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Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins 36 le tout divisé par 𝑥 moins six si 𝑥 est différent de six et 𝑓 de 𝑥 égale 12 si 𝑥 égale six.
On nous demande dans cette question de déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d'une fonction définie par morceaux. Pour commencer, rappelons la définition de l’ensemble de définition et l’ensemble image d'une fonction. Premièrement, l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des points sur lesquels la fonction est définie. L'ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que la fonction peut prendre sur son ensemble de définition. En fait, nous pouvons déterminer l'ensemble image directement à partir de la définition par morceaux de 𝑓 de 𝑥, car 𝑓 de 𝑥 est une fonction définie par morceaux.
Pour calculer l'image d'une valeur de 𝑥 dans cette fonction, nous devons déterminer dans quel sous-domaine appartient cette valeur. Par exemple, on nous indique que si la valeur d'entrée est six, alors l'image sera 12. Six est donc un élément de l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥. De la même manière, si nous entrons une valeur de 𝑥 différente de six, alors la sortie de notre fonction est le nombre au carré moins 36 divisé par le nombre moins six. Nous pouvons donc entrer la valeur de six et nous pouvons entrer toute valeur de 𝑥 différente de six. Cela correspond bien sûr à n'importe quelle valeur réelle de 𝑥. Nous pouvons donc dire que l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 est constitué de tous les nombres réels. Il convient de noter que ce résultat peut être généralisé. Pour n'importe quelle fonction définie par morceaux, l’ensemble de définition de la fonction définie par morceaux est l'union de ses sous-domaines.
Après avoir trouvé l’ensemble de définition de cette fonction, nous devons déterminer son ensemble image. Il peut être difficile de déterminer l'ensemble image d'une fonction définie par morceaux à partir de sa définition. Ainsi, pour cela, nous pouvons tracer la représentation graphique de cette fonction. Nous commençons par tracer nos axes de coordonnées. Il est généralement judicieux de marquer tous les points importants des sous-domaines de notre fonction. Dans notre cas, nous ajouterons 𝑥 égale six sur notre représentation. Il nous faut tracer chaque sous-fonction sur son sous-domaine séparément.
Commençons par la première sous-fonction. Nous avons 𝑥 au carré moins 36 le tout divisé par 𝑥 moins six lorsque 𝑥 est différent de six. Nous voyons qu’il s’agit d’une fonction rationnelle et les fonctions rationnelles sont difficiles à représenter. Essayons donc d'abord de la simplifier. Pour ce faire, nous pouvons factoriser notre numérateur en remarquant qu'il s'agit d'une différence entre deux carrés. Nous savons que 𝑥 au carré moins 36 sera égal à 𝑥 moins six fois 𝑥 plus six. Ainsi, en factorisant le numérateur de notre première sous-fonction, nous obtenons 𝑥 au carré moins 36 le tout divisé par 𝑥 moins six égale 𝑥 moins six fois 𝑥 plus six le tout divisé par 𝑥 moins six.
A présent, nous pouvons remarquer quelque chose d'intéressant. Dans le sous domaine de cette sous fonction, nous n’incluons pas la valeur de 𝑥 égale six. Si 𝑥 est différent de six, alors 𝑥 moins six est différent de zéro. Nous pouvons donc simplifier en haut et en bas par le facteur commun 𝑥 moins six. Puisque 𝑥 moins six est différent de zéro, 𝑥 moins six divisé par 𝑥 moins six est juste égale à un. Il ne reste donc que 𝑥 plus six. En effet, nous pourrions modifier notre sous-fonction pour qu'elle soit simplement 𝑥 plus six, car ces deux fonctions produisent les mêmes valeurs si 𝑥 est différent de six.
Nous désirons représenter cette sous-fonction sur notre figure. Il nous faut représenter 𝑦 égale à 𝑥 plus six, sachant que 𝑥 ne peut pas être égal à six. Il y a plusieurs façons de représenter ça. D'abord, nous notons que l'ordonnée à l'origine 𝑦 de cette droite est six. Nous pouvons alors le marquer sur notre figure. Puis, la droite a un coefficient directeur de un. Ainsi, pour chaque unité que nous déplaçons vers la droite, nous nous déplaçons d'une unité vers le haut. Nous pouvons également trouver les coordonnées de l'intersection avec l'axe des 𝑥. Il suffit pour cela de substituer 𝑦 par zéro dans notre équation et de la résoudre. Nous voyons que l'abscisse 𝑥 de l'intersection avec l'axe des 𝑥 sera moins six.
Cependant, rappelons que notre sous-fonction n'est pas tracée pour la valeur de 𝑥 égale à six. Elle n'est pas dans le sous-domaine de cette sous-fonction. Ainsi, à ce stade, nous devons inclure un cercle creux. Il représente que la fonction n'est pas définie à ce point. Nous pouvons trouver les coordonnées de ce point en substituant 𝑥 égale six dans cette fonction linéaire. Sa coordonnée 𝑦 sera 12.
Cependant, rappelez-vous que nos valeurs d'entrée de 𝑥 sont toutes les valeurs de 𝑥 sauf 𝑥 égale six. Notre droite doit donc continuer à l'infini dans les deux directions. Nous les représentons en utilisant des flèches. Nous avons donc tracé la première sous-fonction de 𝑓 de 𝑥. Il nous reste cependant à représenter la deuxième sous-fonction de 𝑓 de 𝑥. Cette sous-fonction est une valeur constante de 12 en une seule valeur 𝑥 égale six. Le graphe de cette sous-fonction va donc être un seul point, le point de coordonnées six, 12. Il faut l'inclure dans notre graphique. Le point de coordonnées six, 12 doit être inclus dans notre représentation de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Il nous faut donc un gros point à ce point.
Puisque nous avons représenté toutes les sous-fonctions de 𝑓 de 𝑥 sur leur sous-domaine, nous avons réussi à représenter le graphe de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. A présent, nous pouvons remarquer quelque chose d'intéressant. En effet, la fonction 𝑓 de 𝑥 est exactement égale à la fonction 𝑥 plus six pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Cela est dû au fait que le graphique de 𝑓 de 𝑥 est juste la droite 𝑦 égale 𝑥 plus six. Nous pouvons utiliser cela pour déterminer l’ensemble image de notre fonction. L'ensemble image de toute fonction linéaire qui n'est pas horizontale est juste l'ensemble des nombres réels ℝ. Ainsi, l’image de 𝑓 de 𝑥 est constitué de tous les nombres réels.
Notons que nous pouvons également voir cela à partir de notre représentation graphique. Puisque l’ensemble image est l'ensemble des valeurs de sortie de la fonction, celles-ci sont données par les ordonnées de tout point de notre représentation. Par exemple, nous pouvons voir que 12 est inclus dans l’ensemble image de notre fonction, puisqu'il y a un point sur la représentation avec l'ordonnée 𝑦 égale 12. Ceci vrai pour toutes les valeurs réelles. L'ensemble image est donc constitué de toutes les valeurs réelles.
Par conséquent, nous avons pu déterminer l’ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥. L’ensemble de définition est constitué de tous les nombres réels et l'ensemble image est également constitué de tous les nombres réels.
