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Vidéo de la leçon: Volume d’un solide de révolution à l’aide des méthodes des disques et des couronnes Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le volume d’un solide généré par rotation d’une région plane autour d’une droite horizontale ou verticale à l’aide de l’intégration.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le volume d’un solide généré par rotation de 360 degrés autour d’un axe d’une région entre une courbe et un axe ou entre deux courbes. Nous allons apprendre à calculer ces volumes en utilisant des méthodes de calcul appelées méthode des disque et méthode des couronnes. Et il est donc important que vous soyez familier avec l’application des différentes méthodes d’intégration des fonctions polynômes avant de passer à cette vidéo.

Commençons par considérer une courbe d’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Imaginez à présent que nous faisons pivoter de 360 degrés autour de l’axe des abscisses la partie de la courbe entre les droites verticales 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏. La courbe délimiterait alors la surface d’un solide lors de sa rotation. Dans ce cas, cette surface ressemble un peu à la surface courbe d’un vase, par exemple. Le solide créé est appelé un solide de révolution, pour des raisons assez évidentes. Par exemple, si la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 correspond à une droite horizontale, alors le solide engendré est un cylindre. Et si la fonction est représentée par un demi-cercle, alors le solide est une sphère.

Évidemment, nous savons déjà comment calculer les volumes de ces figures en trois dimensions. Mais comment peut-on calculer le volume d’un solide de révolution quelconque ? Nous pourrions estimer le volume en divisant la région en plusieurs cylindres. C’est un peu l’équivalent du calcul d’une somme de Riemann à droite mais en trois dimensions. Nous pourrions, par exemple, diviser la région en quatre sous-intervalles et calculer le volume de chaque cylindre créé. Et, bien sûr, la formule que nous utiliserions ici est la formule du volume d’un cylindre. Il est égal à l’aire de sa section transversale multipliée par sa hauteur.

On définit alors la fonction 𝐴 de 𝑥, qui représente l’aire de la section transversale de chaque cylindre, et Δ𝑥 pour la longueur de chacun des sous-intervalles, correspondant à la hauteur de chaque cylindre. Cela signifie qu’une estimation du volume total du solide de révolution est égale à la somme des volumes de chacun des cylindres. C’est-à-dire la somme des 𝐴 de 𝑥 𝑖 fois Δ𝑥 pour des valeurs de 𝑖 comprises entre un et quatre. On peut plus généralement dire que pour un solide divisé en 𝑛 cylindres, son volume sera approximativement égal à la somme des 𝐴 de 𝑥 𝑖 étoile fois Δ𝑥 pour des valeurs de 𝑖 entre un et 𝑛, où 𝑥 𝑖 étoile est un point d’échantillon dans le sous-intervalle de 𝑥 𝑖 moins un à 𝑥 𝑖.

Maintenant, bien sûr, ce n’est qu’une estimation. Mais plus on augmente le nombre de sous-intervalles, plus les cylindres deviennent courts, et plus l’estimation du volume se rapproche du volume réel du solide de révolution. Lorsque le nombre de sous-intervalles tends vers plus l’infini, la somme tend vers le volume exact du solide de révolution. On peut donc définit le volume comme la limite de cette somme lorsque 𝑛 tend vers plus l’infini. Sachant que la limite d’une somme de Riemann est une intégrale définie, on obtient la définition suivante.

Soit le solide délimité par les droites 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏. Si la section transversale de ce solide dans le plan passant par 𝑥 et perpendiculaire à l’axe des abscisses est 𝐴 de 𝑥 où 𝐴 est une fonction continue, alors le volume de ce solide est égal à la limite lorsque 𝑛 tend vers plus l’infini de la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 des 𝐴 de 𝑥 𝑖 étoile fois Δ𝑥. Mais il est aussi égal à l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous allons maintenant voir comment appliquer cette formule.

On considère la région délimitée par les courbes 𝑦 égale 𝑥 plus quatre, 𝑦 égale zéro, 𝑥 égale zéro et 𝑥 égale trois. Calculez le volume du solide de révolution créé par rotation de cette région autour de l’axe des abscisses.

On rappelle que pour calculer le volume d’un solide de révolution pour une région pivotée autour de l’axe des abscisses, on peut utiliser la définition suivante. Pour le solide situé entre les droites verticales 𝑥 égale 𝑎 et 𝑥 égale 𝑏, dont l’aire de la section transversale dans le plan passant par 𝑥 et perpendiculaire à l’axe des abscisses est 𝐴 de 𝑥 pour une fonction continue 𝐴, le volume de ce solide est égal à l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Nous allons donc commencer par définir les différents paramètres de cette question. Le solide est délimité par les droites verticales 𝑥 égale zéro et 𝑥 égale trois, on peut donc poser 𝑎 égal à zéro et 𝑏 égal à trois. La région est également délimitée par les courbes 𝑦 égale 𝑥 plus quatre et 𝑦 égale zéro. Donc cette région doit ressembler à quelque chose comme ça. En faisant pivoter cette région autour de l’axe des abscisses, on obtient le solide s’affichant à l’écran. Chaque section transversale de ce solide est un disque. Et l’aire de chaque disque est égale à 𝜋 fois son rayon au carré.

Mais le rayon de chaque disque est en réalité égal à la valeur de la fonction en ce point. Par conséquent, la fonction de son aire, 𝐴 de 𝑥, est égale à 𝜋 fois 𝑥 plus quatre au carré. Notre volume est donc égal à l’intégrale entre zéro et trois de 𝜋 fois 𝑥 plus quatre au carré par rapport à 𝑥. Puisque 𝜋 est une constante, on peut la sortir de l’intégrale et réécrire le volume par 𝜋 fois l’intégrale entre zéro et trois de 𝑥 plus quatre au carré d𝑥. Nous avons à présent deux choix ici. Nous pouvons effectuer un changement de variable ou nous pouvons développer l’expression à l’intérieur de l’intégrale. Utilisons donc un changement de variable.

Soit 𝑢 égal à 𝑥 plus quatre. Il s’agit de la partie interne de la fonction composée. En dérivant 𝑢 par rapport à 𝑥, on obtient simplement un. Maintenant, bien que d𝑢 sur d𝑥 ne soit pas une fraction, on peut la traiter comme si c’était le cas. Et cela signifie que l’on peut reformuler ceci par d𝑢 égale d𝑥. On remplace ensuite 𝑥 plus quatre par 𝑢 et d𝑥 par d𝑢 dans l’intégrale. Nous devons cependant modifier les bornes de l’intégrales. On utilise pour cela la définition 𝑢 égale 𝑥 plus quatre. La borne inférieure est 𝑥 égale zéro. Donc, 𝑢 est égal à zéro plus quatre, ce qui fait quatre. Et la borne supérieure est 𝑥 égale trois. Donc, 𝑢 est égal à trois plus quatre, ce qui fait sept.

Nous sommes donc maintenant prêts à calculer le volume, qui est égal à 𝜋 fois l’intégrale entre quatre et sept de 𝑢 au carré par rapport à 𝑢. On sait que l’on peut intégrer une fonction polynôme dont l’exposant est différent de moins un en ajoutant un à l’exposant, puis en divisant par cette nouvelle valeur. On a donc 𝜋 fois 𝑢 au cube sur trois entre quatre et sept. C’est-à-dire 𝜋 fois sept au cube sur trois moins quatre au cube sur trois, ce qui devient 𝜋 fois 279 sur trois. Et 279 divisé par trois égale 93. Par conséquent, le volume obtenu par rotation de la région autour de l’axe des abscisses est de 93𝜋 unités cubes.

Remarquez comment nous avons utilisé la formule de l’aire d’un disque pour nous aider à calculer ce volume. Le rayon de chaque disque était en effet égal à la valeur de la fonction en ce point. C’est pour cela que la formule du volume d’un solide de révolution obtenu par rotation d’une région autour de l’axe des abscisses est parfois écrite comme l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝜋 fois 𝑦 au carré d𝑥. Ces définitions sont équivalentes, mais cette dernière peut être beaucoup plus facile à utiliser. Et il est intéressant de savoir que l’on peut également utiliser une version légèrement modifiée de cette formule pour calculer l’aire d’un solide de révolution obtenu par rotation d’une courbe autour de l’axe des ordonnées.

Dans ce cas, les rôles de 𝑥 et 𝑦 sont échangés. On recherche une équation de la forme 𝑥 égale 𝑓 de 𝑦 plutôt que 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. De même, les bornes doivent être définies en fonction de 𝑦 par 𝑦 égale 𝑐 et 𝑦 égale 𝑑. La formule du volume devient alors l’intégrale entre 𝑐 et 𝑑 de 𝐴 de 𝑦 par rapport à 𝑦 où 𝐴 de 𝑦 est la fonction décrivant l’aire de la section transversale du solide, ce qui est égal à l’intégrale entre 𝑐 et 𝑑 de 𝜋 fois 𝑥 au carré d𝑦. Voyons maintenant une application de cette dernière formule.

Calculez le volume du solide généré par une révolution complète autour de l’axe des ordonnées de la région délimitée par la courbe neuf 𝑥 moins 𝑦 égale zéro et les droites 𝑥 égale zéro, 𝑦 égale moins neuf et 𝑦 égale zéro.

On rappelle que lorsque que l’on fait pivoter une région délimitée par une courbe 𝑥 égale une fonction de 𝑦 et les droites horizontales 𝑦 égale 𝑐 et 𝑦 égale 𝑑 autour de l’axe des ordonnées, le volume du solide obtenu est égal à l’intégrale entre 𝑐 et 𝑑 de 𝜋 fois 𝑥 au carré d𝑦. Dans notre cas, les droites horizontales qui nous intéressent sont 𝑦 égale moins neuf et 𝑦 égale zéro. On définit donc 𝑐 égal à moins neuf et 𝑑 égal à zéro. La région est également délimitée par la courbe neuf 𝑥 moins 𝑦 égale zéro et par 𝑥 égale zéro. Mais 𝑥 doit être une fonction de 𝑦. On isole donc 𝑥 et on trouve que l’équation est équivalente à 𝑥 égale 𝑦 sur neuf. Il s’agit de cette région. Et elle ressemble à peu près à ceci lorsqu’on la fait pivoter autour de l’axe des ordonnées.

En substituant toutes les valeurs connues dans la formule du volume, on trouve qu’il est égal à l’intégrale entre moins neuf et zéro de 𝜋 fois 𝑦 sur neuf au carré d𝑦. On sort ensuite la constante 𝜋 de l’intégrale et on développe l’expression dans l’intégrale. La fonction à intégrer est donc maintenant 𝑦 au carré sur 81. Et on peut à ce stade également sortir le facteur un sur 81 de l’intégrale. On sait alors que pour intégrer une fonction polynôme dont l’exposant est différent de moins un, on ajoute un à cet exposant, puis on divise par la nouvelle valeur. Donc, l’intégrale de 𝑦 au carré est 𝑦 au cube sur trois.

Notre volume est alors égal à 𝜋 sur 81 fois zéro au cube sur trois moins moins neuf au cube sur trois. Mais, bien sûr, zéro au cube sur trois égale zéro. On peut ensuite choisir d’écrire moins neuf au cube comme moins neuf fois moins neuf au carré, soit moins neuf fois 81. Et cela signifie que l’on peut maintenant simplifier en annulant le facteur commun 81. Puis, moins moins neuf divisé par trois est simplement égal à trois. Par conséquent, le volume du solide généré par la rotation de cette région autour de l’axe des ordonnées est de trois 𝜋 unités cubes.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment appliquer ces techniques pour la méthode dite des couronnes.

Calculez le volume du solide obtenu par rotation de la région délimitée par les courbes 𝑥 égale six moins cinq 𝑦 au carré et 𝑥 égale 𝑦 puissance quatre autour de l’axe des ordonnées.

Dans cet exemple, nous cherchons à calculer le volume du solide obtenu en faisant tourner une région délimitée par deux courbes autour de l’axe des ordonnées. On peut donc rappeler que le volume obtenu par rotation d’une région autour de l’axe des ordonnées, dont l’aire de la section transversale est définie par la fonction 𝐴 de 𝑦, est égal à l’intégrale entre 𝑐 et 𝑑 de 𝐴 de 𝑦 par rapport à 𝑦. On peut également l’écrire comme l’intégrale entre 𝑐 et 𝑑 de 𝜋 fois 𝑥 au carré d𝑦. Pour nous aider à visualiser ce qui se passe, nous allons commencer par représenter l’aire délimitée par les deux courbes.

La courbe représentative de 𝑥 égale six moins cinq 𝑦 au carré ressemble à ceci. Et 𝑥 égale 𝑦 puissance quatre ressemble à ceci. Donc voici la région que nous allons faire pivoter autour de l’axe des ordonnées. En résolvant le système d’équations 𝑥 égale 𝑦 puissance quatre et 𝑥 égale six moins cinq 𝑦 au carré ou en utilisant un logiciel ou une calculatrice, on trouve que ces courbes se coupent aux points où 𝑦 est égal à un et où 𝑦 est égal à moins un. Lorsque l’on fait ensuite pivoter cette région autour de l’axe des ordonnées, on obtient cette forme de donut plutôt inhabituelle. On peut également dire qu’elle ressemble à un anneau.

L’aire de la section transversale de l’anneau sera égale à l’aire du disque extérieur moins l’aire du disque intérieur. Maintenant, puisque l’aire d’un disque est égale à 𝜋 fois le rayon au carré et que le rayon de chaque disque est égal à la valeur de la fonction en ce point, l’aire de la section transversale 𝐴 de 𝑦 est 𝜋 fois six moins cinq 𝑦 au carré au carré moins 𝜋 fois 𝑦 puissance quatre au carré. Avec ces informations, on peut calculer à présent le volume comme suit. On sort le facteur 𝜋 de l’intégrale et on développe les expressions dans l’intégrale. La fonction à intégrer devient ainsi 36 moins 60𝑦 au carré plus 25𝑦 puissance quatre moins 𝑦 puissance huit. Et on peut l’intégrer terme par terme.

L’intégrale de 36 est 36𝑦. En intégrant moins 60𝑦 au carré, on obtient moins 60𝑦 au cube divisé par trois, ce qui se simplifie par moins 20𝑦 au cube. L’intégrale de 25𝑦 puissance quatre est 25𝑦 puissance cinq divisé par cinq, ce qui se simplifie par cinq 𝑦 puissance cinq. Et enfin, l’intégrale de moins 𝑦 puissance huit est moins 𝑦 puissance neuf sur neuf. On substitue ensuite un et moins un dans cette expression. Puis, on calcule 36 moins 20 plus cinq moins un sur neuf moins moins 36 plus 20 moins cinq plus un sur neuf. Cela nous donne 376 sur neuf. Par conséquent, le volume du solide obtenu par rotation de cette région autour de l’axe des ordonnées est de 376 sur neuf 𝜋 unités cubes.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment calculer le volume du solide obtenu par rotation d’une région autour d’une droite parallèle à un axe.

On considère la région délimitée par les courbes 𝑦 égale 𝑥 au cube, 𝑦 égale zéro et 𝑥 égale deux. Calculez le volume du solide obtenu en faisant pivoter cette région autour de l’axe 𝑥 égale trois.

Nous savons que lorsque l’on pivote une région délimitée par une courbe et les droites horizontales 𝑦 égale 𝑐 et 𝑦 égale 𝑑 autour de l’axe des ordonnées, on peut calculer son volume par l’intégrale entre 𝑐 et 𝑑 de 𝐴 de 𝑦 par rapport à 𝑦, où 𝐴 de 𝑦 est la fonction décrivant l’aire de la section transversale du solide. Dessiner un schéma de ce qui se passe pourra donc certainement nous aider. On a les courbes 𝑦 égale 𝑥 au cube, 𝑦 égale zéro et une droite verticale en 𝑥 égale deux. Cela nous donne cette région que nous cherchons à faire pivoter. Cette fois cependant, nous ne faisons pas pivoter la région autour de l’axe des ordonnées mais autour d’une droite parallèle à celui-ci. Il s’agit de la droite d’équation 𝑥 égale trois.

Et en faisant tourner la région autour de cette droite, on obtient cette forme. Ce solide ressemble à un anneau. Et on peut dire que l’aire de la section transversale du solide est égale à l’aire du disque extérieur, le plus grand, moins l’aire du disque intérieur. L’aire d’un disque est 𝜋 fois le rayon au carré. On commence donc par reformuler l’équation de la courbe par 𝑥 en fonction de 𝑦, ce qui donne 𝑥 égale racine cubique de 𝑦. Le rayon du grand cercle est alors égal à la différence entre la fonction 𝑥 égale racine cubique de 𝑦 et la fonction 𝑥 égale trois. Ce qui donne 𝜋 fois racine cubique de 𝑦 moins trois, le tout au carré.

De même, le rayon du petit cercle est égal à la différence entre trois et deux. Donc, l’aire de la section transversale est égale à 𝜋 fois racine cubique de 𝑦 moins trois au carré moins 𝜋 fois trois moins deux au carré. On peut reformuler la racine cubique de 𝑦 par 𝑦 puissance un sur trois. Et on simplifie trois moins deux par un. On peut ensuite trouver les bornes de l’intégrale en considérant les équations des droites horizontales qui délimitent notre région. On sait que la borne inférieure est 𝑦 égale zéro. Et la borne supérieure est le point d’intersection entre la courbe 𝑦 égale 𝑥 au cube et 𝑥 égale deux. Ce qui donne 𝑦 égale huit.

On sort à présent le facteur 𝜋 de l’intégrale. Puis, on développe l’expression. La fonction à intégrer devient ainsi 𝑦 puissance deux sur trois moins six 𝑦 puissance un sur trois plus neuf moins un. Et, bien sûr, neuf moins un est tout simplement huit. On intègre ensuite en augmentant l’exposant de chaque terme d’un, puis en divisant par cette nouvelle valeur. On obtient alors 𝜋 fois trois sur cinq fois 𝑦 puissance cinq sur trois moins 18 sur quatre fois 𝑦 puissance quatre sur trois plus huit 𝑦. On substitue ensuite les bornes 𝑦 égale zéro et 𝑦 égale huit. Enfin, on simplifie. Par conséquent le volume du solide obtenu par rotation de cette région autour de la droite 𝑥 égale trois est de 56𝜋 sur cinq unités cubes.

Dans cette vidéo, nous avons appris que l’on peut calculer le volume d’un solide de révolution obtenu par rotation d’une région autour de l’axe des abscisses en utilisant une de ces deux formules. La première est l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 par rapport à 𝑥, où 𝐴 de 𝑥 est une fonction continue décrivant l’aire de la section transversale du solide. La seconde formule est l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝜋 fois 𝑦 au carré d𝑥. Pour les régions pivotées autour de l’axe des ordonnées, on utilise les formules 𝑉 égale l’intégrale entre 𝑐 et 𝑑 de 𝐴 de 𝑦 par rapport à 𝑦. Ou, l’intégrale entre 𝑐 et 𝑑 de 𝜋 fois 𝑥 au carré d𝑦. Enfin, nous avons vu que l’on peut utiliser la méthode des couronnes pour calculer le volume d’un solide engendré par la rotation d’une région délimitée par deux courbes autour d’un axe ou d’une droite parallèle à un axe.

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