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Vidéo de la leçon : Équilibre d’un corps rigide Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre des problèmes portant sur l'équilibre des corps rigides en 2D, où la somme des forces et la somme des moments sont égales à zéro.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre comment résoudre des problèmes portant sur l'équilibre des corps rigides en deux dimensions, où la somme des forces et la somme des moments sont égales à zéro. Nous allons voir que pour un corps ou un objet rigide, comme par exemple les différentes parties de ce pont suspendu, lorsque la somme des forces et la somme des moments des forces agissant sur le corps sont nulles, alors ce corps est dit en équilibre. Et nous pourrons ainsi utiliser ces conditions pour analyser différents exemples. Alors, que veut-on dire par « corps rigide » ?

Un corps rigide est un objet qui ne se plie pas, ne fléchit pas et ne change pas de forme sous l'action d'une ou de plusieurs forces. Un corps rigide est dit en équilibre si la somme des forces et la somme des moments des forces agissant sur le corps sont nulles. Cela signifie que le corps ne subit ni mouvement de translation ni mouvement de rotation. Considérons par exemple une barre homogène au repos sur un plan horizontal lisse. La barre exerce sur la table une force, son poids, verticalement vers le bas. Selon la troisième loi du mouvement de Newton, la table exerce une force, la réaction normale 𝑅, sur la barre. Comme ces forces sont de même intensité et de sens opposés, et comme aucune autre force n'agit sur le corps, alors 𝑅 égale 𝑃, ce qui signifie que la somme des forces est nulle. Nous pouvons alors en déduire que l'accélération du corps est nulle et qu'il est en équilibre de translation.

Et qu’en est-il de l’équilibre de rotation ? Eh bien, si les forces agissent sur notre objet selon la même ligne d'action, et que nous envisageons la tendance de l'une ou l'autre de ces forces à faire tourner cette barre pour créer un moment non nul, alors nous pouvons voir que, quel que soit le point choisi comme axe de rotation potentiel, pourvu que ce point appartienne à l'axe de la barre, le moment de l'une des forces par rapport à ce point sera totalement contrebalancé par le moment de l'autre force. Lorsque la somme des moments est nulle, le corps est dit en équilibre de rotation. Et lorsque ces conditions sont toutes deux remplies, alors le corps est dit simplement en équilibre.

Formalisons cela. Un corps sous l’action d’un ensemble de forces coplanaires est en équilibre statique si la force résultante devient nulle – c’est-à-dire que la somme vectorielle de toutes les forces est égale à zéro – et que le moment résultant par rapport à un point quelconque, soit 𝑝, devient également nulle – c’est-à-dire que la somme vectorielle des moments des forces est égale à zéro. Ces conditions sont suffisantes et nécessaires pour l’équilibre des forces. Écrivons la force résultante sous la forme 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣, où 𝐢 et 𝐣 sont des vecteurs unitaires orthogonaux coplanaires.

Il s’ensuit que si 𝑥 égale zéro et 𝑦 égale zéro, alors la somme des forces est égale à zéro. En outre, si la somme des mesures algébriques des moments des forces par rapport à un point du plan devient nulle, alors le corps est dit en équilibre. Et ceci est très utile car ça nous permet d’étendre les méthodes de traitement des corps en équilibre utilisant la notation vectorielle, et pouvoir ainsi travailler avec des scalaires. Voyons ce que cela signifie en pratique dans la résolution de problèmes impliquant des corps rigides en équilibre.

Sur la figure donnée, déterminez l’intensité de la force 𝐹 qui maintient la barre en équilibre, sachant que l’intensité de la force donnée est de sept newtons et que cos 𝜃 est égale à quatre cinquièmes.

Nous avons une barre verticale, et on nous dit qu’il s’agit d’un équilibre. Deux forces que nous connaissons agissent sur la barre, mais ce ne sont pas les seules. Considérons le point où la barre touche la surface sur laquelle elle repose ; c’est le point 𝐴. Il y a le poids, la force exercée sur ce point et agissant vers le bas. Et selon la troisième loi de Newton, il y a également une force opposée qui est la réaction ; appelons-la 𝑅. Et en plus de ces forces, il existe en fait encore une force qui agit sur la barre. Nous en sommes certains car il suffit d’observer la rotation de la barre par rapport à l'un ou l'autre des points où les deux forces horizontales agissent.

En ne considérant que les forces que nous avons tracées, nous pouvons voir que la barre ne sera pas en équilibre de rotation ; c’est-à-dire que son moment ne sera pas nul. Cela est résolu si nous supposons qu'une certaine force de frottement, appelons-la 𝐹 indice 𝑟, agit vers la gauche, au point 𝐴 sur notre barre. Et maintenant nous avons un diagramme du corps libre indiquant toutes les forces agissant sur la barre.

Nous savons que pour que le corps soit en équilibre, il faut que la somme des forces soit nulle, et que la somme des moments des forces par rapport à un point – appelons-le 𝑃 – soit également nulle. Nous avons écrit cela en utilisant une notation vectorielle. Mais nous savons bien sûr que nous pouvons simplement résoudre horizontalement et verticalement et obtenir le même résultat. Puisqu’il y a plusieurs forces inconnues ici, nous allons nous concentrer sur la somme des moments. Et nous allons les mettre en équation exprimant la somme des moments des forces par rapport au point 𝐴.

Puisque le moment est la force multipliée par la distance perpendiculaire entre le point 𝐴 et la ligne d’action de la force, alors le moment de notre force de sept newtons est sept cos 30 fois 4,7 plus 2,1. Soit 47,6 cos 30. De même, le moment de la force inconnue 𝐹 sera 𝐹 cos 𝜃 fois 2,1. Nous allons ensuite écrire la somme des moments, en prenant le sens antihoraire pour qu’elle soit positive. Et puisque nous savons que la somme est égale à zéro, nous obtenons 47,6 cos 30 moins 2,1𝐹 cos 𝜃 égale zéro.

En fait, nous n’avons pas encore utilisé l’information que cos 𝜃 est égale à quatre cinquièmes. Remplaçons par cette valeur dans notre équation, et nous pourrons ainsi déterminer 𝐹. Ce faisant, la deuxième partie de notre expression devient moins 2,1𝐹 fois quatre cinquièmes, soit 1,68𝐹. En réorganisant l’équation, nous avons 𝐹 égale 47,6 cos 30 divisé par 1,68. Cela nous donne 85 sur trois fois racine de trois sur deux, ce qui simplifie à 85 racine de trois sur six newtons. Ainsi, nous avons trouvé l’intensité de la force 𝐹 qui maintient notre barre en équilibre. C’est 85 racine de trois sur six newtons.

Dans cet exemple, nous avons pu résoudre un problème avec une force inconnue en ne considérant que les moments des forces. Dans notre exemple suivant, nous allons voir un problème avec une échelle. C'est un exemple où une échelle s'appuie contre un mur lisse et dont la base est sur un sol horizontal rugueux.

Une échelle homogène repose dans un plan vertical, avec son extrémité supérieure contre un mur vertical lisse et son extrémité inférieure sur un sol horizontal rugueux, où le coefficient de frottement entre l’échelle et le sol est de deux tiers. L’échelle est inclinée d’un angle de 48 degrés par rapport à l’horizontale. Étant donné que l’échelle pèse 295 newtons et a une longueur 𝐿, déterminez, en fonction de 𝐿, la distance maximale qu’un homme pesant 610 newtons peut monter sur l’échelle sans qu’elle ne glisse, tout en arrondissant la réponse au dixième près.

Il se passe plein de choses ici, alors nous allons commencer par tracer un diagramme du corps libre. Voici l’échelle homogène posée contre un mur vertical lisse avec un angle de 48 degrés par rapport à l’horizontale. Puisque l’échelle est homogène, nous supposons que son poids agit verticalement vers le bas en un point situé juste au milieu de l’échelle. Ensuite, il y a les réactions du sol sur l’échelle et du mur sur l’échelle ; nous les appellerons respectivement 𝑅 indice 𝐴 et 𝑅 indice 𝐵. La force de frottement empêche l'échelle de glisser. Appelons-la 𝐹 indice 𝑟. Et bien sûr elle est égale à 𝜇 fois 𝑅 indice 𝐴, où 𝜇 est le coefficient de frottement et 𝑅 indice 𝐴 est la réaction du sol sur l’échelle.

Enfin, nous savons que l’homme peut monter une certaine distance sur l’échelle sans qu’elle ne glisse. Il pèse 610 newtons, donc nous allons modéliser cela comme étant un petit peu au-dessus du milieu de l'échelle. En fait, si nous modélisons le poids de l’échelle comme étant un demi 𝐿 depuis la base de l’échelle, alors nous pouvons dire que l’homme est à 𝑥𝐿 de la base de l’échelle, où 𝑥 est une fraction. Et nous pouvons voir que nous essayons de déterminer la valeur de 𝑥. Alors libérons un peu de place et commençons à résoudre ce problème.

À l'instant exact avant qu’elle ne glisse, l’échelle sera sur le point de glisser, donc elle sera en équilibre. Pour que ce soit le cas, nous savons que la somme des forces agissant sur le corps doit être nulle, et que la somme des moments doit être également nulle. En fait, au lieu de recourir à la forme vectorielle, nous allons déterminer les composantes individuelles de la force. Prenons le sens vers le bas comme étant positif et calculons la somme de toutes les forces qui agissent sur l’échelle.

Trois forces agissent dans cette direction verticale. Ce sont le poids de l’échelle, le poids de l’homme et la réaction 𝐴 du sol sur l’échelle. Leur somme est alors 610 plus 295 moins 𝑅 indice 𝐴. Puisque l’échelle est en équilibre, alors cette somme égale zéro. On peut donc dire que 905 moins 𝑅 indice 𝐴 est égale à zéro. Et la force 𝑅 indice 𝐴, la réaction du sol sur l’échelle, est donc égale à 905 newtons. Résolvons maintenant horizontalement, et prenons le sens vers la droite comme étant positif.

La somme des forces dans cette direction est 𝑅 indice 𝐵 moins la force de frottement. Et nous soustrayons cette force de frottement car elle agit vers la gauche. Et bien sûr la somme de ces forces est égale à zéro. Cela signifie en fait que la force de réaction en 𝐵 doit être exactement égale à la force de frottement. Mais rappelez-vous, nous avons dit que la force de frottement est égale au coefficient de frottement fois la réaction normale en ce point, donc 𝜇 fois 𝑅 indice 𝐴.

Nous avons déjà calculé la réaction en 𝐴, et elle est égale à 905. Et on nous dit dans la question que 𝜇, le coefficient de frottement, est deux tiers. Deux tiers fois 905, c’est 1810 sur trois. Et donc, nous avons la réaction en 𝐵. C’est la réaction du mur sur l’échelle. Ceci fait, nous pouvons maintenant prendre les moments par rapport à un certain point. Nous pouvons prendre des moments par rapport à n’importe quel point, mais c'est toujours judicieux de les prendre au bas de l’échelle, car il y a plus d’une force agissant ici, et cela nous aide à simplifier la démarche. Considérons donc les moments par rapport au point 𝐴.

Nous savons que nous cherchons à ce que la somme des moments par rapport au point 𝐴 soit nulle, et nous allons prendre le sens antihoraire comme étant positif. À ce stade, il est important de noter que les forces de 610 et de 295 newtons n'agissent pas dans une direction perpendiculaire à l'échelle. Donc, nous allons décomposer ces forces. En utilisant la trigonométrie dans un triangle rectangle, nous voyons que les composantes de ces forces qui sont perpendiculaires à l’échelle sont 610 cos 48 et 295 cos 48.

Le moment du poids de l’homme par rapport à ce point est le produit de cette composante de la force par la distance depuis le point 𝐴. Donc, c’est 610 cos 48 fois 𝑥𝐿. De même, le moment du poids de l’échelle est 295 cos 48 fois un demi 𝐿. Dans le sens opposé, nous avons le moment de la réaction du mur contre l’échelle. Donc, nous soustrayons 1810 sur trois sin 48 fois 𝐿. Puisque la somme de ces forces est nulle, alors nous égalisons la somme à zéro. Nous voyons maintenant que nous pouvons diviser par 𝐿. Et nous le faisons car nous savons que la longueur de l’échelle ne peut pas être zéro.

Ensuite, nous cherchons à trouver l’inconnue 𝑥. Nous soustrayons 295 sur deux cos 48 des deux membres et ajoutons 1810 sur trois sin 48. Enfin, nous divisons par 610 cos 48 degrés, et nous obtenons ainsi la valeur de 𝑥. Cela nous donne 0,85667 et ainsi de suite. Et donc, en fonction de 𝐿, la distance que l’homme peut monter sur l’échelle avant qu’elle ne glisse est de 0,86𝐿 ou 0,86𝐿 unités.

Récapitulons maintenant quelques points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris qu’un corps rigide est un objet qui ne se plie pas, ne fléchit pas et ne change pas de forme sous l'action d'une force. Un corps soumis à un ensemble de forces coplanaires est en équilibre statique si la force résultante devient nulle – c’est-à-dire que la somme des forces égale zéro – et que le moment résultant par rapport à un point quelconque, disons 𝑃, devient également nul. Ces conditions sont suffisantes et nécessaires pour l’équilibre des forces. Et rappelez-vous, nous avons vu que nous pouvons étendre les méthodes de traitement des corps en équilibre utilisant la notation vectorielle, et travailler avec des scalaires, ce qui peut être plus efficace pour nos calculs.

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