Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région autour d’une droite horizontale ou verticale à l’aide des méthodes du disque et de la couronne.
Supposons que nous ayons une courbe dans un certain intervalle , comme indiqué sur la figure ci-dessous.
Si on prend la partie de la courbe entre et et on la fait tourner autour de l’axe des d’une rotation complète (c’est-à-dire de ou ), la courbe tracera la surface d’un solide lors de sa rotation ; on appelle cela un solide de révolution, tracé sur la figure ci-dessous.
Si la courbe définie par décrit une droite, on obtient un cône. Si elle décrit un demi-cercle, on obtient une sphère. Alors, comment peut-on déterminer le volume de ces solides de révolution ?
Définition : Volume des solides de révolution
Supposons qu’un solide se situe entre les droites verticales et , dont l’aire de la section transversale dans le plan passant par et perpendiculaire à l’axe des est . Si est continue sur l’intervalle , on peut diviser l’intervalle en sous-intervalles de même largeur, , et choisir un point, , dans chaque intervalle.
Le volume du solide formé en tournant la région délimitée par la courbe et l’axe des entre et autour de l’axe des est où
De même, le volume du solide formé en tournant la région délimitée par la courbe et l’axe des entre et autour de l’axe des est
On peut également visualiser cela sur un diagramme.
Pour une courbe , la section transversale est un disque solide ou un cercle dont l’aire est , où est le rayon. Le rayon de chaque cercle sera la valeur de la fonction en ce point. Ainsi, la section perpendiculaire à l’axe de rotation est un disque de rayon , et on obtient .
Donc, le volume du solide formé en tournant la région délimitée par la courbe et l’axe des entre et autour de l’axe des peut aussi être écrit comme
On peut représenter cela sur un graphique comme suit :
On peut aussi utiliser un procédé similaire pour calculer le volume d’un solide engendré par rotation autour de l’axe des . Le volume du solide formé en tournant la région délimitée par la courbe et l’axe des entre et autour de l’axe des est
On peut représenter cela comme suit :
À titre d’exemple, dérivons les formules pour le volume d’une sphère. L’équation d’un cercle centré à l’origine avec un rayon est ou, de manière équivalente, écrite en fonction de comme .
En fait, il suffit de considérer le demi-cercle dans le demi-quadrant supérieur décrit par comme indiqué sur le graphique :
On peut tourner cette courbe entre et autour de cet axe des d’une rotation complète pour former une sphère de rayon centré à l’origine.
L’aire de la section transversale de ce solide est
Donc, le volume du solide de révolution est
Ceci est le résultat standard du volume d’une sphère, comme prévu. On aurait obtenu le même résultat si on avait considéré le demi-cercle dans la région en-dessous de l’axe des , décrit par .
À présent, faisons la même chose pour le volume d’un cône. Considérons l’équation d’une droite passant par l’origine, , comme indiqué sur le graphique.
On peut tourner cette droite entre et d’une rotation complète autour de l’axe des pour former un cône de rayon et d’hauteur verticale , comme indiqué sur la figure.
On peut calculer l’aire de la section transversale du solide comme suit :
Donc, le volume du solide de révolution est
Ceci est le résultat standard pour le volume d’un cône, comme prévu.
Considérons à présent quelques exemples pour appliquer et approfondir notre compréhension de comment calculer les volumes des solides de révolution en utilisant les méthodes du disque et de la couronne. Dans le premier exemple, nous allons déterminer le volume d’un solide engendré par une rotation complète d’une région donnée autour de l’axe des . Pour ce faire, nous allons utiliser la méthode du disque.
Exemple 1: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région délimitée par une droite autour de l’axe des 𝑥
Considérez la région délimitée par les courbes , , et . Déterminez le volume du solide de révolution créé en tournant cette région autour de l’axe des .
Réponse
Dans cet exemple, on veut calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région particulière autour de l’axe des .
On peut visualiser la région délimitée par les courbes , , et comme suit :
Le solide de révolution engendré en tournant cette région autour de l’axe des est un tronc de cône.
Étant donné qu’on a tourné la région autour de l’axe des , le volume est défini par
La forme en coupe verticale de notre solide sera un disque, et le rayon, , de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point, . Ainsi, l’aire de la section transversale est
Les bornes de l’intégrale, et , sont déterminées par les bornes verticales de dans la région délimitée par les courbes, ; on peut également visualiser cela à partir de la représentation graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a et , et le volume du solide de révolution est
Ainsi, le volume du solide de révolution est
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer le volume engendré par la rotation d’une région délimitée par une fonction radicale et d’autres droites, par rapport à l’axe des . Pour ce faire, nous allons utiliser la méthode du disque.
Exemple 2: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation de la région sous la courbe d’une fonction racine autour de l’axe des 𝑥
Déterminez le volume du solide obtenu en tournant la région délimitée par la courbe et les droites et autour de l’axe des .
Réponse
Dans cet exemple, on veut calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région particulière autour de l’axe des .
On peut représenter la région délimitée par la courbe et les droites et comme suit :
Le solide de révolution formé en tournant cette région autour de l’axe des est comme suit :
Étant donné qu’on tourne cette région autour de l’axe des , le volume est
La forme en coupe verticale de notre solide sera un disque, et le rayon de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point, . Ainsi, l’aire de la section transversale est définie par
Les bornes de l’intégrale, et , sont déterminées par les bornes verticales de dans cette région. La borne supérieure est et la borne inférieure est déterminée par l’intersection des courbes et , qui est ; on peut également visualiser cela à partir de la représentation graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a et , et le volume du solide de révolution est
Ainsi, le volume du solide engendré est
Considérons à présent un exemple dans lequel nous devons trouver le volume d'un solide engendré par la rotation d’une région délimitée par une parabole autour de l’axe des . Pour ce faire, nous allons utiliser la méthode du disque.
Exemple 3: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation de la région délimitée par une parabole autour de l’axe des 𝑥
Déterminez le volume du solide engendré en tournant la région délimitée par la courbe et l’axe des d’une rotation complète autour de l’axe des .
Réponse
Dans cet exemple, on veut calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région particulière autour de l’axe des .
On peut visualiser la région délimitée par la courbe et l’axe des comme suit :
Le solide de révolution formé en tournant cette région autour de l’axe des est comme suit :
Étant donné qu’on tourne cette région autour de l’axe des , le volume est défini par
La forme en coupe transversale de notre solide sera un disque, et le rayon de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point, . Ainsi, l’aire de la section transversale est
Les bornes de l’intégrale, et , sont déterminées par les bornes verticales de dans cette région, ce qui, dans ce cas, se produit lorsque la courbe croise l’axe des ou quand :
Les solutions sont et , qui peuvent aussi être reprèsentées sur le graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a et , et le volume du solide de révolution est
Ainsi, le volume du solide engendré est
Considérons à présent un exemple dans lequel nous allons déterminer le volume d’un solide de révolution, mais cette fois tourné autour de l’axe des . Pour ce faire nous allons utiliser la méthode du disque.
Exemple 4: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région délimitée par des droites autour de l’axe des 𝑦
Déterminez le volume du solide engendré en tournant, d’une rotation complète autour de l’axe des , la région délimitée par les droites , , et .
Réponse
Dans cet exemple, on veut calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région donnée autour de l’axe des .
On peut représenter la région délimitée par les courbes et les droites , et comme suit :
Le solide de révolution formé en tournant cette région autour de l’axe des ressemble à un cône.
Étant donné qu’on a tourné cette région autour de l’axe des , le volume est défini par
La forme en coupe horizontale de notre solide sera un disque, et le rayon de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point, . Ainsi, l’aire de la section transversale est
Les bornes de l’intégrale, et , sont déterminées par les bornes horizontales de dans la région, ; cela peut aussi être visualisé à partir de la représentation graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a et , et le volume du solide de révolution est défini par
Ainsi, le volume du solide engendré est
Le volume d’un solide engendré en tournant la région délimitée par et sur l’intervalle , où , autour de l’axe des est
De même, le volume d’un solide engendré en tournant la région délimitée par et sur l’intervalle , où , autour de l’axe des est
Ceci est également connu comme la méthode de la couronne autour de l’axe des ou de la droite verticale , qui peut être représentée comme :
Nous allons commencer par déterminer le volume d’un solide engendré en tournant une région délimitée par deux fonctions de polynômiales de degrés 2 et 4, autour de l’axe des .
Exemple 5: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation de la région délimitée par une parabole et la courbe d’une fonction puissance autour de l’axe des 𝑦
Calculez le volume du solide obtenu en tournant la région délimitée par les courbes et autour de l’axe des .
Réponse
Dans cet exemple, on veut calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région particulière autour de l’axe des .
On peut représenter la région délimitée par les courbes et comme suit :
Le solide de révolution formé en tournant autour de l’axe des est comme suit :
Et le solide formé par est comme suit :
Ainsi, le solide de révolution formé en tournant la région délimitée par ces courbes autour de l’axe des est comme suit :
Étant donné qu’on a tourné cette région autour de l’axe des , le volume est défini par
La forme de section transversale de chaque solide sera une couronne, et le rayon de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point, et . Ainsi, la différence entre les aires du plus grand disque et du plus petit disque est
Les bornes de l’intégrale, et , sont déterminées par les bornes horizontales de dans la région, qui dans ce cas sont les valeurs de aux points d’intersection des deux courbes :
La solution est et , et les deux courbes se croisent aux points et ; on peut également visualiser cela à partir de la représentation graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a et , et le volume du solide de révolution est
Ainsi, le volume du solide engendré est
Considérons à présent un exemple dans lequel nous devons trouver le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région délimitée par deux courbes, une parabole et une droite, autour de l’axe des . Pour ce faire nous allons utiliser la méthode de la couronne.
Exemple 6: Déterminer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région délimitée par une parabole et une droite autour de l’axe des 𝑦
Déterminez le volume du solide obtenu en tournant la région délimitée par la courbe et la droite autour de l’axe des .
Réponse
Dans cet exemple, on veut calculer le volume du solide engendré par la rotation d’une région particulière autour de l’axe des .
On peut représenter la région délimitée par la courbe et la droite comme suit :
Le solide de révolution formé en tournant autour de l’axe des est comme suit :
Et le solide formé par est comme suit :
Ainsi, le solide de révolution formé en tournant la région délimitée par ces courbes autour de l’axe des est comme suit :
Étant donné qu’on a tourné la région autour de l’axe des , le volume est défini par
La forme en coupe horizontale de notre solide sera une couronne, et le rayon de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point, et . Ainsi, l’aire de la section transversale est
Les bornes de l’intégrale, et , sont déterminées par les bornes horizontales de dans la région où, dans ce cas, les deux courbes se croisent :
Les solutions sont et , et les deux courbes se croisent aux points et ; on peut également visualiser cela à partir de la représentation graphique de la région délimitée par les courbes. Ainsi, on a et , et le volume du solide de révolution est défini par
Ainsi, le volume du solide engendré est
Points clés
- Méthode du disque : Lorsque la courbe d’une seule fonction est tournée autour d’un axe, la section du solide sera un disque, et le rayon, , de chaque disque sera la valeur de la fonction en ce point. L’aire de la section transversale est déterminée par .
Le volume du solide formé en tournant la région délimitée par la courbe et l’axe des entre et autour de l’axe des est défini par De même, le volume du solide formé en tournant la région délimitée par la courbe et l’axe des entre et autour de l’axe des est défini par - Méthode de la couronne : Lorsque les courbes de deux fonctions sont tournées autour d’un axe, la forme de la section transversale de chaque solide engendré sera une couronne, et les rayons, et , seront les valeurs de chacune des fonctions à ce point. L’aire de la section transversale est déterminée en soustrayant l’aire interne de l’aire externe comme suit : .
Le volume d’un solide engendré en tournant la région délimitée par et entre et , où , autour de l’axe des est De même, le volume d’un solide engendré en tournant la région délimitée par et entre et , où , autour de l’axe des est - Les bornes des intégrales sont déterminées par les bornes verticales ou horizontales de ou , respectivement, en fonction de l’axe de rotation et de la région délimitée par les courbes.
