Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment trouver les équations paramétriques de droites dans l’espace.
On commence par rappeler les différentes formes d’équations d’une droite dans le plan (c’est-à-dire en deux dimensions, 2D). La forme donne la pente et l’ordonnée à l’origine . En d’autres termes, le vecteur directeur de la droite est et la droite passe par le point .
À partir de la forme , on sait que le vecteur directeur de la droite est et que le point de coordonnées appartient à la droite.
Enfin, lorsque l’équation de la droite est sous la forme , on trouve que le vecteur directeur de la droite est (ou ou où , etc.) et que la droite passe par le point .
Quelle que soit la forme de l’équation, les deux informations clés qui définissent une droite sont son vecteur directeur et l’un de ses points. On va maintenant voir comment le raisonnement fonctionne en deux dimensions avant de passer à trois dimensions (3D).
Si une droite de vecteur directeur passe par deux points et , alors le vecteur ayant les composantes est parallèle au vecteur . En d’autres termes, est un multiple de . Donc, on a où est un nombre réel.
À partir de l’équation ci-dessus, on trouve
et
En substituant (1) dans (2), on trouve
Donc, la pente de la droite qui passe par les points et est donnée par
On considère maintenant une droite dans l’espace de vecteur directeur qui passe par le point . Pour tout autre point appartenant à la droite, et sont parallèles ; Donc, , où est un nombre réel. La figure ci-dessous illustre cette équation vectorielle, avec un point de la droite tel que .
On peut trouver la même équation en décomposant comme et en utilisant le vecteur position de , , et celui de , ; on trouve alors que , c’est-à-dire : il s’agit de l’équation de la droite sous forme vectorielle.
En considérant les composantes de et , et comme , on trouve que c’est-à-dire
Si on fait varier de à , les trois équations ci-dessus décrivent les coordonnées de tous les points appartenant à la droite. Elles décrivent les coordonnées du point quand .
Ce système de trois équations est appelé les équations paramétriques d’une droite dans l’espace. Puisqu’il y a une infinité de points appartenant à la droite et que tout vecteur est un vecteur directeur de la droite, il n’existe pas un unique système d’équations paramétriques. Cependant, ils décrivent tous les coordonnées de tous les points appartenant à la droite (quand varie de à ) et ils définissent tous sans équivoque la même droite.
Définition : Équations paramétriques d’une droite dans l’espace
Les équations paramétriques d’une droite dans l’espace est un système non unique de trois équations de la forme où sont les coordonnées d’un point appartenant à la droite, est un vecteur directeur de la droite, et est un nombre réel (le paramètre) qui varie de à .
Étudions un premier exemple.
Exemple 1: Déterminer les équations paramétriques d’une droite à partir d’un point et de son vecteur directeur
Donnez les équations paramétriques de la droite passant par le point et de vecteur directeur .
Réponse
Les équations paramétriques d’une droite sont de la forme où sont les coordonnées d’un point situé sur la droite, est un vecteur directeur de la droite, et est un nombre réel (le paramètre) qui varie de à .
On sait ici que se situe sur la droite ; on substitue donc ses coordonnées dans les équations à la place de ; les composantes du vecteur directeur sont , on les substitue donc à . On trouve que
Il s’agit des équations paramétriques de la droite passant par le point et de vecteur directeur .
Il est à noter que ce système d’équations qui définit la droite passant par le point et de vecteur directeur n’est pas unique. On pourrait, par exemple, prendre comme vecteur directeur de la droite et trouver les équations paramétriques
On pourrait également trouver les coordonnées d’un autre point appartenant à la droite en choisissant une valeur de . En prenant, par exemple, et en utilisant la première équation paramétriques, on trouve que le point de coordonnées appartient à la droite. Utiliser ces coordonnées donne un autre système d’équations paramétriques ; à savoir,
Déterminons maintenant les équations paramétriques d’une droite passant par deux points donnés.
Exemple 2: Déterminer les équations paramétriques d’une droite à partir de deux points
Donnez les équations paramétriques de la droite passant par les points et .
- , , pour
- , , pour
- , , pour
- , , pour
- , , pour
Réponse
Les équations paramétriques d’une droite sont de la forme où sont les coordonnées d’un point situé sur la droite, est un vecteur directeur de la droite et est un nombre réel (le paramètre) qui varie de à .
On connaît ici deux points qui appartiennent à la droite. Pour trouver les composantes d’un vecteur directeur, il suffit de trouver les composantes de par exemple. Elles sont .
On pourrait maintenant substituer les coordonnées de ou à et les composantes de (ou par exemple) à .
Comme on a ici un choix limité de réponses, on peut commencer par identifier les composantes des vecteurs directeurs de chaque représentation ; elles sont données par les coefficients de dans chaque équation :
On voit que seule la réponse B a un vecteur directeur correct. On vérifie maintenant que les coordonnées utilisées dans les équations de la réponse B sont correctes : ce sont les constantes de chaque équation, c’est-à-dire les coordonnées obtenues lorsque . On trouve c’est-à-dire les coordonnées de . Donc, la réponse B est une équations paramétriques correcte de la droite.
Notez que les coordonnées de utilisées dans les équations pourraient n’être ni celles de ni celles de mais les équations pourraient quand même être correctes. Dans ce cas, après avoir trouvé un vecteur directeur de la droite ( ), il faudrait vérifier que le point de coordonnées appartient à la droite. Pour cela, on doit vérifier que le vecteur (ou ) est parallèle à , c’est-à-dire qu’il vérifie
On voit que cela revient à vérifier qu’il existe une valeur telle que les coordonnées de vérifient les équations paramétriques :
Comment peut-on trouver les équations paramétriques d’une droite à partir de ses équations cartésiennes ? On rappelle que les équations cartésiennes d’une droite dans l’espace sont sous la forme où sont les coordonnées d’un point appartenant à la droite et est un vecteur directeur de la droite où , et sont tous des nombres réels non nuls. Cette forme d’équations est étroitement liée à les équations paramétriques car elle donne simplement les trois expressions de que l’on obtient à partir de chacune des équations paramétriques : est équivalent à
Lorsqu’une composante du vecteur directeur est nulle, cela signifie que la coordonnée correspondante de tous les points appartenant à la droite est constante. Par exemple, si le vecteur directeur d’une droite est et le point appartient à la droite, alors les équations paramétriques de la droite sont
Les équations cartésiennes de la droite sont alors
La droite est perpendiculaire à l’axe des et est dans un plan parallèle au plan .
Si le vecteur directeur est unidimensionnel, c’est-à-dire que deux de ses composantes sont nulles, alors la droite est parallèle à l’un des axes. Par exemple, si la droite est parallèle à l’axe des et passe par le point , ses équations paramétriques sont et ses équations cartésiennes sont , . On compare cette équation en 3D à l’équation d’une droite en 2D qui est parallèle à l’axe des : . La valeur de est la même pour tous les points et aucune information n’est donnée sur la coordonnée car elle peut prendre n’importe quelle valeur ; l’ensemble des coordonnées de tous les points situés sur la droite est . C’est également la signification de quand varie de à . Notez que l‘on pourrait également définir : l’ensemble des valeurs de décriraient également quand varie de à .
Pratiquons la conversion d’équations cartésiennes d’une droite en équations paramétriques.
Exemple 3: Déterminer les équations paramétriques d’une droite à partir de ses équations cartésiennes
Déterminez les équations paramétriques de la droite .
Réponse
Les équations cartésiennes données ici ont été légèrement réarrangées par rapport à la forme standard . Cela n’a cependant pas d’importance car il suffit d’écrire pour trouver un système d’équations paramétriques en réarrangeant chaque équation. On trouve
Notez qu’il n’existe pas un unique système d’équations paramétriques car il n’existe pas non plus un système unique d’équations cartésiennes de la même droite. Ici, par exemple, comme on a trouvé que le vecteur directeur était , on aurait pu choisir de prendre pour écrire les équations paramétriques. Cela équivaut à prendre comme paramètre au lieu de , c’est-à-dire les équations cartésiennes .
Nous allons maintenant étudier un dernier exemple où nous devons trouver les équations paramétriques de la diagonale d’un cube.
Exemple 4: Déterminer les équations paramétriques d’une droite en deux étapes
Un cube de l’arête de longueur 3 est placé avec un sommet à l’origine et trois arêtes le long des axes positifs. Déterminez les équations paramétriques de la diagonale principale passant par l’origine.
Réponse
On commence par dessiner un schéma du cube.
La diagonale principale du cube part de l’origine au sommet le plus éloigné de l’origine, c’est-à-dire le point car la longueur de l’arête du cube est de 3 unités de longueur.
La droite qui contient la diagonale a donc comme vecteur directeur le vecteur qui va de l’origine au point , c’est-à-dire le vecteur qui a les composantes
Les équations paramétriques d’une droite sont de la forme où sont les coordonnées d’un point appartenant à la droite, est un vecteur directeur de la droite et est un nombre réel (le paramètre) qui varie de à .
En prenant ici l’origine pour le point appartenant à la droite, on trouve que
Notez que l’on aurait également pu prendre le point , conduisant à
Ou on aurait pu prendre comme vecteur directeur, conduisant aux équations les plus simples
En bref, les coordonnées , et de tout point de cette droite sont égales.
Dans cet exemple, on aurait pu limiter les valeurs possibles du paramètre pour décrire uniquement la diagonale du cube, c’est-à-dire le segment qui va de à . Avec les équations , , , cela signifie que . L’intervalle de dépend des équations utilisées. Si on prend les équations paramétriques , , , alors ces équations décrivent la diagonale du cube pour l‘intervalle .
Points clés
- Les équations paramétriques d’une droite est un système non unique de trois équations de la forme où sont les coordonnées d’un point appartenant à la droite, est un vecteur directeur de la droite et est un nombre réel (le paramètre) qui varie de à .
- Quand , et sont tous des nombres réels non nuls, les équations paramétriques d’une droite peuvent être déduites de ses équations cartésiennes en écrivant et en réarrangeant chacune des trois équations résultantes.
- Lorsqu’une composante du vecteur directeur est nulle, cela signifie que la coordonnée correspondante de tous les points appartenant à la droite est constante. Par exemple, si le vecteur directeur d’une droite est et le point appartenant à la droite, alors les équations paramétriques de la droite sont et les équations cartésiennes de la droite sont
- Si deux composantes du vecteur directeur sont nulles, la droite est parallèle à un axe, ce qui signifie qu’une seule coordonnée varie, tandis que les deux autres sont constantes. Par exemple, les équations paramétriques d’une droite parallèle à l’axe des et qui passe par le point sont et ses équations cartésiennes sont , .
