Vidéo de la leçon: Ensemble de définition et ensemble image d’une fonction définie par morceaux Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble image d'une fonction définie par morceaux. Commençons par rappeler ce qu’on entend par ces termes, ensemble de définition et ensemble image. L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée de la fonction. Nous pouvons considérer cela comme l’ensemble de toutes les valeurs prises par la fonction. L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles de la fonction étant donné son ensemble de définition. Nous pouvons penser à cela comme l’ensemble de toutes les valeurs produites par la fonction.

Sur un graphique de la fonction, l’ensemble de définition et l’ensemble image correspondent aux sections des axes des abscisses et ordonnées représentant les valeurs tracées. Par exemple, si nous considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré, nous pouvons voir que chaque valeur de 𝑥 dans les nombres réels est une valeur d’entrée pour la fonction. Et donc l'ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels. Mais si nous considérons l’ensemble image de cette fonction, nous pouvons voir qu’il y a certaines valeurs de 𝑦, les valeurs de y en dessous de l’axe des abscisses, qui ne sont pas atteintes par la représentation graphique. Seules les valeurs de 𝑦 au-dessus ou sur l’axe des abscisses sont atteintes par la représentation graphique. Nous dirions donc que l’ensemble image de cette fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑦 ou 𝑓 de 𝑥 qui sont supérieures ou égales à zéro.

Maintenant, dans cette vidéo, nous examinons spécifiquement l'ensemble de définition et l’ensemble image des fonctions définies par morceaux. Rappelons alors également ce que nous entendons par là. Une fonction par morceaux est une fonction qui est définie différemment sur différents sous-ensembles de son ensemble de définition. Par exemple, nous pourrions avoir la fonction 𝑓 de 𝑥, qui est définie comme étant égale à un lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro et égal à deux lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. C’est une fonction définie par morceaux très simple. Il n’a que deux sous-ensembles de définition : 𝑥 est strictement inférieur à zéro et 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Et les sous-fonctions elles-mêmes sont également très simples. Ce ne sont que des constantes.

Il n’y a cependant aucune limite au nombre de sous-ensembles de définition qu’une fonction définie par morceaux peut avoir. Et les sous-fonctions elles-mêmes pourraient également être beaucoup plus compliquées. Elles pourraient être des polynômes ou même plus compliquées que cela. Formellement alors, on peut dire qu’une fonction définie par morceaux est une fonction qui se compose de plusieurs sous-fonctions, où chaque sous-fonction est définie sur un sous-ensemble de l'ensemble de définition de la fonction principale, que nous appelons le sous-ensemble de définition.

Voyons tout d’abord comment trouver l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction définie par morceaux à partir de sa représentation graphique. Nous avons donc ici une fonction définie par morceaux. On ne nous donne pas l’expression de la fonction, bien que nous puissions probablement la déterminer à partir du graphique, si nécessaire. Pour trouver d’abord l'ensemble de définition de cette fonction, nous devons examiner toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction a été tracée. Nous pouvons voir que la représentation graphique comporte deux sections : la section horizontale ici et ensuite la section diagonale ici. Nous voulons donc considérer les valeurs de 𝑥 pour chacune des sections, ce qui donnera les sous-ensembles de définition de la fonction.

Le cercle ouvert ici indique que la valeur de 𝑥 en ce point, qui est moins deux, n’est pas incluse dans ce sous-ensemble de définition car ce point ne se trouve pas sur cette partie de la représentation graphique. Nous pouvons voir cependant que cette ligne bleue a une flèche pointant vers les valeurs de 𝑥 négatives, ce qui indique que la ligne continue à l’infini dans cette direction. Le sous-ensemble de définition pour cette section de la représentation graphique est alors toutes les valeurs de 𝑥 strictement inférieures à moins deux.

Considérons maintenant l’autre section de la représentation graphique. Cela commence à une valeur de 𝑥 égale à moins deux. Et cette fois, le cercle fermé ou plein indique que ce point est sur la représentation graphique pour cette section. Donc ce sous-ensemble de définition inclut la valeur moins deux. En outre, la ligne s’étend jusqu’à une valeur de 𝑥 égale deux. Mais le point ouvert ici indique que ce point et, par conséquent, cette valeur de 𝑥 n’est pas incluse. Nous avons donc toutes les valeurs de 𝑥 supérieures à moins deux mais strictement inférieures à plus deux.

Maintenant, voici un point clé important. L'ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux est l’union de tous ses sous-ensembles de définition. Ainsi, chaque valeur de 𝑥 qui se trouve dans l’un des sous-ensembles de définition appartient également à l’ensemble de définition de la fonction dans sa totalité. Nous pouvons utiliser la notation d’intervalle si nous voulons dire que l'ensemble de définition de cette fonction est l’union de l’intervalle ouvert de moins ∞ à moins deux, et l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite de moins deux à plus deux. Cela nous donne l’intervalle ouvert de moins ∞ à deux. Ou nous pouvons écrire cela en utilisant des inéquations car 𝑥 est strictement inférieur à deux.

Nous avons donc déterminé l’ensemble de définition de cette fonction, alors examinons maintenant l’ensemble image. Pour ce faire, nous devons considérer toutes les valeurs de 𝑦 atteintes par la représentation graphique. Tout comme l'ensemble de définition, l’ensemble image d’une fonction définie par morceaux est l’union des ensembles images de chaque sous-fonction sur son sous-ensemble de définition. En regardant la représentation graphique, nous voyons que la première sous-fonction est constante car la ligne est horizontale. Et la valeur de 𝑦 est toujours égale à moins cinq. Voici donc l’ensemble image de la première sous-fonction.

La deuxième sous-fonction est une droite continue, qui s’étend d’une valeur de 𝑦 de moins trois à une valeur de 𝑦 de plus cinq, bien que le point ouvert ici indique que nous pouvons avoir toutes les valeurs jusqu’à moins cinq. Ainsi, l’ensemble image de cette fonction définie par morceaux est l’union de la valeur moins cinq avec l’intervalle fermé à gauche, ouvert à droite de moins trois à plus cinq.

Pour les fonctions définies par morceaux plus compliquées, nous pouvons trouver l'ensemble de définition et l’ensemble image en considérant où les droites verticale et horizontale coupent la courbe. Par exemple, si nous traçons sur la droite verticale d’équation 𝑥 est égal à un et que cela coupe la courbe, cela nous indique que 𝑥 ou la valeur d’entrée de un appartient à l’ensemble de définition de la fonction. Si nous dessinons une droite horizontale en, par exemple, 𝑦 égal à trois et que cette droite coupe la courbe, alors cela nous dit que cette valeur de 𝑦 est dans l’ensemble image de la fonction. Si, cependant, nous devions tracer une droite en, par exemple, 𝑦 est égal à moins quatre, alors cette droite horizontale ne coupe pas la courbe. Et donc cela nous dit que la valeur de moins quatre n’est pas dans l’ensemble image de la fonction.

Nous devons être en mesure de déterminer l'ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction définie par morceaux à la fois graphiquement et à partir de son expression. Dans notre premier exemple, nous allons nous entraîner à trouver l'ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction définie par morceaux, étant donné sa représentation graphique.

Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à six lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro et moins quatre lorsque 𝑥 est strictement supérieur à zéro.

Nous rappelons d’abord que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée de cette fonction. En cas de fonction définie par morceaux que nous avons ici, l'ensemble de définition sera l’union de tous ses sous-ensembles de définition. Nous pouvons le déterminer soit à partir de l’expression de la fonction, soit à partir du graphique. En regardant d’abord la fonction elle-même, nous voyons que 𝑓 de 𝑥 est défini comme étant égal à six lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro et moins quatre lorsque 𝑥 est strictement supérieur à zéro. En d’autres termes, la fonction prend toutes les valeurs négatives de x pour produire la valeur de sortie six, et prend toutes les valeurs positives de 𝑥 pour produire la valeur de sortie moins quatre. Ainsi, le premier sous-ensemble de définition de la fonction est 𝑥 est strictement inférieur à zéro, et le deuxième sous-ensemble de définition est 𝑥 est strictement supérieur à zéro.

L’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 est l’union de ces deux sous-ensembles de définition, que nous pouvons écrire en notation d’intervalle comme l’union de l’intervalle ouvert de moins ∞ à zéro, et de l’intervalle ouvert de zéro à ∞. Il s’agit de l’ensemble complet des nombres réels uniquement zéro exclu. Nous pouvons donc écrire cela comme l’ensemble des nombres réels moins la valeur zéro.

Une autre façon de voir cela est l’utilisation du graphique. Pour déterminer si une valeur de 𝑥 appartient à l’ensemble de définition de cette fonction, nous pouvons tracer une droite verticale en cette valeur de 𝑥. Si cette droite coupe la représentation graphique, cela nous indique que cette valeur de 𝑥 appartient à l’ensemble de définition de la fonction. La seule droite verticale que nous pouvons tracer qui ne coupe pas la représentation graphique de 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 est la droite d’équation 𝑥 est égal à zéro. Il s’agit donc de la seule valeur de 𝑥 qui est exclue de l'ensemble de définition.

Ensuite, examinons l’ensemble image, qui est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie produites par la fonction. Selon la définition de la fonction, nous voyons que la fonction ne peut prendre que les valeurs six et moins quatre. Ce sont donc les seules valeurs de sortie de la fonction, et ce sont donc les seules valeurs dans l’ensemble image. Nous pouvons également le voir sur le graphique si nous traçons des droites horizontales à différentes valeurs de 𝑦. Les seules droites horizontales qui coupent le graphique sont les droites d’équations 𝑦 égale six et 𝑦 égale moins quatre. Ainsi, l’ensemble image de 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble des valeurs moins quatre, six.

Nous avons alors constaté que l’ensemble de définition de cette fonction définie par morceaux est l’ensemble de tous les nombres réels moins la valeur zéro, et que l’ensemble image est l’ensemble contenant les valeurs moins quatre et six. Considérons maintenant un autre exemple où nous trouvons l’ensemble image d’une autre fonction définie par morceaux.

Trouvez l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus cinq pour 𝑥 appartenant à l’intervalle fermé de moins cinq à moins un, et 𝑓 de 𝑥 est égal à moins 𝑥 plus trois pour 𝑥 appartenant à l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite de moins un à trois.

Nous rappelons que l’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles de la fonction étant donné son ensemble de définition. Nous avons ici une fonction définie par morceaux. Elle est définie différemment sur divers sous-ensembles de définition. Pour trouver l’ensemble image de cette fonction, nous pouvons utiliser sa représentation graphique. Et nous pouvons examiner les droites horizontales qui couperont la représentation graphique. La valeur minimale de 𝑦 à laquelle nous pouvons tracer une droite horizontale qui coupe la représentation graphique est zéro. Et la valeur maximale de 𝑦 à laquelle nous pouvons tracer une droite horizontale qui coupe la représentation graphique est quatre. Toute droite horizontale que nous dessinons entre ces deux valeurs de 𝑦 coupera également le graphique, alors que toute droite horizontale que nous dessinons en dehors de ces deux valeurs de 𝑦 ne coupera pas la représentation graphique. Cela nous indique que l’ensemble image de cette fonction définie par morceaux, qui est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles ou les valeurs de 𝑦 sur sa représentation graphique, est l’intervalle fermé de zéro à quatre.

Prenons maintenant un autre exemple où nous déterminerons l'ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux, mais cette fois, nous n’aurons pas sa représentation graphique.

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 plus quatre lorsque 𝑥 appartient à l’intervalle fermé de moins quatre à huit et 𝑓 de 𝑥 est égal à sept 𝑥 moins 63 lorsque 𝑥 appartient à l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite de huit à neuf.

Nous rappelons d’abord que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée de cette fonction. Et pour une fonction définie par morceaux, comme nous l’avons ici, c’est l’union de ses sous-ensembles de définition. Pour cette fonction, les sous-ensembles de définition sont l’intervalle fermé de moins quatre à huit et l’intervalle ouvert à gauche, fermé à droite de huit à neuf. L’ensemble de définition de la fonction est donc l’union de ces deux intervalles. Il n’y a pas d’espace entre ces deux intervalles, et la valeur de huit est incluse car le premier intervalle est fermé à la borne supérieure. Ainsi, l'ensemble de définition de cette fonction définie par morceaux, qui est l’union de ses sous-ensembles de définition, est l’intervalle fermé de moins quatre à neuf.

Voyons maintenant un dernier exemple dans lequel nous déterminerons à la fois l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction définie par morceaux légèrement plus compliquée.

Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré moins 36 sur 𝑥 moins six si 𝑥 n’est pas égal à six et 𝑓 de 𝑥 est égal à 12 si 𝑥 est égal à six.

Nous rappelons d’abord que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée de cette fonction. Et pour une fonction définie par morceaux, comme nous l’avons ici, c’est l’union de ses sous-ensembles de définitions. Pour trouver l’union des sous-ensembles de définition, nous allons commencer par les écrire sous forme d’ensembles. Tout d’abord, 𝑥 différent de six est le même que l’ensemble de tous les nombres réels moins la valeur six. Deuxièmement, 𝑥 égale six est tout simplement la même chose que l’ensemble contenant la valeur six. L'ensemble de définition est donc l’union de ces deux ensembles : les nombres réels moins la valeur six union la valeur six, qui est simplement l’ensemble complet des nombres réels.

Ensuite, considérons l’ensemble image de cette fonction. L’ensemble image est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie possibles étant donné l'ensemble de définition de la fonction. Pour une fonction définie par morceaux, il s’agira de l’ensemble des sous-fonctions sur leurs sous-ensembles de définition. Nous pouvons donc déterminer l’ensemble image de cette fonction en considérant l’ensemble image de chaque sous-fonction séparément.

Tout d’abord, considérons l’expression de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 n’égale pas six. L’expression au numérateur est une différence de deux carrés. Et ainsi, il peut être factorisé comme 𝑥 moins six multiplié par 𝑥 plus six. Le facteur commun de 𝑥 moins six au numérateur et au dénominateur peut être annulé. Et c’est pourquoi il est important que 𝑥 ne soit pas égal à six ici, car si c’était le cas, alors 𝑥 moins six serait égal à zéro, et nous diviserions par zéro, ce qui est indéfini. Mais comme la fonction est définie différemment lorsque 𝑥 est égal à six, nous pouvons être sûrs que nous n’essayons pas de diviser par zéro ici.

Ainsi, lorsque 𝑓 de 𝑥 n’est pas égal à six, cela se simplifie en 𝑥 plus six tout simplement. Si nous le souhaitons, nous pouvons alors tracer cette sous-fonction. C’est la droite d’équation 𝑦 égale 𝑥 plus six avec le point où 𝑥 égale six est retiré. L’ensemble image de cette sous-fonction correspond à toutes les valeurs de sortie possibles. La seule droite horizontale que nous pouvons tracer et qui ne coupe pas cette représentation graphique est la droite d’équation 𝑦 égale 12. Ainsi, l’ensemble image de cette sous-fonction est l’ensemble de tous les nombres réels moins la valeur 12.

Cependant, la deuxième sous-fonction est la fonction constante 𝑓 de 𝑥 égale 12 sur l'ensemble de définition 𝑥 égale six. Puisque la valeur de sortie est constante, l’ensemble image de la deuxième sous-fonction est simplement 12. Prendre l’union des ensembles images de ces sous-fonctions donne l’ensemble des nombres réels moins la valeur 12 union la valeur 12, qui est simplement l’ensemble de tous les nombres réels. Nous avons retiré la valeur 12, puis nous l’avons replacée.

Nous pouvons également représenter graphiquement la deuxième sous-fonction sur le même graphique pour tracer complètement 𝑓 de 𝑥. La deuxième sous-fonction est définie uniquement lorsque 𝑥 égale six. Donc, il se compose d’un seul point. 𝑓 de six est égal à 12, nous pouvons donc ajouter le point six, 12 à notre schéma. Nous avons dessiné le point qui manquait auparavant à la droite. Nous pouvons donc voir que la fonction 𝑓 de 𝑥 est 𝑥 plus six. Nous pouvons alors conclure que l’ensemble de définition de cette fonction définie par morceaux est l’ensemble complet des nombres réels, de même que l’ensemble image.

Terminons par récapituler certains points clés de cette vidéo. Tout d’abord, nous avons vu que l'ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux est l’union de ses sous-ensembles de définition. De même, l’ensemble image d’une fonction définie par morceaux est l’union des ensembles images de chaque sous-fonction sur son sous-ensemble de définition. Nous avons vu que pour trouver l’ensemble de définition d’une fonction à partir de sa représentation graphique, nous pouvons considérer les intersections de la représentation graphique avec les droites verticales. Si une droite verticale coupe la représentation graphique, cette valeur de 𝑥 est incluse dans l'ensemble de définition, alors que si une droite verticale ne coupe pas la représentation graphique, cette valeur de 𝑥 est exclue.

Pour trouver l’ensemble image d’une fonction à partir de sa représentation graphique, nous pouvons considérer les intersections de la représentation graphique avec des droites horizontales et appliquer les mêmes principes pour déterminer si les valeurs de 𝑦 sont incluses ou exclues de l’ensemble image de la fonction.