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Ecrivez les équations paramétriques d’une droite 𝐿 passant par le point 𝑝 un de coordonnées : trois, trois, moins un et le milieu des points 𝑝 deux de coordonnées : un, moins un, un et 𝑝 trois de coordonnées : trois, cinq, cinq. S'agit-il de l'option (A) 𝑥 égale trois moins 𝑡, 𝑦 égale trois moins 𝑡, et 𝑧 égale moins un plus quatre 𝑡 ? S'agit-il de l'option (B) 𝑥 égale trois moins deux 𝑡, 𝑦 égale trois moins 𝑡, et 𝑧 égale moins un plus quatre 𝑡 ? S'agit-il de l'option (C) 𝑥 égale trois moins 𝑡, 𝑦 égale trois moins 𝑡, et 𝑧 égale moins un plus deux 𝑡 ? L'option (D) est 𝑥 égale moins deux plus trois 𝑡, 𝑦 égale trois moins 𝑡, et 𝑧 égale moins un plus quatre 𝑡. Ou bien l'option (E) 𝑥 égale trois moins deux 𝑡, 𝑦 égale trois moins 𝑡, et 𝑧 égale moins un plus deux 𝑡.
Nous rappelons d'abord que les équations paramétriques d'une droite est un système non unique de trois équations de la forme 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑡𝐥, 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑡𝐦, et 𝑧 égale 𝑧 zéro plus 𝑡𝐧, où 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro sont les coordonnées d’un point appartenant à la droite. 𝐥, 𝐦, 𝐧 est un vecteur directeur de la droite et 𝑡 est un nombre réel, appelé paramètre, qui varie de moins ∞ à ∞.
Dans la question, on nous donne un point appartenant à la droite. Il a pour coordonnées trois, trois, moins un. Nous noterons ce point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑧 zéro. On nous précise également que la droite passe par le milieu de 𝑝 deux et 𝑝 trois. Nous savons calculer les coordonnées du milieu de deux points quelconques en trois dimensions en trouvant la moyenne de leurs coordonnées correspondantes. Les coordonnées 𝑥 de 𝑝 deux et 𝑝 trois sont respectivement un et trois. La coordonnée 𝑥 du point milieu sera donc égale à un plus trois sur deux.
Nous pouvons répéter ceci pour les coordonnées 𝑦 et 𝑧 comme indiqué. La somme de un plus trois égale quatre et si nous divisons cette somme par deux, nous obtenons deux. La somme de moins un plus cinq est également égale à quatre et si nous la divisons par deux, nous obtenons également deux. Enfin, la somme de un plus cinq divisée par deux est égale à trois. Le point milieu entre 𝑝 deux et de 𝑝 trois a donc pour coordonnées deux, deux et trois.
Nous avons maintenant les coordonnées de deux points appartenant à la droite. Nous pouvons les utiliser pour calculer le vecteur directeur. Pour ce faire, nous pouvons soustraire le vecteur trois, trois, moins un du vecteur deux, deux, trois. Soustraire les composantes correspondantes donne le vecteur moins un, moins un, quatre.
Nous utiliserons ces valeurs pour 𝐥, 𝐦 et 𝐧 dans la forme générale. Premièrement, nous avons 𝑥 égale trois plus moins un 𝑡, ce qui se simplifie en trois moins 𝑡. Ensuite, 𝑦 égale trois plus moins un 𝑡, que nous pouvons à nouveau simplifier en trois moins 𝑡. 𝑧 égale moins un plus quatre 𝑡. Un système d'équations paramétriques de la droite 𝐿, qui passe par le point 𝑝 un et le point milieu entre 𝑝 deux et 𝑝 trois, est 𝑥 égale trois moins 𝑡, 𝑦 égale trois moins 𝑡, et 𝑧 égale moins un plus quatre 𝑡. Ceci correspond à l'option (A) de la question.
Il est intéressant de noter quelques autres solutions que nous aurions pu trouver à partir des informations de la question. D'abord, nous aurions pu utiliser le point milieu de coordonnées deux, deux, trois en tant que 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, et 𝑧 zéro. Nous aurions aussi pu soustraire les vecteurs dans l'autre ordre lors de la recherche du vecteur directeur. Nous aurions obtenu un vecteur directeur de composantes : un, un, moins quatre. La combinaison de tous ces éléments aurait donné une solution correcte. Néanmoins, aucune de ces solutions ne correspond aux options proposées dans cette question.
