Transcription de la vidéo
La région délimitée par les courbes d’équations 𝑥 égale trois racine de 𝑦, 𝑥 égale zéro et 𝑦 égale trois est tournée autour de l’axe des 𝑦. Calculez le volume du solide résultant.
Alors, la première chose que j’ai fait, c’est de tracer la courbe de la fonction 𝑥 égale trois racine de 𝑦. Bon, alors maintenant, que pouvons-nous ajouter sur ce graphique ? Alors, ce que j’ai maintenant ajouté à ce graphique, ce sont les droites 𝑥 égale zéro et 𝑦 égale trois. Et je les ai ajoutées car ce sont ces deux droites qui vont délimiter notre zone par rapport à la courbe.
Alors, si nous revenons à la question, on nous dit qu’on fait tourner cette zone autour de l’axe des 𝑦. Donc, en faisant cela, nous allons en fait créer un solide en trois dimensions qui va ressembler un peu à ça. Alors, ce que je vais faire, c’est dessiner tout cela sous un autre angle pour que nous puissions vraiment comprendre la forme du solide qui nous intéresse. Donc, avec ce schéma, nous pouvons avoir une idée approximative de ce que nous regardons vu de côté.
Très bien, alors nous savons maintenant ce que nous recherchons. Mais comment allons-nous déterminer le volume de ce solide ? Eh bien, nous allons commencer par considérer une petite section transversale de la zone. Et si nous prenons cette petite section transversale et que nous la faisons tourner comme nous le faisons avec toute la zone, nous obtenons en fait un disque, c’est pourquoi on l’appelle parfois la méthode du disque.
Alors, nous avons un disque. Réfléchissons aux dimensions de ce disque. Eh bien, tout d’abord, nous savons que le rayon est égal à trois racines de 𝑦. Et nous savons cela parce que la petite zone que nous considérons va en fait de l’axe des 𝑦 jusqu’à la courbe de la fonction elle-même. Donc, nous savons que la distance entre les deux va être trois racine de 𝑦, c’est-à-dire la valeur de la fonction en ce point.
Alors, très bien, nous avons donc le rayon et la hauteur est 𝑑𝑦 parce que nous considérons une très petite valeur de 𝑦. On note donc cela en utilisant 𝑑𝑦. Parfait, alors maintenant nous avons les dimensions, que faire ensuite ? Alors, nous pourrions dire « parfait, passons à l’aire de la section transversale » parce que nous avons en fait un cercle ici. Donc, l’aire est égale à pi 𝑟 au carré, ce qui nous donne pi multiplié par trois racine de 𝑦 le tout au carré, ce qui donne pi fois neuf 𝑦.
Très bien, nous avons calculé l’aire de la zone. Alors maintenant, nous devons déterminer le volume du disque. Donc, nous pouvons dire que le volume va juste être égal à pi neuf 𝑦 multiplié par 𝑑𝑦. Parce que l’aire de la section transversale est pi neuf 𝑦 et que la hauteur est 𝑑𝑦. Nous avons donc déterminé notre volume. Très bien, mais pour l’instant ce n’est que le volume du disque. Comment déterminer le volume de toute la zone ?
Alors, pour déterminer le volume de l’ensemble du solide, nous allons utiliser une intégrale définie. Et avec une intégrale définie, nous allons pouvoir faire la somme d’un nombre infini de petits disques. Et nous disons un « nombre infini » parce que s’il s’agissait d’un nombre fini de disques, alors ce serait seulement une estimation. Mais comme il s’agit d’un nombre infini, nous savons que nous allons obtenir le volume complet du solide.
Comme vous l’avez peut-être aussi remarqué, comme j’ai maintenant écrit une intégrale définie, j’ai en fait mis les bornes trois et zéro. Et cela parce que ce sont les limites de la zone. Si vous regardez, la zone est délimitée entre les points 𝑦 égale trois et 𝑦 égale zéro. Nous pouvons donc dire que le volume du solide obtenu est déterminé par l’intégrale de pi neuf 𝑦 entre les bornes zéro et trois.
Et juste pour rappeler comment déterminer la valeur d’une intégrale définie, si nous avons une intégrale définie dont les bornes sont 𝑏 et 𝑎, alors nous pouvons dire qu’en fait la valeur est égale à l’intégrale avec 𝑥 égal à la borne supérieure 𝑏 moins l’intégrale avec 𝑥 égal à la borne inférieure.
Très bien, alors maintenant nous savons comment faire le calcul, continuons donc et calculons la valeur de notre intégrale définie. La première chose à faire est de sortir le pi et de le mettre devant l’intégrale. Parce que pi ne va pas influer sur le calcul de l’intégrale elle-même, car c’est juste un coefficient. Maintenant, nous allons donc intégrer la fonction. Nous intégrons donc neuf 𝑦, ce qui nous donne neuf 𝑦 au carré sur deux.
Et juste pour rappel, comment avons-nous avons fait cela ? Nous avons augmenté l’exposant de un. J’ai donc ajouté un à un, ce qui donne deux. Nous avons donc neuf 𝑦 au carré, puis nous divisons par le nouvel exposant.
Alors, passons maintenant à l’étape suivante qui consiste en fait à utiliser les bornes supérieure et inférieure. Donc nous allons obtenir pi multiplié par neuf fois trois au carré sur deux moins neuf multiplié par zéro au carré sur deux. Ce n’est généralement pas la peine d’écrire cette partie parce que nous savons que le résultat est égal à zéro. Mais je vais tout de même l’écrire pour bien présenter la méthode complète. Alors maintenant, ce que nous allons faire, c’est calculer cela pour obtenir notre valeur. Et tout cela est égal à 81 pi sur deux.
Nous pouvons donc dire que si l’on fait tourner la zone délimitée par les courbes 𝑥 égale trois racine de 𝑦, 𝑥 égale zéro et 𝑦 égale trois autour de l’axe des 𝑦, le volume du solide obtenu est égal à 81 pi sur deux.
