Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer l’ensemble de définition et l’image d’une fonction définie par morceaux
Nous commençons par rappeler ce que l’on entend par ensemble de définition et image d’une fonction.
Définition : Ensemble de définition et image d’une fonction
L’ensemble de définition (parfois appelé domaine de définition) d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs sur laquelle la fonction est définie.
L’image d’une fonction est l’ensemble des valeurs que peut prendre la fonction sur les points de son ensemble de définition.
L’ensemble de définition nous indique toutes les valeurs « autorisées » pour la fonction. Par exemple, étant donné que l’on ne peut pas évaluer en la fonction , puisque on ne peut pas diviser par zéro, l’ensemble de définition de cette fonction n’inclut pas cette valeur de . Cette fonction étant bien définie pour toute autre valeur de , son ensemble de définition est donc .
L’image d’une fonction est constituée de toutes les valeurs que peut prendre la fonction lorsqu’on l’évalue sur les points de son ensemble de définition. Par exemple, considérons la fonction , qui a pour ensemble de définition . Le carré d’un nombre réel étant nécessairement positif, , cette fonction peut seulement prendre des valeurs réelles positives, mais nous devons vérifier lesquels de ces nombres sont effectivement atteints par la fonction. Pour ce faire, on montre que tout nombre positif est dans l’image de cette fonction. Si , alors
Donc, l’image de cette fonction sur est l’ensemble des nombres réels positifs .
Nous pouvons utiliser différentes techniques algébriques et des propriétés de la fonction pour déterminer son ensemble de définition et son image. Cependant, il est souvent plus facile de le faire en traçant la fonction. Considérons la représentation graphique de sur la figure suivante.
Dans la représentation graphique d’une fonction, tout point est de la forme , où est l’argument de la fonction et est son image. En d’autres termes, la coordonnée en de chaque point de la représentation graphique nous indique un argument de la fonction et la coordonnée en nous donne l’image de cet argument par la fonction.
Donc, nous pouvons utiliser la représentation graphique d’une fonction pour déterminer son ensemble de définition et son image. Pour déterminer l’ensemble de définition de cette fonction, nous voulons trouver l’ensemble des coordonnées en des points de cette représentation graphique. Nous pouvons faire cela en déterminant quelles droites verticales intersectent le graphique.
Par exemple, en traçant la droite verticale , on voit qu’elle intersecte le graphique au point . Ainsi, 2 est dans l’ensemble de définition de notre fonction et 3 est dans son image. Pour déterminer la totalité de l’ensemble de définition de la fonction, nous devons répéter l’opération avec toutes les droites verticales possibles. Ici, on peut voir que n’importe quelle droite verticale, , intersecte ce graphique. En particulier, pour , nous avons ce qui suit :
Étant donné que le graphique de contient le point plein la fonction est définie en ce point. Ainsi, la droite verticale intersecte le graphique et . Donc, comme toutes les droites verticales intersectent le graphique, l’ensemble de définition de la fonction est .
On peut déterminer l’image de cette fonction en considérant les droites horizontales.
Par exemple, la droite intersecte le graphique au point , donc 1 est dans l’image de cette fonction. On peut aussi voir que la droite n’intersecte pas le graphique.
Comme le graphique a un point vide à l’origine, elle n’intersecte pas cette droite horizontale ; en fait, pour tout , la droite n’intersecte pas le graphique, et toutes les autres droites horizontales intersectent en revanche le graphique. Donc, l’image de cette fonction est .
Avant de discuter de la recherche de l’ensemble de définition et de l’image d’une fonction définie par morceaux, commençons par rappeler comment ces fonctions sont définies.
Définition : Fonction définie par morceaux
Une fonction définie par morceaux est une fonction constituée de plusieurs sous-fonctions, chacune de ces sous-fonction étant définie sur un sous-ensemble de l’ensemble de définition de la fonction principale, appelé sous-domaine.
L’équation d’une fonction par morceaux est écrite avec une accolade pour indiquer qu’elle est composée de plus d’une sous-fonction. Un exemple de fonction par morceaux est où quand et quand .
Dans une fonction définie par morceaux, les arguments possibles de la fonction sont donnés par les sous-domaines, dans ce cas et . Donc, pour trouver tous les arguments possibles de cette fonction, nous devons prendre l’union de tous les sous-domaines. Les arguments de cette fonction doivent satisfaire ou ; tout nombre réel satisfaisant l’une ou l’autre de ces conditions, l’ensemble de définition de la fonction est tout entier.
Pour déterminer l’image d’une fonction définie par morceaux, nous pouvons considérer l’image de chaque sous-fonction sur son sous-domaine. Ainsi, pour déterminer l’image de la fonction d’expression , on considère l’image de chaque sous-fonction séparément.
Premièrement, lorsque . Donc, en prenant pour argument un point , on obtient
Ainsi, toutes les valeurs de sont dans l’image de cette sous-fonction.
Deuxièmement, quand . En ajoutant 1 des deux côtés de l’inéquation définissant le sous-domaine, on a . Ainsi, lorsque , on a . Cela ne suffit pas pour déterminer l’image de cette sous-fonction ; nous devons déterminer les valeurs que notre sous-fonction atteint effectivement. Pour ce faire, nous allons choisir , de sorte que ; ainsi
Donc, toutes les valeurs de sont dans l’image de cette sous-fonction. En faisant l’union des images de chaque sous-fonction, on trouve que l’image de la fonction d’expression est constitué des valeurs et ; on peut représenter cette image comme l’union des deux intervalles .
Nous pouvons résumer les résultats illustrés dans l’exemple ci-dessus comme suit.
Définition : Ensemble de définition et image d’une fonction définie par morceaux
L’ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux est l’union de ses sous-domaines.
L’image d’une fonction définie par morceaux est l’union des images de chaque sous-fonction sur son sous-domaine.
Étudions quelques exemples de détermination d’ensemble de définition et d’image d’une fonction définie par morceaux à partir de sa représentation graphique.
Exemple 1: Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction définie par des morceaux, à partir de sa représentation graphique
Déterminez l’ensemble de définition et l’image de la fonction
Réponse
On rappelle que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des points sur lesquels la fonction est définie, et que l’image d’une fonction est l’ensemble de toutes valeurs que peut prendre la fonction sur les points de l’ensemble de définition.
Nous pouvons déterminer ces deux ensembles à partir de la représentation graphique de la fonction. Rappelez-vous, tout point sur le graphique est de la forme , où est un point de l’ensemble de définition de et est un point dans l’image de .
Pour trouver l’ensemble de définition de , nous devons déterminer toutes les coordonnés en des points du graphique.
Considérons les droites verticales suivantes.
Dans la figure (1), on voit que toute droite verticale avec intersecte le graphique. De même, dans la figure (2), nous pouvons voir que toute droite verticale avec intersecte le graphique. Ainsi, toutes ces valeurs de sont dans l’ensemble de définition de cette fonction. Nous devons vérifier si est dans l’ensemble de définition de cette fonction ; nous pouvons vérifier cela en traçant la droite .
Comme notre graphique a des points vides sur la droite , la fonction n’est pas définie pour cette valeur de ; donc, 0 n’est pas dans l’ensemble de définition de la fonction d’expression . Ainsi, l’ensemble de définition de cette fonction est constitué de tous les nombres réels non nuls, ce que nous pouvons écrire comme étant l’ensemble .
Il est à noter que nous pouvons vérifier que 0 n’est pas dans l’ensemble de définition de la fonction d’expression en considérant les sous-domaines de la fonction, et , dont aucun n’inclue 0. L’union de ces sous-domaines est bien l’ensemble de définition de la fonction, .
Pour déterminer l’image de cette fonction, on peut identifier les droites horizontales qui intersectent le graphique. Cependant, dans le cas présent, nous pouvons déterminer l’image de la fonction en étudiant les coordonnées des points de sa représentation graphique.
Observons que si , alors . De même, si , alors . Cela signifie que les seules valeurs que peut prendre la fonction sont 6 et , de sorte que l’image de cette fonction est .
Donc, cette fonction a pour ensemble de définition , et pour image .
Exemple 2: Déterminer l’image d’une fonction définie par morceaux étant donné sa représentation graphique
Déterminez l’image de la fonction
Réponse
On rappelle que l’image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre la fonction sur les points de son ensemble de définition. Pour trouver l’image de cette fonction, on peut déterminer quelles droites horizontales intersectent son graphique.
Sur la figure (1), on peut constater que la fonction prend une valeur maximale de . Sur la figure (2), on peut constater que la valeur minimale prise par la fonction est . Toutes les valeurs entre ces deux sont atteintes par la fonction, ce qui nous donne pour image .
Donc, l’image de la fonction est .
Exemple 3: Déterminer l’image de fonctions définies par morceaux à partir de leurs représentations graphiques
Déterminez l’image de la fonction représentée par le graphique suivant.
Réponse
On rappelle que l’image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre la fonction évaluée sur les points de son ensemble de définition. Rappelez-vous, tout point du graphique est de la forme , où est dans l’image de la fonction. Donc, nous pouvons trouver l’image de cette fonction en déterminant les coordonnées en des points du graphique.
Sur la figure (1), puisque le graphique a un point plein en , on constate que la plus petite valeur atteinte par la fonction est . Sur la seconde figure, on constate que la plus grande valeur atteinte par la fonction est 7.
Toute droite horizontale entre ces deux valeurs intersectant le graphique, l’image de la fonction est constituée de tous les points entre et 7 inclus. Il s’agit de l’ensemble noté .
Donc, l’image de la fonction est l’ensemble .
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment déterminer l’ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux sans avoir sa représentation graphique.
Exemple 4: Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux.
Déterminez l’ensemble de définition de la fonction définie par
Réponse
Nous rappelons que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des points sur lesquels cette fonction est définie, et pour une fonction définie par morceaux, il s’agit de l’union de ses sous-domaines.
Les sous-domaines de cette fonction sont et . Nous prenons l’union de ces deux ensembles pour trouver l’ensemble de définition de la fonction d’expression :
Donc, l’ensemble de définition de la fonction est .
Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment déterminer à la fois l’ensemble de définition et l’image d’une fonction définie par morceaux sans connaitre sa représentation graphique.
Exemple 5: Déterminer l’ensemble de définition et l’image d’une fonction définie par morceaux.
Détermine l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction
Réponse
Rappelons que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des points sur lesquels la fonction est définie, et que pour une fonction définie par morceaux, il s’agit de l’union de ses sous-domaines.
Pour déterminer l’union des sous-domaines, nous les écrivons d’abord avec une notation ensembliste. D’abord, l’ensemble des nombres est l’ensemble . Ensuite, le nombre, constitue l’ensemble .
Donc, l’ensemble de définition est l’union de ces ensembles :
L’image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que la fonction peut prendre sur son ensemble de définition. Pour une fonction définie par morceaux, il s’agit de l’union des images des sous-fonctions définies sur leurs sous-domaines. Ainsi, nous pouvons déterminer l’image de cette fonction en considérant chaque sous-fonction séparément.
D’abord, si , on a et puisque , on peut simplifier en haut et en bas par le facteur commun , ce qui donne :
On peut alors tracer la représentation graphique de cette sous-fonction.
Il s’agit de la droite d’équation , privée du point d’abscisse . L’image de cette sous-fonction correspond à toutes les valeurs potentiellement atteintes. La seule droite horizontale qui n’intersecte pas cette droite est la droite d’équation , de sorte que l’image de cette sous-fonction est l’ensemble .
La deuxième sous-fonction est la fonction constante définie sur l’ensemble . Puisque cette fonction est constante, son image est .
L’union des images des sous-fonctions est l’ensemble
Notons que nous pourrions également tracer le graphique de la seconde sous-fonction afin d’obtenir le graphique complète de la fonction d’expression . La deuxième sous-fonction est définie uniquement lorsque , donc sa représentation graphique est réduite à un unique point. Ayant , on ajoute le point à notre graphique.
On peut alors voir que est toujours égal à .
Donc, la fonction a pour ensemble de définition et pour image .
Terminons en récapitulant certains points importants de cette fiche explicative.
Points Clés
- L’ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux est l’union de ses sous-domaines.
- L’image d’une fonction définie par morceaux est l’union des images de chaque sous-fonction sur leur sous-domaine.
- On peut déterminer l’ensemble de définition d’une fonction à partir de sa représentation graphique en étudiant les intersections du graphique avec les droites verticales.
- On peut déterminer l’image d’une fonction à partir de son graphique en étudiant les intersections du graphique avec les droites horizontales.
