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Une barre homogène 𝐴𝐵 de poids 111 newtons repose dans un plan vertical avec son extrémité supérieure 𝐴 contre un mur lisse vertical et son extrémité inférieure 𝐵 sur un sol rugueux horizontal. Si la barre est en équilibre limite lorsqu’elle s’incline d’un angle de 30 degrés par rapport à l’horizontale, alors déterminez le coefficient de frottement mu entre la barre et le sol, et la réaction du mur 𝑅 indice 𝑎 en son extrémité supérieure 𝐴 au centième près.
Avant de procéder à des calculs ici, nous allons commencer par dessiner un diagramme de corps libre. C’est un diagramme très simple qui représente toutes les forces possibles qui nous intéressent. Voici la barre uniforme au repos avec son extrémité supérieure 𝐴 contre le mur et l’extrémité inférieure 𝐵 sur le sol horizontal. Alors, le fait que le mur soit vertical et que le sol est horizontal signifie qu’ils sont perpendiculaires l’un à l’autre. Ils se rencontrent à 90 degrés.
On nous dit également que la barre est homogène et pèse 111 newtons. Cela signifie que le poids exerce une force vers le bas de 111 newtons. Et comme elle est uniforme, on peut considérer qu’il agit exactement au milieu de la barre. On ne nous donne pas la longueur de la barre. Et donc nous allons la définir comme égale à deux 𝑥. Et disons que l’on la mesure en mètres. Cela signifie que la force du poids de 111 newtons vers le bas agit à 𝑥 mètres de chaque extrémité.
On nous dit que la barre est inclinée de 30 degrés par rapport à l’horizontale. Et lorsque cela se produit, la barre est en équilibre limite. Cela signifie qu’elle est en équilibre, mais qu’elle est sur le point de glisser. Comme le sol horizontal est rugueux, cela signifie qu’elle doit exercer une force de frottement sur la barre. Cette force de frottement agira toujours dans la direction opposée à celle selon laquelle l’objet essaie de glisser. Donc, sur notre schéma ici, il agit vers la droite. Il y a, en fait, deux autres forces que nous devons indiquer.
Nous savons par la troisième loi du mouvement de Newton que, puisque la barre exercera une force sur le sol et le mur, le sol et le mur doivent eux-mêmes exercer une force de réaction normale sur la barre. Nous les indiquons comme 𝑅 indice 𝑏 et 𝑅 indice 𝑎, respectivement. Étant donné que nous avons toutes les forces pertinentes, nous pouvons commencer à effectuer les calculs. Les calculs que nous effectuons proviennent du fait que la barre est en équilibre. Et nous savons que pour qu’un objet soit en équilibre, la somme de toutes les forces agissant sur cet objet doit être égale à zéro.
Dans des scénarios comme celui-ci, nous devons décomposer les forces en deux directions. On pourrait dire que la somme des forces agissant dans la direction 𝑥 à l’horizontale est égale à zéro et que la somme des forces agissant dans la direction 𝑦, c’est-à-dire la verticale, est aussi égale à zéro. Mais nous savons aussi que pour qu’un objet soit en équilibre, la somme des moments des forces doit également être égale à zéro, où un moment est calculé en multipliant la force par la distance perpendiculaire de la ligne d’action de cette force par rapport au point autour duquel l’objet tourne.
Commençons par la première condition. C’est-à-dire que la somme de toutes nos forces est égale à zéro. Nous allons calculer les forces à la fois horizontalement et verticalement. Et en fait, nous allons commencer par la direction verticale. Appelons cela 𝐹 indice 𝑦. Définissons ici la direction positive de sorte que la force 𝑅 indice 𝑏 agisse dans le sens positif et que la force de 111 newtons agisse dans le sens négatif. Nous pouvons donc dire que la somme des forces qui agissent verticalement sur notre schéma est 𝑅 indice 𝑏 moins 111. Alors, nous avons dit que la somme de ces forces est nulle. Donc, 𝑅 indice 𝑏 moins 111 est égal à zéro. Et nous pouvons résoudre cette équation pour 𝑅 indice 𝑏 en ajoutant 111 des deux côtés. Et nous obtenons 𝑅 indice 𝑏 égale 111 ou 111 newtons.
Répétons ce processus et considérons les forces agissant dans la direction horizontale. Nous appellerons cela 𝐹 indice 𝑥. Nous allons choisir la direction selon laquelle la force de frottement agit comme étant positive. On peut donc dire que la somme des forces agissant dans cette direction est la valeur de la force de frottement en 𝐵 moins la force de réaction en 𝑎. Et encore une fois, c’est égal à zéro. Alors, comment cela nous aide-t-il? Jusque là, nous avons deux inconnues. Mais nous pouvons rappeler une formule qui nous aidera à calculer la valeur de la force de frottement.
Nous savons que le frottement est calculé en multipliant mu par 𝑅. Où mu est le coefficient de frottement. Il nous indique essentiellement à quel point l’objet est rugueux. Et 𝑅 est la force de réaction normale en ce point. Puisque la force de frottement agit au point 𝐵 sur la barre, on peut dire que mu 𝑅 est mu fois 𝑅 indice 𝑏. Et notre équation devient donc mu fois 𝑅 indice 𝑏 moins 𝑅 indice 𝑎 égale zéro. Mais rappelez-vous, nous avons obtenu que 𝑅 indice 𝑏 égale 111 newtons. Et donc cette équation devient 111 mu moins 𝑅 indice 𝑎 égale zéro. Nous pouvons résoudre cette équation pour 𝑅 indice 𝑎 en ajoutant 𝑅 indice 𝑎 aux deux membres. Et donc nous trouvons que 𝑅 indice 𝑎 est égal à 111 mu.
Eh bien, nous n’avons encore rien fait de révolutionnaire. Mais nous allons utiliser toutes ces informations. Réfléchissons aux moments des forces. Nous savons que la somme de ces moments est égale à zéro. Gardons donc les informations clés à l’écran et faisons un peu d’espace.
Nous allons choisir un point par rapport auquel on va calculer les moments. Nous pouvons choisir n’importe quel point de la barre, mais comme il y a plus de forces agissant en 𝐵 qu’au point 𝐴, nous allons prendre les moments par rapport à 𝐵. Nous allons également définir le sens inverse des aiguilles d’une montre comme étant positif. Les moments, rappelez-vous, sont calculés en multipliant la valeur de la force par la distance perpendiculaire à la ligne d’action de la force au point autour duquel l’objet essaie de tourner. Donc, ici, nous devons trouver la valeur de la force et sa distance perpendiculaire à la ligne d’action au point 𝐵.
Nous savons que nous ne sommes intéressés par aucune des forces agissant en 𝐵 puisque celles-ci sont à zéro mètre de 𝐵. Et donc leurs moments vont être égaux à zéro. Donc, au lieu de cela, nous passons à la force du poids vers le bas, 111 newtons. Afin de trouver le moment de cette force, nous allons devoir calculer la composante de celle-ci qui agit perpendiculairement à la barre. Et donc nous ajoutons un triangle rectangle comme indiqué. L’angle inclus dans ce triangle est de 30 degrés. Et puisque nous voulons trouver sa composante qui est perpendiculaire à la barre, appelons cette longueur 𝑦.
Par rapport à notre angle inclus, nous voyons alors que 𝑦 est le côté adjacent. Et nous savons que l’hypoténuse est de 111 newtons. Nous allons donc utiliser le rapport du cosinus. Le cosinus de thêta est le côté adjacent sur l’hypoténuse. En substituant ce que nous savons de notre triangle dans cette formule, nous obtenons cosinus de 30 égale 𝑦 sur 111. Et si nous multiplions par 111, nous trouvons que 𝑦 est égal à 111 fois cosinus de 30. Et cosinus de 30 vaut racine de trois sur deux. Nous pouvons donc simplifier davantage en 111 fois racine de trois sur deux. Ensuite, le moment est négatif puisque cette force essaie de faire tourner la barre dans le sens des aiguilles d’une montre. La force fois la distance ici est de 111 racines trois sur deux fois 𝑥.
Et après nous allons passer à une autre force sur le schéma. Cette fois, nous devons trouver la composante de la force de réaction en 𝐴 qui est perpendiculaire à la barre. Nous dessinons donc un autre triangle rectangle. Nous avons une fois de plus un angle inclus de 30 degrés. Et nous pouvons nous convaincre que c’est vrai puisque nous savons que les angles alternes sont égaux. Étiquetons le côté du triangle que nous essayons de trouver 𝑧. Et 𝑧 est le côté opposé de ce triangle. Et bien sûr, nous avons une expression pour l’hypoténuse. Donc, cette fois, nous utilisons le rapport du sinus. On a sinus de 30 degrés égale 𝑧 sur 𝑅 indice 𝑎. Et si nous multiplions par 𝑅 indice 𝑎, nous obtenons 𝑧 égale 𝑅 indice 𝑎 sinus 30.
Eh bien, le sinus de 30 degrés vaut un demi. Donc, ceci est un demi de 𝑅 indice 𝑎. Maintenant que nous avons calculé la composante de cette force qui est perpendiculaire à la barre, nous pouvons trouver son moment. Elle essaie de faire tourner la barre dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Et donc le moment est positif. La force fois la distance est un demi 𝑅 indice 𝑎 fois deux 𝑥. Et bien sûr, nous savons que la somme de ces moments doit être égale à zéro. Libérons de l’espace et voyons ce que nous pouvons faire d’autre.
Nous pouvons remarquer que nous avons deux inconnues dans cette équation. Nous avons 𝑥 et 𝑅 indice 𝑎. Mais bien sûr, 𝑥 et deux 𝑥 sont des dimensions ; ce sont des longueurs de notre barre. Et donc 𝑥 ne peut pas être égal à zéro. Et cela signifie que nous pouvons diviser toute notre équation par 𝑥. Un demi de 𝑅 indice 𝑎 fois deux est juste 𝑅 indice 𝑎. Et donc nous pouvons résoudre cette équation pour 𝑅 indice 𝑎 en ajoutant 111 racine trois sur deux des deux côtés. Donc, 𝑅 indice 𝑎 est 111 fois la racine trois sur deux. Cela nous donne 96,128 etc... En arrondissant cette valeur à deux décimales près, nous trouvons 𝑅 indice 𝑎 égale 96,13 newtons.
Ensuite, nous devons trouver la valeur de mu. Et donc nous revenons à l’une de nos équations précédentes. Qui est 𝑅 indice 𝑎 égale 111 fois mu. Cela signifie que 111 mu doit être égal à 111 fois la racine de trois sur deux. Nous isolons mu en divisant les deux côtés par 111. Donc, mu est la racine de trois sur deux, ce qui fait 0,866 etc, ou 0,87 à deux décimales près. Donc 𝑅 indice 𝑎 vaut 96,13 newtons, et mu vaut 0,87.
