Dans cet exposé, nous apprendrons comment résoudre les problèmes d'équilibre des corps rigides en 2D où la somme des forces et la somme des moments sont égales à zéro.
Si un corps est rigide, les forces qui agissent sur lui ne peuvent pas produire de déformation. Les forces n'ont que deux possibilités d’effet sur le corps. Ces effets sont l'accélération linéaire du corps et la rotation du corps autour d'un point.
Si les forces exercées sur un corps rigide ne produisent aucune accélération linéaire résultante du corps, alors le corps est en équilibre de translation. La somme des forces s'exerçant sur le corps doit être nulle pour que cela s'applique.
Si les forces exercées sur un corps rigide ne produisent aucune rotation résultante du corps, alors le corps est en équilibre de rotation. La somme des moments sur le corps doit être égale à zéro pour que cela s'applique.
Si la somme des forces et la somme des moments sur un corps rigide sont toutes deux nulles, alors le corps est en équilibre.
Définition : Équilibre d’un corps rigide
Un corps rigide est en équilibre si la somme des forces et la somme des moments sur le corps sont égales à zéro.
Envisager une tige uniforme de longueur , d'épaisseur négligeable, et de poids . La tige est suspendue à une extrémité par une chaîne qui applique une tension verticalement vers le haut. Les intensités de et sont égales.
La tige est en équilibre de translation car les intensités des forces verticales sont égales et aucune force horizontale n'agit sur la tige.
La tige ne peut pas être en équilibre de rotation, comme on peut le voir en prenant les moments par rapport au centre de masse de la tige et de l'une ou l'autre de ses extrémités.
Définition : Le moment d’une force autour d’un point
Le moment d'une force autour d'un point est la distance de jusqu'au point où la force agit, multipliée par la composante de la force perpendiculaire à la direction de la ligne d'intersection et le point où la force agit. Cela peut s'écrire comme où est la force et est l'angle entre la direction de la force et la direction de la ligne coupant et le point où la force agit.
Considérez les points , , et sur la tige.
En prenant les moments dans le sens inverse des aiguilles d'une montre comme positifs, si les moments sont pris par rapport à , on constate que les moments par rapport à sont donnés par
Si l'on prend des moments par rapport à , alors on constate que les moments par rapport à sont donnés par
Si l'on prend des moments par rapport à , alors on constate que les moments par rapport à sont donnés par
Comme , le moment résultant est le même quel que soit le point par rapport auquel les moments sont pris.
Considérez une tige identique suspendue aux deux extrémités par des chaînes identiques.
Pour que le corps soit en équilibre de translation, il faut que .
En prenant les moments dans le sens inverse des aiguilles d'une montre comme positif, si les moments sont pris par rapport à , alors les moments par rapport à sont
Si les moments sont pris par rapport à , alors les moments par rapport à sont
Si des moments sont pris par rapport à , alors les moments par rapport à sont
Le moment résultant est nul quel que soit le point par rapport auquel les moments sont pris. La tige est, donc, en équilibre de rotation. Il est important de noter que nous ne devons prendre les moments relatifs qu’à un seul point, et si les moments relatifs à ce point ont une somme nulle, alors les moments par rapport à n’importe quel point auront une somme nulle.
Les forces agissant sur un corps n'agissent pas nécessairement horizontalement ou verticalement, mais la composante d'une force agissant selon un angle par rapport à la direction de la force peut être déterminée, comme le montre la figure suivante.
Examinons une série d'exemples d'utilisation des conditions d'équilibre d’un corps rigide pour trouver les intensités et les directions des forces qui agissent sur certains corps rigides.
Exemple 1: Résoudre un problème d'équilibre statique par l'égalisation des moments
Dans la figure donnée, déterminer l’intensité de la force qui fait que la tige est en équilibre, sachant que l’intensité de la force donnée est 7 N et .
Réponse
Il semblerait initialement que la tige ne puisse pas être en équilibre de translation, car les deux forces qui agissent sur elle ont des composantes verticales vers le bas. La figure ne montre pas en fait toutes les forces qui agissent sur la tige. Le poids de la tige n'est pas indiqué et ni la force de réaction de la surface à . Puisque la tige est en équilibre de translation, la force verticale résultante agissant sur elle doit être nulle, donc la force de réaction à doit être égale à la somme du poids et des composantes verticales vers le bas des forces appliquées.
Il semblerait aussi au départ que la tige ne puisse pas être en équilibre de rotation, car si des moments ont été pris par rapport à l'un ou l'autre des points où une force appliquée agit, il n'y aurait qu'un seul moment non nul agissant sur la tige. Cela montre qu'une autre force doit exister qui n'est pas incluse dans la figure originale. La force manquante est la force due au frottement entre la base de la tige et la surface sur laquelle elle repose. La force due au frottement sur un objet en équilibre est égale en intensité à la force horizontale résultante agissant sur la tige, et elle agit dans le sens opposé à la force horizontale résultante sur la tige.
La figure suivante montre les forces qui devraient être incluses, où est le poids de la tige, est la réaction à , et est la force due à la friction. Comme ces forces passent par le point , elles produisent un moment nul par rapport à .
Chacune des forces appliquées a une composante horizontale égale au cosinus de l'angle par rapport à l’horizontale où la force agit. Pour la force inconnue, cet angle n'est pas indiqué, mais c'est l'angle alterne interne de et donc il est égal à .
Puisque la tige est en équilibre de rotation, le moment résultant sur elle doit être nul. Les moments dans le sens inverse des aiguilles d'une montre sur la tige doivent donc être égaux aux moments dans le sens des aiguilles d'une montre sur la tige.
Nous constatons que , , et passent par le point . Par conséquent, si nous prenons des moments par rapport au point , nous pouvons éliminer ces forces. Les moments dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par rapport à valent et les moments dans le sens des aiguilles d'une montre par rapport à sur la tige valent . L'égalité des moments dans le sens antihoraire et dans le sens horaire donne qui détermine l’intensité de la force , qui est donnée par
Les amplitudes et les directions des forces de réaction sur les corps rigides peuvent être déterminées à partir du type de contact que le corps a avec la source des forces de réaction. Lorsqu'un objet se trouve sur une surface inclinée, la direction de la force de réaction sur l'objet est perpendiculaire à la direction de la surface. Cette force est appelée la réaction normale. Si un objet allongé qui est lui-même incliné selon un certain angle est soutenu en un point, alors la direction de la force de réaction sur l'objet est perpendiculaire à l'inclinaison de l'objet.
Exemple 2: Résoudre un problème d'équilibre statique impliquant des frictions
Une tige uniforme de poids 10 N et de longueur 12,5 m est au repos avec son extrémité sur un plan horizontal rugueux et le point (entre et ) reposant sur un clou horizontal lisse, qui est à 5,7 m au-dessus du plan horizontal. Si la tige est sur le point de glisser alors qu'elle est inclinée par rapport à l'horizontale d’un angle dont la tangente vaut , déterminez le coefficient de friction entre la tige et le plan horizontal.
Réponse
Les directions des forces agissant sur la tige sont indiquées dans la figure suivante. La force est la force de friction.
La valeur maximale possible de la force de friction est donnée par où est le coefficient de friction. Comme la tige est sur le point de glisser, a sa valeur maximale, donc
La force de réaction à agit perpendiculairement à , donc l'angle entre et la verticale est de même mesure que l'angle de avec l'horizontale, comme le montre la figure suivante.
et ne peuvent être déterminés directement, mais connaître permet de déterminer , comme pour la tige d'être en équilibre de translation verticalement, l’intensité du poids de la tige doit être égale à la somme des intensités de et la composante verticale de , donc
En examinant notre système de forces, nous pouvons voir que si nous prenons des moments par rapport au point , alors nous éliminerons deux de nos inconnues, et , puisqu'elles agissent toutes deux sur le point . Cela nous permettra de trouver l'autre inconnue, .
Il est à noter que la distance du centre de masse de la tige vers est m et la distance verticale de au-dessus de est 5,7 m.
Le poids, , agit verticalement, donc la distance perpendiculaire de au centre de masse de la tige est , la distance horizontale de jusqu'au point situé verticalement en dessous du centre de masse, comme le montre la figure suivante.
Nous avons cela
La réaction agit perpendiculairement à , donc la distance perpendiculaire de à est , comme le montre la figure suivante.
Donc
La tige est en équilibre, donc les moments dans le sens contraire des aiguilles d'une montre peuvent être assimilés aux moments dans le sens des aiguilles d'une montre :
Parce que , , et , ceci peut être réécrit sous la forme qui montre que l’intensité de est donnée par
Pour que la tige soit en équilibre de translation verticale, l’intensité du poids doit être égale à la somme de et la composante verticale de . La composante verticale de est , donc et il s'ensuit que l’intensité de est donnée par
Pour que la tige soit en équilibre de translation horizontalement, la composante horizontale de doit avoir la même intensité que la force de friction, donc :
Comme indiqué précédemment, le coefficient de friction . La valeur de peut alors être trouvée à partir de qui se simplifie en
La force de réaction sur un corps rigide en contact avec une surface est facilement calculable. Cependant, si un corps rigide est attaché à une surface, la direction de la force de réaction qui agit sur le corps n'est pas nécessairement perpendiculaire à la surface.
Exemple 3: Résoudre un problème d'équilibre statique d'une tige articulée
Une tige uniforme d'une longueur de 128 cm et d’un poids de 10 N est attachée par une de ses extrémités à une charnière qui est fixée sur un mur vertical. Un poids de 10 N est suspendue à la tige en un point situé 96 cm loin de la charnière. La tige est maintenue en position horizontale par une chaîne qui est attachée à l'extrémité opposée de la tige de la charnière et fixée à un point du mur directement au-dessus de la charnière. Étant donné que la chaîne est inclinée par rapport à l'horizontale selon un angle de , déterminer la tension dans la chaîne, la réaction de la charnière , et l'angle entre la ligne d’action de la réaction et le sol horizontal arrondi à la minute d’arc près.
Réponse
La tension agit le long de la chaîne. La tension possède à la fois des composantes horizontales et verticales, de sorte que nous pouvons la décomposer comme suit : et comme le montre la figure suivante.
En déterminant , la force de réaction peut être ignorée en prenant les moments Par rapport au point où elle agit. Les moments sur la tige autour de la charnière peuvent être déterminés à partir de la figure suivante. Comme la tige est uniforme, le poids agit au milieu de la tige.
La composante horizontale de agit le long de la ligne qui passe par la charnière, qui est l'endroit où nous prenons le moment, produisant ainsi un moment nul. Puisque la tige est en équilibre, les moments dans le sens contraire des aiguilles d'une montre et dans le sens des aiguilles d'une montre peuvent être égalisés :
Les termes de gauche se simplifient en . En divisant les deux côtés de l'équation par 1,28, on obtient
Le facteur de peut être supprimé en multipliant les deux côtés de l'équation par pour donner
Cela peut être simplifié davantage donc l’intensité de est donnée par
Lorsque l’intensité de est déterminée, pour que la tige soit en équilibre, Les intensités des composantes verticale et horizontale de la force de réaction au niveau de la charnière doivent être telles que les forces résultantes horizontales et verticales sur la tige soient nulles, comme le montre la figure suivante.
La figure montre que et .
L’intensité de la réaction et l'angle par rapport à l'horizontale où elle agit sont déterminées en trouvant la longueur et l'angle de l'hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés opposés et adjacents sont de longueur égale aux composantes verticale et horizontale de la réaction, comme le montre la figure suivante.
La longueur de l'hypoténuse, , est calculée en utilisant le théorème de Pythagore :
En prenant les racines carrées des deux côtés de l'équation, on obtient ce qui signifie que l’intensité de la force de réaction est
La tangente de est la fraction sur , donc et
Dans notre dernier exemple, examinons une échelle reposant contre un mur lisse avec sa base sur un sol horizontal rugueux.
Exemple 4: Résolution d'un problème impliquant une échelle en équilibre statique
Une échelle uniforme repose dans un plan vertical dont l'extrémité supérieure est contre un mur vertical lisse, et l'extrémité inférieure sur un sol horizontal rugueux, où le coefficient de friction entre l'échelle et le sol est . L'échelle est inclinée par rapport à l'horizontale à un angle mesurant . Étant donné que l'échelle pèse 295 N et a une longueur , trouvez, en fonction de , la distance maximale qu'un homme pesant 610 N peut gravir l'échelle sans glisser, en arrondissant votre réponse au centième près
Réponse
Avec des problèmes d'équilibre statique impliquant des échelles, il est souvent judicieux de commencer par tracer une figure de force en utilisant les informations données dans la question pour nous aider à visualiser la situation.
Sur notre figure est la force de réaction perpendiculaire au mur, est la force de réaction perpendiculaire au sol, et est le frottement entre la base de l'échelle et le sol rugueux.
Maintenant, rappelons que pour qu'un objet soit en équilibre, la somme des forces horizontales et la somme des forces verticales doivent être égales à zéro et la somme des moments dans le sens horaire et antihoraire doit être nulle.
Si nous commençons par regarder les forces horizontales, nous pouvons voir que
Rappelant que , où est le coefficient de frottement, nous avons que
Maintenant, si nous regardons les forces verticales, nous pouvons voir que
En remplaçant cela dans l'équation (1), nous avons que
Comme nous l'avons noté précédemment, pour qu'un corps soit en équilibre, la somme de tous les moments doit être égale à zéro, ou de manière équivalente, les moments dans le sens horaire doivent être égaux aux moments dans le sens antihoraire. Nous pouvons prendre quelques instants sur n'importe quel point de l'échelle, mais il est souvent plus facile de choisir un point où plusieurs forces agissent, car cela simplifiera le calcul. À la base de l'échelle, nous avons deux forces agissant, la friction et la force de réaction normale du sol, nous allons donc prendre quelques instants à partir de ce point. Cela nous permet de former l'équation suivante :
La substitution de donne
Enfin, nous devons réarranger pour faire de le sujet :
Arrondir au centième près donne une réponse de .
Terminons par récapituler quelques points clés.
Points clés
- Un corps rigide est en équilibre si la somme des forces et la somme des moments sur le corps sont égales à zéro.
- Les forces agissant sur les corps rigides autres que les forces appliquées sont le poids du corps, la réaction au poids du corps, et la friction entre le corps et les surfaces rugueuses avec lesquelles il est en contact.
- Prendre les moments sur un corps rigide par rapport à un point peut être utile pour déterminer l’intensité et la direction des forces agissant sur le corps qui ne peuvent être déterminées directement.
