Fiche explicative de la leçon : Volume d'un solide de révolution à l'aide des méthodes des disques et des couronnes Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région autour d’une droite horizontale ou verticale à l’aide des méthodes du disque et de la couronne.

Supposons que nous ayons une courbe 𝑦=𝑓(𝑥) dans un certain intervalle [𝑎;𝑏], comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Si on prend la partie de la courbe entre 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 et on la fait tourner autour de l’axe des 𝑥 d’une rotation complète (c’est-à-dire de 360 ou 2𝜋 ), la courbe tracera la surface d’un solide lors de sa rotation; on appelle cela un solide de révolution, tracé sur la figure ci-dessous.

Si la courbe définie par 𝑓 décrit une droite, on obtient un cône. Si elle décrit un demi-cercle, on obtient une sphère. Alors, comment peut-on déterminer le volume de ces solides de révolution?

Définition : Volume des solides de révolution

Supposons qu’un solide se situe entre les droites verticales 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏, dont l’aire de la section transversale dans le plan passant par 𝑥 et perpendiculaire à l’axe des 𝑥 est 𝐴(𝑥). Si 𝐴(𝑥) est continue sur l’intervalle [𝑎;𝑏], on peut diviser l’intervalle en 𝑛 sous-intervalles de même largeur, Δ𝑥, et choisir un point, 𝑥, dans chaque intervalle.

Le volume du solide formé en tournant la région délimitée par la courbe et l’axe des 𝑥 entre 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 autour de l’axe des 𝑥 est 𝑉=𝐴(𝑥)Δ𝑥=𝐴(𝑥)𝑥;limd𝑥=𝑎+𝑖Δ𝑥;Δ𝑥=𝑏𝑎𝑛=𝑥𝑥.

De même, le volume du solide formé en tournant la région délimitée par la courbe et l’axe des 𝑦 entre 𝑦=𝑐 et 𝑦=𝑑 autour de l’axe des 𝑦 est 𝑉=𝐴(𝑦)𝑦.d

On peut également visualiser cela sur un diagramme.

Pour une courbe 𝑦=𝑓(𝑥), la section transversale est un disque solide ou un cercle dont l’aire est 𝐴=𝜋𝑅, 𝑅 est le rayon. Le rayon de chaque cercle sera la valeur de la fonction en ce point. Ainsi, la section perpendiculaire à l’axe de rotation est un disque de rayon 𝑅=𝑓(𝑥), et on obtient 𝐴(𝑥)=𝜋[𝑓(𝑥)]..

Donc, le volume du solide formé en tournant la région délimitée par la courbe 𝑦=𝑓(𝑥) et l’axe des 𝑥 entre 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 autour de l’axe des 𝑥 peut aussi être écrit comme 𝑉=𝜋[𝑓(𝑥)]𝑥.d

Ceci est connu comme la méthode du disque autour de l’axe des 𝑥 ou la droite horizontale 𝑦=0. On peut représenter cela sur un graphique comme suit:

On peut aussi utiliser un procédé similaire pour calculer le volume d’un solide engendré par rotation autour de l’axe des 𝑦. Le volume du solide formé en tournant la région délimitée par la courbe 𝑥=𝑓(𝑦) et l’axe des 𝑦 entre 𝑦=𝑐 et 𝑦=𝑑 autour de l’axe des 𝑦 est 𝑉=𝜋[𝑓(𝑦)]𝑦.d

Ceci est également connu comme la méthode du disque autour de l’axe des 𝑦 ou de la droite verticale 𝑥=0. On peut représenter cela comme suit:

À titre d’exemple, dérivons les formules pour le volume d’une sphère. L’équation d’un cercle centré à l’origine avec un rayon 𝑟 est 𝑥+𝑦=𝑟 ou, de manière équivalente, écrite en fonction de 𝑥 comme 𝑦=±𝑟𝑥.

En fait, il suffit de considérer le demi-cercle dans le demi-quadrant supérieur décrit par 𝑦=𝑟𝑥 comme indiqué sur le graphique:

On peut tourner cette courbe entre 𝑥=𝑟 et 𝑥=𝑟 autour de cet axe des 𝑥 d’une rotation complète pour former une sphère de rayon 𝑟 centré à l’origine.

L’aire de la section transversale de ce solide est 𝐴(𝑥)=𝜋𝑦=𝜋𝑟𝑥.

Donc, le volume du solide de révolution est 𝑉=𝐴(𝑥)𝑥=𝜋𝑟𝑥𝑥=𝜋𝑟𝑥𝑥3=𝜋𝑟𝑟3𝑟+𝑟3=43𝜋𝑟.dd

Ceci est le résultat standard du volume d’une sphère, comme prévu. On aurait obtenu le même résultat si on avait considéré le demi-cercle dans la région en-dessous de l’axe des 𝑥, décrit par 𝑦=𝑟𝑥.

À présent, faisons la même chose pour le volume d’un cône. Considérons l’équation d’une droite passant par l’origine, 𝑦=𝑟𝑥, comme indiqué sur le graphique.

On peut tourner cette droite entre 𝑥=0 et 𝑥= d’une rotation complète autour de l’axe des 𝑥 pour former un cône de rayon 𝑟 et d’hauteur verticale , comme indiqué sur la figure.

On peut calculer l’aire de la section transversale du solide comme suit: 𝐴(𝑥)=𝜋𝑦=𝜋𝑟𝑥=𝜋𝑟𝑥.

Donc, le volume du solide de révolution est 𝑉=𝐴(𝑥)𝑥=𝜋𝑟𝑥𝑥=𝜋𝑟𝑥𝑥=𝜋𝑟𝑥3=𝜋𝑟30=13𝜋𝑟.ddd

Ceci est le résultat standard pour le volume d’un cône, comme prévu.

Considérons à présent quelques exemples pour appliquer et approfondir notre compréhension de comment calculer les volumes des solides de révolution en utilisant les méthodes du disque et de la couronne. Dans le premier exemple, nous allons déterminer le volume d’un solide engendré par une rotation complète d’une région donnée autour de l’axe des 𝑥. Pour ce faire, nous allons utiliser la méthode du disque.

Exemple 1: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région délimitée par une droite autour de l’axe des 𝑥

Considérez la région délimitée par les courbes 𝑦=𝑥+4, 𝑦=0, 𝑥=0 et 𝑥=3. Déterminez le volume du solide de révolution créé en tournant cette région autour de l’axe des 𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, on veut calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région particulière autour de l’axe des 𝑥.

On peut visualiser la région délimitée par les courbes 𝑦=𝑥+4, 𝑦=0, 𝑥=0 et 𝑥=3 comme suit:

Le solide de révolution engendré en tournant cette région autour de l’axe des 𝑥 est un tronc de cône.

Étant donné qu’on a tourné la région autour de l’axe des 𝑥, le volume est défini par 𝑉=𝐴(𝑥)𝑥.d

La forme en coupe verticale de notre solide sera un disque, et le rayon, 𝑅, de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point, 𝑅=𝑥+4. Ainsi, l’aire de la section transversale est 𝐴(𝑥)=𝜋𝑅=𝜋(𝑥+4).

Les bornes de l’intégrale, 𝑎 et 𝑏, sont déterminées par les bornes verticales de 𝑥 dans la région délimitée par les courbes, 0𝑥3; on peut également visualiser cela à partir de la représentation graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a 𝑎=0 et 𝑏=3, et le volume du solide de révolution est 𝑉=𝐴(𝑥)𝑥=𝜋(𝑥+4)𝑥=𝜋𝑥+8𝑥+16𝑥=𝜋𝑥3+8𝑥2+16𝑥=93𝜋.ddd

Ainsi, le volume du solide de révolution est 93𝜋.unitéscubes

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer le volume engendré par la rotation d’une région délimitée par une fonction radicale et d’autres droites, par rapport à l’axe des 𝑥. Pour ce faire, nous allons utiliser la méthode du disque.

Exemple 2: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation de la région sous la courbe d’une fonction racine autour de l’axe des 𝑥

Déterminez le volume du solide obtenu en tournant la région délimitée par la courbe 𝑦=𝑥+1 et les droites 𝑦=0 et 𝑥=4 autour de l’axe des 𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, on veut calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région particulière autour de l’axe des 𝑥.

On peut représenter la région délimitée par la courbe 𝑦=𝑥+1 et les droites 𝑦=0 et 𝑥=4 comme suit:

Le solide de révolution formé en tournant cette région autour de l’axe des 𝑥 est comme suit:

Étant donné qu’on tourne cette région autour de l’axe des 𝑥, le volume est 𝑉=𝐴(𝑥)𝑥.d

La forme en coupe verticale de notre solide sera un disque, et le rayon de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point, 𝑅=𝑥+1. Ainsi, l’aire de la section transversale est définie par 𝐴(𝑥)=𝜋𝑅=𝜋𝑥+1=𝜋(𝑥+1).

Les bornes de l’intégrale, 𝑎 et 𝑏, sont déterminées par les bornes verticales de 𝑥 dans cette région. La borne supérieure est 𝑥=4 et la borne inférieure est déterminée par l’intersection des courbes 𝑦=𝑥+1 et 𝑦=0, qui est 𝑥=1; on peut également visualiser cela à partir de la représentation graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a 𝑎=1 et 𝑏=4, et le volume du solide de révolution est 𝑉=𝐴(𝑥)𝑥=𝜋(𝑥+1)𝑥=𝜋𝑥2+𝑥=25𝜋2.dd

Ainsi, le volume du solide engendré est 25𝜋2.unitéscubes

Considérons à présent un exemple dans lequel nous devons trouver le volume d'un solide engendré par la rotation d’une région délimitée par une parabole autour de l’axe des 𝑥. Pour ce faire, nous allons utiliser la méthode du disque.

Exemple 3: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation de la région délimitée par une parabole autour de l’axe des 𝑥

Déterminez le volume du solide engendré en tournant la région délimitée par la courbe 𝑦=𝑥+2𝑥 et l’axe des 𝑥 d’une rotation complète autour de l’axe des 𝑥.

Réponse

Dans cet exemple, on veut calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région particulière autour de l’axe des 𝑥.

On peut visualiser la région délimitée par la courbe 𝑦=𝑥+2𝑥 et l’axe des 𝑥 comme suit:

Le solide de révolution formé en tournant cette région autour de l’axe des 𝑥 est comme suit:

Étant donné qu’on tourne cette région autour de l’axe des 𝑥, le volume est défini par 𝑉=𝐴(𝑥)𝑥.d

La forme en coupe transversale de notre solide sera un disque, et le rayon de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point, 𝑅=𝑥+2𝑥. Ainsi, l’aire de la section transversale est 𝐴(𝑥)=𝜋𝑅=𝜋𝑥+2𝑥=𝜋𝑥4𝑥+4𝑥.

Les bornes de l’intégrale, 𝑎 et 𝑏, sont déterminées par les bornes verticales de 𝑥 dans cette région, ce qui, dans ce cas, se produit lorsque la courbe 𝑦=𝑥+2𝑥 croise l’axe des 𝑥 ou quand 𝑦=0: 𝑥+2𝑥=𝑥(𝑥2)=0.

Les solutions sont 𝑥=0 et 𝑥=2, qui peuvent aussi être reprèsentées sur le graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a 𝑎=0 et 𝑏=2, et le volume du solide de révolution est 𝑉=𝐴(𝑥)𝑥=𝜋𝑥4𝑥+4𝑥𝑥=𝜋𝑥5𝑥+4𝑥3=16𝜋15.dd

Ainsi, le volume du solide engendré est 16𝜋15.unitéscubes

Considérons à présent un exemple dans lequel nous allons déterminer le volume d’un solide de révolution, mais cette fois tourné autour de l’axe des 𝑦. Pour ce faire nous allons utiliser la méthode du disque.

Exemple 4: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région délimitée par des droites autour de l’axe des 𝑦

Déterminez le volume du solide engendré en tournant, d’une rotation complète autour de l’axe des 𝑦, la région délimitée par les droites 9𝑥𝑦=0, 𝑥=0, 𝑦=9 et 𝑦=0.

Réponse

Dans cet exemple, on veut calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région donnée autour de l’axe des 𝑦.

On peut représenter la région délimitée par les courbes 9𝑥𝑦=0 et les droites 𝑥=0, 𝑦=9 et 𝑦=0 comme suit:

Le solide de révolution formé en tournant cette région autour de l’axe des 𝑦 ressemble à un cône.

Étant donné qu’on a tourné cette région autour de l’axe des 𝑦, le volume est défini par 𝑉=𝐴(𝑦)𝑦.d

La forme en coupe horizontale de notre solide sera un disque, et le rayon de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point, 𝑅=𝑦9. Ainsi, l’aire de la section transversale est 𝐴(𝑦)=𝜋𝑅=𝜋𝑦9=𝜋𝑦81.

Les bornes de l’intégrale, 𝑐 et 𝑑, sont déterminées par les bornes horizontales de 𝑦 dans la région, 9𝑦0; cela peut aussi être visualisé à partir de la représentation graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a 𝑐=9 et 𝑑=0, et le volume du solide de révolution est défini par 𝑉=𝐴(𝑦)𝑦=𝜋81𝑦𝑦=𝜋81𝑦3=3𝜋.dd

Ainsi, le volume du solide engendré est 3𝜋.unitéscubes

Le volume 𝑉 d’un solide engendré en tournant la région délimitée par 𝑦=𝑓(𝑥) et 𝑦=𝑔(𝑥) sur l’intervalle [𝑎;𝑏], 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), autour de l’axe des 𝑥 est 𝑉=𝜋[𝑓(𝑥)][𝑔(𝑥)]𝑥.d

C’est ce qu’on appelle la méthode de la couronne autour de l’axe des 𝑥 ou de la droite horizontale 𝑦=0, qu’on peut également visualiser sur un diagramme:

De même, le volume 𝑉 d’un solide engendré en tournant la région délimitée par 𝑥=𝑓(𝑦) et 𝑥=𝑔(𝑦) sur l’intervalle [𝑐;𝑑], 𝑓(𝑦)𝑔(𝑦), autour de l’axe des 𝑦 est 𝑉=𝜋[𝑓(𝑦)][𝑔(𝑦)]𝑥.d

Ceci est également connu comme la méthode de la couronne autour de l’axe des 𝑦 ou de la droite verticale 𝑥=0, qui peut être représentée comme:

Considérons à présent quelques exemples dans lesquels nous allons utiliser la méthode de la couronne; les courbes de deux fonctions sont tournées autour d’un axe, où la forme de la section transversale de chaque solide engendré est un disque.

Nous allons commencer par déterminer le volume d’un solide engendré en tournant une région délimitée par deux fonctions de 𝑦 polynômiales de degrés 2 et 4, autour de l’axe des 𝑦.

Exemple 5: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation de la région délimitée par une parabole et la courbe d’une fonction puissance autour de l’axe des 𝑦

Calculez le volume du solide obtenu en tournant la région délimitée par les courbes 𝑥=65𝑦 et 𝑥=𝑦 autour de l’axe des 𝑦.

Réponse

Dans cet exemple, on veut calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région particulière autour de l’axe des 𝑦.

On peut représenter la région délimitée par les courbes 𝑥=65𝑦 et 𝑥=𝑦 comme suit:

Le solide de révolution formé en tournant 𝑥=65𝑦 autour de l’axe des 𝑦 est comme suit:

Et le solide formé par 𝑥=𝑦 est comme suit:

Ainsi, le solide de révolution formé en tournant la région délimitée par ces courbes autour de l’axe des 𝑥=3 est comme suit:

Étant donné qu’on a tourné cette région autour de l’axe des 𝑦, le volume est défini par 𝑉=𝐴(𝑦)𝑦.d

La forme de section transversale de chaque solide sera une couronne, et le rayon de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point, 𝑅=65𝑦 et 𝑟=𝑦. Ainsi, la différence entre les aires du plus grand disque et du plus petit disque est 𝐴(𝑦)=𝜋𝑅𝜋𝑟=𝜋65𝑦𝜋𝑦=𝜋3660𝑦+25𝑦𝑦.

Les bornes de l’intégrale, 𝑐 et 𝑑, sont déterminées par les bornes horizontales de 𝑦 dans la région, qui dans ce cas sont les valeurs de 𝑦 aux points d’intersection des deux courbes: 65𝑦=𝑦.

La solution est 𝑦=1 et 𝑦=1, et les deux courbes se croisent aux points (1;1) et (1;1); on peut également visualiser cela à partir de la représentation graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a 𝑐=1 et 𝑑=1, et le volume du solide de révolution est 𝑉=𝐴(𝑦)𝑦=𝜋3660𝑦+25𝑦𝑦𝑦=𝜋36𝑦20𝑦+5𝑦𝑦9=376𝜋9.dd

Ainsi, le volume du solide engendré est 376𝜋9.unitéscubes

Considérons à présent un exemple dans lequel nous devons trouver le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région délimitée par deux courbes, une parabole et une droite, autour de l’axe des 𝑦. Pour ce faire nous allons utiliser la méthode de la couronne.

Exemple 6: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région délimitée par une parabole et une droite autour de l’axe des 𝑦

Déterminez le volume du solide obtenu en tournant la région délimitée par la courbe 𝑦=𝑥 et la droite 𝑥=3𝑦 autour de l’axe des 𝑦.

Réponse

Dans cet exemple, on veut calculer le volume du solide engendré par la rotation d’une région particulière autour de l’axe des 𝑦.

On peut représenter la région délimitée par la courbe 𝑥=𝑦 et la droite 𝑥=3𝑦 comme suit:

Le solide de révolution formé en tournant 𝑥=𝑦 autour de l’axe des 𝑦 est comme suit:

Et le solide formé par 𝑥=3𝑦 est comme suit:

Ainsi, le solide de révolution formé en tournant la région délimitée par ces courbes autour de l’axe des 𝑦 est comme suit:

Étant donné qu’on a tourné la région autour de l’axe des 𝑦, le volume est défini par 𝑉=𝐴(𝑦)𝑦.d

La forme en coupe horizontale de notre solide sera une couronne, et le rayon de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point, 𝑅=3𝑦 et 𝑟=𝑦. Ainsi, l’aire de la section transversale est 𝐴(𝑦)=𝜋𝑅𝜋𝑟=𝜋(3𝑦)𝜋𝑦=𝜋9𝑦𝑦.

Les bornes de l’intégrale, 𝑐 et 𝑑, sont déterminées par les bornes horizontales de 𝑦 dans la région où, dans ce cas, les deux courbes se croisent: 𝑦=3𝑦.

Les solutions sont 𝑦=0 et 𝑦=3, et les deux courbes se croisent aux points (0;0) et (9;3); on peut également visualiser cela à partir de la représentation graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a 𝑐=0 et 𝑑=3, et le volume du solide de révolution est défini par 𝑉=𝐴(𝑦)𝑦=𝜋9𝑦𝑦𝑦=𝜋3𝑦𝑦5=162𝜋5.dd

Ainsi, le volume du solide engendré est 162𝜋5.unitéscubes

Enfin, considérons un exemple dans lequel nous devons calculer le volume du solide engendré en tournant une région délimitée par des courbes autour d’une droite qui est parallèle à l’axe des 𝑦. Pour ce faire, nous allons utiliser la méthode de la couronne.

Exemple 7: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région autour d’une droite parallèle à l’axe des 𝑦

Considérez la région délimitée par les courbes 𝑦=𝑥, 𝑦=0 et 𝑥=2. Calculez le volume du solide obtenu en tournant cette région autour de 𝑥=3.

Réponse

Dans cet exemple, on veut calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région particulière autour de la droite 𝑥=3, qui est parallèle à l’axe des 𝑦.

On peut représenter la région délimitée par les courbes 𝑦=𝑥, 𝑦=0 et 𝑥=2 comme suit:

Le solide de révolution formé en tournant 𝑥=𝑦 autour de 𝑥=3 est comme suit:

Et le solide formé par 𝑥=2 est comme suit:

Ainsi, le solide de révolution formé en tournant la région délimitée par ces courbes autour de la droite 𝑥=3 est comme suit:

Étant donné qu’on a tourné cette région autour de la droite 𝑥=3, qui est parallèle à l’axe des 𝑦, le volume est défini par 𝑉=𝐴(𝑦)𝑦.d

La forme en coupe transversale de chaque solide sera une couronne. Cependant, étant donné qu’on tourne autour de la droite 𝑥=3 plutôt que l’axe des 𝑦, ou la droite 𝑥=0, on doit en tenir compte en soustrayant les équations décrivant les courbes de 3. Les rayons des disques seront 𝑅=3𝑦 et 𝑟=32=1. Ainsi, la différence entre les aires du plus grand disque et du plus petit disque est définie par 𝐴(𝑦)=𝜋𝑅𝜋𝑟=𝜋3𝑦𝜋(32)=𝜋𝑦6𝑦+8.

Les bornes de l’intégrale, 𝑐 et 𝑑, sont déterminées par les bornes horizontales de 𝑦 dans la région. La borne inférieure est 𝑦=0 et la borne supérieure est déterminée par l’intersection des courbes 𝑦=𝑥 et 𝑥=2, qui est 𝑦=8; on peut également visualiser cela à partir de la représentation graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a 𝑐=0 et 𝑑=8, et le volume du solide de révolution est défini par 𝑉=𝐴(𝑦)𝑦=𝜋𝑦6𝑦+8𝑦=𝜋3𝑦518𝑦4+8𝑦=56𝜋5.dd

Ainsi, le volume du solide engendré est 56𝜋5.unitéscubes

Points clés

  • Méthode du disque: Lorsque la courbe d’une seule fonction est tournée autour d’un axe, la section du solide sera un disque, et le rayon, 𝑅, de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point. L’aire de la section transversale est déterminée par 𝐴=𝜋𝑅.
    Le volume du solide formé en tournant la région délimitée par la courbe 𝑦=𝑓(𝑥) et l’axe des 𝑥 entre 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 autour de l’axe des 𝑥 est défini par 𝑉=𝜋[𝑓(𝑥)]𝑥.d De même, le volume du solide formé en tournant la région délimitée par la courbe 𝑥=𝑓(𝑦) et l’axe des 𝑦 entre 𝑦=𝑐 et 𝑦=𝑑 autour de l’axe des 𝑦 est défini par 𝑉=𝜋[𝑓(𝑦)]𝑦.d
  • Méthode de la couronne: Lorsque les courbes de deux fonctions sont tournées autour d’un axe, la forme de la section transversale de chaque solide engendré sera une couronne, et les rayons, 𝑅 et 𝑟, seront les valeurs de chacune des fonctions à ce point. L’aire de la section transversale est déterminée en soustrayant l’aire interne de l’aire externe comme suit: 𝐴=𝜋𝑅𝜋𝑟.
    Le volume 𝑉 d’un solide engendré en tournant la région délimitée par 𝑦=𝑓(𝑥) et 𝑦=𝑔(𝑥) entre 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏, 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), autour de l’axe des 𝑥 est 𝑉=𝜋[𝑓(𝑥)][𝑔(𝑥)]𝑥.d De même, le volume 𝑉 d’un solide engendré en tournant la région délimitée par 𝑥=𝑓(𝑦) et 𝑥=𝑔(𝑦) entre 𝑦=𝑐 et 𝑦=𝑑, 𝑓(𝑦)𝑔(𝑦), autour de l’axe des 𝑦 est 𝑉=𝜋[𝑓(𝑦)][𝑔(𝑦)]𝑥.d
  • Les bornes des intégrales sont déterminées par les bornes verticales ou horizontales de 𝑥 ou 𝑦, respectivement, en fonction de l’axe de rotation et de la région délimitée par les courbes.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.