Vidéo : Volumes de solides de révolution à l’aide des méthodes des disques et des couronnes

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver le volume d’un solide généré en faisant tourner une région autour d’une droite horizontale ou verticale en utilisant les méthodes des disques et des couronnes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le volume d’un solide créé en faisant pivoter une région entre une courbe et un axe ou entre deux courbes autour d’un axe de 360 degrés. Nous allons apprendre à trouver ces volumes à l’aide de méthodes de calcul appelées méthodes des disques et des couronnes. Et il est donc important que vous ayez confiance dans l’application des différentes méthodes d’intégration des fonctions polynomiales avant d’accéder à cette vidéo.

Supposons que nous ayons une courbe donnée par l’équation 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Maintenant, imaginez que nous faisons pivoter la partie de la courbe entre les droites verticales 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏 autour de l’axe des 𝑥 de 360 degrés. La courbe tracerait la surface d’un solide pendant sa rotation. Dans ce cas, cela pourrait ressembler un peu à la surface incurvée d’un vase, par exemple. Le solide créé est appelé un solide de révolution, pour des raisons assez évidentes. Et donc, si la fonction 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥 nous a donné une droite horizontale, le solide serait un cylindre. Si la fonction nous donnait un demi-cercle, alors le solide serait une sphère.

Maintenant, nous savons trouver les volumes de ces formes tridimensionnelles. Mais comment calculer le volume d’un solide de révolution ? Nous pourrions estimer le volume en divisant la région en deux cylindres ou disques. C’est un peu comme une version en trois dimensions de trouver une bonne somme de Riemann. Nous pourrions, par exemple, diviser la région en quatre sous-intervalles et trouver le volume de chaque cylindre créé. Et, bien sûr, la formule que nous utiliserions ici est la formule pour le volume d’un cylindre. C’est l’aire de sa section multipliée par sa hauteur.

Nous allons poser la fonction 𝐴 de 𝑥 égale à l’aire de la section transversale de chaque cylindre, fois la largeur de chacun de nos sous-intervalles, et donc la longueur de chaque cylindre, peut être Δ𝑥. Cela signifie qu’une estimation du volume total créé par le solide de révolution est la somme du volume de chacun de nos disques. C’est la somme de 𝐴 𝑥 𝑖 étoile fois Δ𝑥 pour des valeurs de 𝑖 comprises entre un et quatre. On peut plus généralement dire que pour un solide à diviser en 𝑛 disques, son volume sera approximativement égal à la somme de 𝐴 𝑥 𝑖 étoile fois Δ𝑥 pour des valeurs de 𝑖 entre un et 𝑛, où 𝑥 𝑖 étoile est un point d’échantillon dans le sous-intervalle de 𝑥 𝑖 moins un à 𝑥 𝑖.

Maintenant, bien sûr, ce n’est qu’une estimation. Mais il s’ensuit qu’à mesure que nous augmentons le nombre de sous-intervalles, les cylindres deviennent de plus en plus courts, et l’estimation du volume se rapproche de plus en plus du volume réel du solide de révolution. À mesure que le nombre de sous-intervalles s’approche de la limite, la somme se rapproche du volume exact du solide de révolution. Et nous définissons donc le volume comme la limite des sommes à mesure que 𝑛 approche ∞. En reconnaissant la limite d’une somme de Riemann comme une intégrale définie, nous obtenons la définition suivante.

Nous prenons le solide délimité entre les droites 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏. Si la section transversale de ce solide dans le plan passant par 𝑥 et perpendiculaire à l’axe des 𝑥 est 𝐴 de 𝑥 où 𝐴 est une fonction continue, alors le volume est égal à la limite lorsque 𝑛 approche ∞ de la somme de 𝑖 égale un à 𝑛 de 𝐴 de 𝑥 𝑖 étoile fois Δ𝑥. Mais c’est également égal à l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous allons maintenant examiner l’application de cette formule.

Considérez la région délimitée par les courbes 𝑦 est égal à 𝑥 plus quatre, 𝑦 est égal à zéro, 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à trois. Déterminez le volume du solide de révolution créé en faisant tourner cette région autour de l’axe des 𝑥.

Rappelez-vous, pour trouver le volume d’un solide de révolution pour une région tournée autour de l’axe des 𝑥, nous utilisons la définition suivante. Pour le solide qui se situe entre les droites verticales 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏, dont la section transversale dans le plan passant par 𝑥 et perpendiculaire à l’axe des 𝑥 est 𝐴 de 𝑥 pour une fonction continue 𝐴, le volume de ce solide est donnée par l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Nous allons donc commencer par définir les différents éléments de notre question. Le solide est délimité par les droites verticales 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 est égal à trois, nous allons donc poser 𝑎 égal à zéro et 𝑏 égal à trois. La région est également délimitée par les courbes 𝑦 est égal à 𝑥 plus quatre et 𝑦 est égal à zéro. Et donc, la région elle-même pourrait ressembler à quelque chose comme ça. En faisant tourner cette région autour de l’axe des 𝑥, nous obtenons une forme tridimensionnelle comme indiqué. La forme en coupe de notre solide sera un cercle. Et l’aire de chaque cercle sera donnée par 𝜋 fois rayon au carré.

Maintenant, le rayon de chaque cercle sera la valeur de la fonction en ce point. Et donc, la fonction de son aire, 𝐴 de 𝑥, est 𝜋 fois 𝑥 plus quatre le tout au carré. Notre volume est donc égal à l’intégrale définie entre zéro et trois de 𝜋 fois 𝑥 plus quatre le tout au carré par rapport à 𝑥. Puisque 𝜋 est une constante, nous pouvons la prendre en dehors de notre intégrale et réécrire le volume comme 𝜋 fois l’intégrale définie entre zéro et trois de 𝑥 plus quatre le tout au carré d𝑥. Maintenant, nous avons deux choix ici. Nous pourrions utiliser l’intégration par changement de variable ou nous pourrions distribuer les parenthèses pour évaluer notre intégrale définie. Utilisons l’intégration par changement de variable.

On laisse 𝑢 égal à 𝑥 plus quatre. C’est la partie intérieure de notre fonction composite. Dériver 𝑢 par rapport à 𝑥, et nous en obtenons simplement un. Maintenant, alors que d 𝑢 par d𝑥 n’est pas une fraction, nous la traitons un peu comme une. Et cela signifie que nous pouvons alternativement écrire ceci comme d 𝑢 est égal à d𝑥. On remplace alors plus quatre par 𝑢 et d𝑥 par d 𝑢. Nous allons cependant devoir faire quelque chose avec nos limites. Nous utilisons notre substitution ; c’est 𝑢 est égal à 𝑥 plus quatre. Notre limite inférieure est lorsque 𝑥 est égal à zéro. Donc, 𝑢 est égal à zéro plus quatre, ce qui est égal à quatre. Notre limite supérieure est lorsque 𝑥 est égal à trois. Donc, 𝑢 est égal à trois plus quatre, ce qui est sept.

Et nous sommes maintenant prêts à évaluer le volume, 𝜋 fois l’intégrale définie entre quatre et sept de 𝑢 au carré par rapport à 𝑢. Nous savons que nous pouvons intégrer un terme polynomial dont l’exposant n’est pas égal à moins un en ajoutant un à l’exposant puis en le divisant par cette nouvelle valeur. Donc, nous avons 𝜋 fois 𝑢 au cube sur trois entre quatre et sept. C’est 𝜋 fois sept au cube sur trois moins quatre au cube sur trois, ce qui devient 𝜋 fois 279 sur trois. 279 divisé par trois est 93. Ainsi, nous trouvons que le volume obtenu lorsque nous faisons pivoter notre région autour de l’axe des 𝑥 est de 93𝜋 unités cubiques.

Remarquez comment nous utilisons la formule pour l’aire d’un cercle pour nous aider à évaluer notre volume. Nous avons dit que le rayon de chaque cercle était donné par la valeur de la fonction en ce point. Ainsi, pour cette raison, la formule du volume d’un solide de révolution obtenue en faisant tourner une surface autour de l’axe des 𝑥 est parfois écrite comme l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝜋 fois 𝑦 au carré d𝑥. Ces définitions sont interchangeables, mais cette dernière peut être beaucoup plus agréable à utiliser. Et de façon intéressante, nous pouvons également utiliser une version légèrement modifiée de cette formule pour nous aider à calculer l’aire d’un solide de révolution obtenue en faisant tourner une courbe autour de l’axe des 𝑦.

Cette fois, nous cherchons à échanger les rôles de 𝑥 et 𝑦. Nous voulons donner l’équation comme 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑦 plutôt que 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥. De même, les limites doivent être données en termes de 𝑦 comme 𝑦 est égal à 𝑐 et 𝑦 est égal à 𝑑. Ensuite, notre formule pour le volume devient soit l’intégrale définie entre 𝑐 et 𝑑 de 𝐴 de 𝑦 par rapport à 𝑦 où, bien sûr, 𝐴 de 𝑦 est notre fonction qui décrit l’aire de la section transversale de notre solide, ou la définie intégrale entre 𝑐 et 𝑑 de 𝜋 fois 𝑥 au carré d𝑦. Voyons maintenant une application de cette dernière formule.

Trouvez le volume du solide généré en tournant, à travers une révolution complète autour de l’axe des 𝑦, la région délimitée par la courbe neuf 𝑥 moins 𝑦 est égal à zéro et les droites 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à moins neuf et 𝑦 est égal à zéro.

Rappelez-vous, lorsque nous faisons pivoter une région délimitée par une courbe 𝑥 est égal à une fonction de 𝑦 et les droites horizontales 𝑦 est égal à 𝑐 et 𝑦 est égal à 𝑑 autour de l’axe des 𝑦, nous utilisons la formule l’intégrale définie entre 𝑐 et 𝑑 de 𝜋 fois 𝑥 au carré d𝑦. Dans notre cas, les droites horizontales qui nous intéressent sont données par 𝑦 égal à moins neuf et 𝑦 égal à zéro. Donc, nous allons poser 𝑐 égal à moins neuf et 𝑑 égal à zéro. La région qui nous intéresse est délimitée par la courbe neuf 𝑥 moins 𝑦 est égal à zéro et 𝑥 est égal à zéro. Maintenant, nous avons dit que 𝑥 devait être une fonction de 𝑦. Donc, nous faisons de 𝑥 le sujet et nous constatons que notre équation est 𝑥 égale 𝑦 sur neuf. Voilà cette région. Et cela ressemble à quelque chose comme ça quand on le fait pivoter autour de l’axe des 𝑦.

En substituant tout ce que nous savons dans notre formule pour le volume, et nous trouvons qu’il est égal à l’intégrale définie entre moins neuf et zéro de 𝜋 fois 𝑦 sur neuf au carré d𝑦. On retire un facteur constant de 𝜋 et on distribue nos parenthèses. Et nous voyons, notre intégrale est maintenant 𝑦 au carré sur 81. Et en fait à ce stade, il pourrait également être judicieux de supprimer ce facteur commun de 81. Ensuite, nous savons que pour intégrer un terme polynomial dont l’exposant n’est pas égal à trois, nous ajoutons un à cet exposant, puis divisons par la nouvelle valeur. Ainsi, l’intégrale de 𝑦 au carré est 𝑦 au cube sur trois.

Ensuite, notre volume est 𝜋 plus 81 fois zéro cube sur trois moins neuf cube sur trois. Et, bien sûr, zéro au cube sur trois est nul. Nous pourrions alors choisir d’écrire le moins neuf comme moins neuf fois moins neuf au carré ou moins neuf fois 81. Et cela signifie que nous pouvons maintenant simplifier en divisant par 81. Et puis, moins moins neuf divisé par trois est juste trois. Et donc, nous avons constaté que le volume du solide généré par la rotation de notre région sur le 𝑦 axe des 𝑥 est trois 𝜋 unités cubiques.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment appliquer ces techniques dans ce que l’on appelle la méthode des couronnes.

Trouvez le volume du solide obtenu en faisant tourner la région délimitée par les courbes 𝑥 est égal à six moins cinq 𝑦 au carré et 𝑥 est égal à 𝑦 à la puissance quatre autour de l’axe des 𝑦.

Dans cet exemple, nous cherchons à trouver le volume du solide obtenu en faisant tourner une région délimitée par deux courbes autour de l’axe des 𝑦. Ainsi, nous rappelons que le volume obtenu en faisant tourner une région autour de l’axe des 𝑦, dont l’aire en coupe est donnée par la fonction 𝐴 de 𝑦, est l’intégrale définie entre 𝑐 et 𝑑 de 𝐴 de 𝑦 par rapport à 𝑦. Ceci est parfois écrit, alternativement, comme l’intégrale définie entre 𝑐 et 𝑑 de 𝜋 fois 𝑥 au carré d𝑦. Donc, pour nous aider à imaginer ce qui se passe, nous allons commencer par esquisser l’aire délimitée par les deux courbes.

La courbe de 𝑥 égal à six moins cinq 𝑦 au carré ressemble à quelque chose comme ça. Et 𝑥 est égal à 𝑦 à la puissance quatre, comme indiqué. Et donc, c’est la région que nous allons faire tourner autour de l’axe des 𝑦. En résolvant les équations 𝑥 est égal à 𝑦 à la puissance quatre et 𝑥 est égal à six moins cinq 𝑦 au carré simultanément ou en utilisant un logiciel graphique ou une calculatrice, nous trouvons que ces courbes se coupent aux points où 𝑦 est égal à un et 𝑦 est égal à moins un. Ensuite, lorsque nous faisons pivoter cette région autour de l’axe des 𝑦, nous obtenons finalement cette forme d’anneau plutôt inhabituelle. En fait, nous appelons cela un anneau.

L’aire de la section transversale de l’anneau sera égale à l’aire du cercle extérieur moins l’aire du cercle intérieur. Maintenant, puisque l’aire d’un cercle est donnée par 𝜋 fois le rayon au carré et que le rayon de chaque cercle est donné par la valeur de la fonction en ce point, l’aire de la section 𝐴 de 𝑦 est 𝜋 fois six moins cinq 𝑦 au carré au carré moins 𝜋 fois 𝑦 à la puissance quatre au carré. Armé de ces informations, nous constatons que le volume est comme indiqué. Nous supprimons un facteur constant de 𝜋 et distribuons nos parenthèses. Et notre intégrale devient 36 moins 60 𝑦 au carré plus 25 𝑦 à la puissance quatre moins 𝑦 à la huitième puissance. Ensuite, nous intégrons terme par terme.

L’intégrale de 36 est 36 𝑦. Lorsque nous intégrons moins un de 60 𝑦 au carré, nous obtenons moins 60 𝑦 au cube divisé par trois, ce qui simplifie en moins 20 𝑦 au cube. L’intégrale de 25 𝑦 à la puissance quatre est de 25 𝑦 à la puissance cinq divisée par cinq, ce qui simplifie à cinq 𝑦 à la puissance cinq. Et enfin, l’intégrale négative 𝑦 à la huitième puissance est négative 𝑦 à la puissance neuf sur neuf. Nous substituons ensuite un et moins un dans cette expression. Et puis, nous calculons 36 moins 20 plus cinq moins un neuvième moins moins 36 plus 20 moins cinq plus un neuvième. Cela nous donne 376 sur neuf. Et donc, nous constatons que le volume du solide obtenu en faisant tourner notre région autour de l’axe des 𝑦 est de 376 sur neuf unités cubiques 𝜋.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment trouver le volume obtenu en faisant tourner un solide autour d’une droite parallèle à un axe.

Considérez la région délimitée par les courbes 𝑦 est égal à 𝑥 au cube, 𝑦 est égal à zéro et 𝑥 est égal à deux. Trouver le volume du solide obtenu en faisant tourner cette région d’environ 𝑥 est égal à trois.

Nous savons que lorsque nous faisons pivoter une région délimitée par une courbe et que les droites horizontales 𝑦 est égal à 𝑐 et 𝑦 est égal à 𝑑 autour de l’axe des 𝑦, nous utilisons la formule l’intégrale définie entre 𝑐 et 𝑑 de 𝐴 de 𝑦 par rapport à 𝑦, où 𝐴 de 𝑦 est la fonction qui décrit la section transversale de la forme. Donc, cela pourrait aider à dessiner un petit croquis. Nous avons les courbes 𝑦 est égal à 𝑥 au cube, 𝑦 est égal à zéro et une droite verticale à 𝑥 est égale à deux. Et donc, cela nous donne la région que nous cherchons à faire tourner. Cette fois cependant, nous ne tournons pas autour de l’axe des 𝑦 lui-même, mais autour d’une droite parallèle à celui-ci. C’est la droite avec l’équation 𝑥 égale trois.

Et donc, en le faisant tourner autour de cette droite, nous nous retrouverions avec la forme indiquée. Nous appelons cela un anneau ou une couronne. Et nous pouvons dire que l’aire de la section transversale de l’anneau sera donnée par l’aire de l’extérieur, le plus grand cercle moins l’aire du cercle intérieur. L’aire d’un cercle est 𝜋 rayon fois au carré. Et nous allons réécrire l’équation de notre courbe comme 𝑥 en termes de 𝑦, donc c’est égal à la racine cubique de 𝑦. Et nous pouvons dire que le rayon du grand cercle serait la différence entre la valeur de la fonction 𝑥 est égale à la racine cubique de 𝑦 et la fonction 𝑥 est égale à trois. Donc, c’est 𝜋 fois la racine cubique de 𝑦 moins trois le tout au carré.

De même, le rayon de notre petit cercle sera la différence entre trois et deux. Ainsi, l’aire de la section transversale ou la fonction de l’aire de la section transversale est 𝜋 fois la racine cubique de 𝑦 moins trois au carré moins 𝜋 fois trois moins deux au carré. Nous écrivons la racine cubique de 𝑦 comme 𝑦 à la puissance un tiers. Et nous simplifions trois moins deux pour être égal à un. Les limites de notre intégrale définie sont trouvées en considérant les équations des droites horizontales qui délimitent notre région. Nous savons que la plus faible de ces valeurs est 𝑦 est égale à zéro. La limite supérieure est le point d’intersection entre la courbe 𝑦 est égal à 𝑥 au cube et 𝑥 est égal à deux. Donc, c’est huit.

On retire un facteur constant de 𝜋. Et puis, nous distribuons nos parenthèses. On se retrouve avec une intégrale de 𝑦 à la puissance des deux tiers moins six 𝑦 à la puissance un tiers plus neuf moins un. Et, bien sûr, neuf moins un est tout simplement huit. Nous intégrons ensuite en augmentant l’exposant de chaque terme d’un, puis en divisant par cette nouvelle valeur. Ainsi, nous obtenons 𝜋 fois les trois cinquièmes de 𝑦 à la puissance cinq sur trois moins 18 sur quatre fois 𝑦 à la puissance quatre sur trois plus huit 𝑦. Nous substituons ensuite nos limites 𝑦 est égal à zéro et 𝑦 est égal à huit pouces. Enfin, nous simplifions. Et nous constatons que le volume du solide obtenu en faisant tourner notre région autour de la droite 𝑥 est égal à trois est 56𝜋 sur cinq unités cubiques.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons trouver le volume d’un solide de révolution obtenu en faisant tourner une région autour de l’axe des 𝑥 en utilisant l’une des deux formules. La première est que 𝑉 est égal à l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝐴 de 𝑥 par rapport à 𝑥, où 𝐴 de 𝑥 est une fonction continue qui décrit la section transversale du solide. Alternativement, nous utilisons la formule l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de 𝜋 fois 𝑦 au carré d𝑥. Pour les régions tournées autour de l’axe des 𝑦, nous utilisons les formules 𝑉 égale l’intégrale définie entre 𝑐 et 𝑑 de 𝐴 de 𝑦 par rapport à 𝑦. Ou, l’intégrale définie entre 𝑐 et 𝑑 de 𝜋 fois 𝑥 au carré d𝑦. Enfin, nous avons vu que nous pouvons même utiliser une méthode des couronnes pour trouver un volume créé en faisant tourner une région entre deux courbes autour d’un axe ou une droite parallèle à un axe.

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