en appliquant la règle de puissance. Chacune d’elles égale deux 𝑢. Maintenant, nous pouvons remplacer dans la règle du quotient pour déterminer d𝑣 par d𝑢.

Nous avons 𝑞, c’est 𝑢 au carré moins un, fois 𝑝 prime ou d𝑝 par d𝑢, c’est deux 𝑢, moins 𝑝, c’est 𝑢 au carré plus cinq, fois 𝑞 prime ou d𝑞 par d𝑢, c’est deux 𝑢. Le tout est divisé par 𝑞 au carré, c’est 𝑢 au carré moins un au carré. Maintenant, simplifions. En développant les parenthèses au numérateur, nous avons deux 𝑢 au cube moins deux 𝑢 moins deux 𝑢 au cube moins 10𝑢. Et puis le dénominateur reste 𝑢 au carré moins un le tout au carré. Les deux 𝑢 au cube s’annulent, laissant moins 12𝑢 sur 𝑢 au carré moins un au carré.

Nous allons maintenant supprimer une partie de ce calcul de la règle du quotient pour faire un peu de place sur la page. Nous avons maintenant d𝑔 par d𝑣 égale quatre 𝑣 au cube et d𝑣 par d𝑢 égale moins 12𝑢 sur 𝑢 au carré moins un le tout au carré. Nous pouvons donc remplacer dans la règle de dérivation en chaîne. d𝑔 par d𝑢 égale quatre 𝑣 au cube fois moins 12𝑢 sur 𝑢 au carré moins un le tout au carré. Maintenant, rappelez-vous que d𝑔 par d𝑢 doit être en fonction de 𝑢 seulement. Nous devons donc inverser notre substitution.

𝑣 égale 𝑢 au carré plus cinq sur 𝑢 au carré moins un. Donc, nous avons quatre 𝑢 au carré plus cinq sur 𝑢 au carré moins un le tout au cube fois moins 12𝑢 sur 𝑢 au carré moins un le tout au carré. La simplification donne moins 48𝑢 multiplié par 𝑢 au carré plus cinq au cube le tout sur 𝑢 au carré moins un à la puissance cinq.

Dans cette question, nous avons alors vu qu’il fallait appliquer une combinaison des règles du quotient et de la dérivation en chaîne afin de déterminer la dérivée de la fonction 𝑔 de 𝑢.

Voyons maintenant un exemple impliquant des fonctions trigonométriques.

Déterminez la dérivée de la fonction 𝑠 de 𝑡 égale la racine carrée de moins sin 𝑡 plus sept sur moins cos 𝑡 plus sept.

Nous pouvons voir tout de suite dans cette question que nous avons un quotient. Il va donc falloir appliquer la règle du quotient au bout d’un moment. Mais devrons-nous faire autre chose ? Eh bien, nous n’avons pas juste ce quotient. Nous avons la racine carrée de ce quotient, ce qui signifie que nous avons une fonction composée. Nous devrons donc également appliquer la règle de dérivation en chaîne. Nous allons commencer par définir 𝑢 comme étant ce quotient sous la racine carrée. 𝑢 égale moins sin 𝑡 plus sept sur moins cos 𝑡 plus sept. Alors, 𝑠 devient une fonction de 𝑢. Elle égale la racine carrée de 𝑢, que nous pouvons exprimer par une notation en indice comme 𝑢 à la puissance un demi.

La règle de dérivation en chaîne, en utilisant les lettres 𝑠, 𝑡 et 𝑢 comme dans cette question, nous dit que la dérivée de 𝑠 par rapport à 𝑡 égale d𝑠 par d𝑢 fois d𝑢 par d𝑡. En appliquant la règle de puissance, on voit que d𝑠 par d𝑢 égale un demi 𝑢 à la puissance moins un demi. Mais pour déterminer d𝑢 par d𝑡, il va falloir appliquer la règle du quotient.

Nous définirons 𝑓 comme étant la fonction au numérateur, c’est moins sin 𝑡 plus sept, et 𝑔 comme étant la fonction au dénominateur, moins cos 𝑡 plus sept. Pour déterminer les dérivées de ces deux fonctions, nous avons besoin de rappeler comment nous dérivons sin et cos. Il y a un petit cycle utile dont nous pouvons nous rappeler. La dérivée de sin 𝑡 est cos 𝑡. La dérivée de cos 𝑡 est moins sin 𝑡. La dérivée de moins sin 𝑡 est moins cos 𝑡. Et la dérivée de moins cos 𝑡 est sin 𝑡. Et puis on refait le tour du cycle.

En nous rappelant que la dérivée d’une constante est juste zéro, nous avons 𝑓 prime égale moins cos 𝑡 et 𝑔 prime égale sin 𝑡. Maintenant nous pouvons remplacer dans la règle du quotient pour déterminer d𝑢 par d𝑡. C’est 𝑔, c’est moins cos 𝑡 plus sept, multipliée par 𝑓 prime, moins cos 𝑡, moins 𝑓, c’est moins sin 𝑡 plus sept, multipliée par 𝑔 prime, c’est sin 𝑡, le tout sur 𝑔 au carré. Maintenant il faut faire quelques simplifications. Nous allons donc développer les parenthèses au numérateur, ce qui donne cos au carré 𝑡 moins sept cos 𝑡 plus sin au carré 𝑡 moins sept sin 𝑡 sur moins cos 𝑡 plus sept au carré.

Nous pouvons rappeler l’une de nos identités trigonométriques, cos au carré 𝑡 plus sin au carré 𝑡 égale un. Donc ceci est simplifié en un moins sept cos 𝑡 moins sept sin 𝑡 sur moins cos 𝑡 plus sept au carré. Maintenant que nous avons trouvé à la fois d𝑢 par d𝑡 et d𝑠 par d𝑢, nous pouvons remplacer dans la règle de dérivation en chaîne. Nous avons alors d𝑠 par d𝑡 égale d𝑠 par d𝑢, c’est un demi 𝑢 à la puissance moins un demi fois d𝑢 par d𝑡, c’est un moins sept cos 𝑡 moins sept sin 𝑡 sur moins cos 𝑡 plus sept au carré.

Rappelez-vous cependant que d𝑠 par d𝑡 doit être seulement en fonction de 𝑡. Nous devons donc inverser notre substitution. Nous avons moins sin 𝑡 plus sept sur moins cos 𝑡 plus sept à la puissance moins un demi fois un moins sept cos 𝑡 moins sept sin 𝑡 sur deux fois moins cos 𝑡 plus sept au carré. Cette puissance de moins un demi signifie une réciproque, nous pouvons donc régler ce problème en inversant la fraction. Et la première partie devient moins cos 𝑡 plus sept sur moins sin 𝑡 plus sept à la puissance plus un demi.

Nous pouvons alors simplifier les puissances. Nous avons moins cos 𝑡 plus sept à la puissance un demi au numérateur, puis moins cos 𝑡 plus sept à la puissance deux au dénominateur. Ce qui donnera une puissance de moins trois sur deux au total. C’est une puissance de trois sur deux au dénominateur. Ceci nous donne un moins sept cos 𝑡 moins sept sin 𝑡 au numérateur. Et au dénominateur deux fois la racine carrée de moins sin 𝑡 plus sept. C’est moins sin 𝑡 plus sept à la puissance un demi, fois moins cos 𝑡 plus sept à la puissance trois sur deux.

Dans cette question, nous avons vu que nous pouvons appliquer à la fois les règles du quotient et de la dérivation en chaîne à un problème impliquant les dérivées des fonctions trigonométriques.

Résumons maintenant ce que nous avons vu dans cette vidéo. Nous nous sommes rappelés ces trois règles clés, la règle du produit, la règle du quotient et la règle de la dérivation en chaîne, chacune exprimée ici en utilisant la notation de Leibniz. Nous avons vu que ces trois règles peuvent être utilisées ensemble pour trouver les dérivées de fonctions plus complexes.

Et bien que nous n’ayons pas donné d’exemple dans cette vidéo, nous pouvons, bien sûr, appliquer chaque règle à plusieurs reprises si le problème le nécessite. Ces trois règles sont incroyablement puissantes. Et en les combinant ou en utilisant la même règle successivement, cela ouvre une vaste classe de fonctions complexes dont nous pouvons maintenant déterminer les dérivées.

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