Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer les équations paramétriques d'une droite dans l'espace. Commençons par rappeler les différentes façons d’écrire l’équation d’une droite dans le plan 𝑥𝑦.
La forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏 est appelée équation réduite, où 𝑚 est le coefficient directeur ou la pente de la droite et 𝑏 est l’ordonnée à l’origine. En écrivant l’équation d’une droite en fonction d’un point, on a 𝑦 moins 𝑦 zéro égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 zéro. Encore une fois, 𝑚 est le coefficient directeur de la droite et le point avec les coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro appartient à la droite. La dernière forme est l’équation cartésienne 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro. On peut généralement trouver cette forme en réorganisant l’une des deux premières. Les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes, où 𝑎 est positive et 𝑎 ou 𝑏 peut être nulle mais pas les deux.
Nous pouvons utiliser ces informations pour trouver l’équation vectorielle d’une droite en deux dimensions. Le vecteur position 𝐫 de tout point sur une droite passant par le point 𝑝 de coordonnées 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et de vecteur position 𝐫 zéro est donné par 𝐫 égale 𝐫 zéro plus 𝑡 fois 𝐝, où 𝐝 est un vecteur directeur de la droite et 𝑡 est un scalaire. Cette équation peut être écrite en fonction de ses composantes avec le vecteur 𝐫 de composantes 𝑥 et 𝑦. Le vecteur position 𝐫 zéro est égal à 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et on suppose que le vecteur directeur 𝐝 a les composantes 𝑙 et 𝑚.
On peut alors écrire cette équation sous forme paramétrique. En considérant les premières composantes, on a 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑡 fois 𝑙. En considérant les secondes composantes, on a 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑡 fois 𝑚. Ces deux équations combinées sont les équations paramétriques d’une droite en deux dimensions. Nous allons maintenant voir comment cette forme peut être étendue en trois dimensions.
Les équations paramétriques d’une droite dans l’espace sont un ensemble non unique de trois équations de la forme 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑡 𝐥, 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑡 𝐦, et 𝑧 égale 𝑧 zéro plus 𝑡 𝐧, où 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro est un point sur la droite. Le vecteur 𝐥, 𝐦, 𝐧 est un vecteur directeur de la droite. Et 𝑡 est un nombre réel qui varie de moins l’infini à plus l’infini Nous allons maintenant étudier un exemple où nous devons trouver les équations paramétriques d’une droite à partir d’un point situé sur la droite et de son vecteur directeur.
Donnez les équations paramétriques de la droite passant par le point deux, moins quatre, quatre et de vecteur directeur un, moins un, cinq.
Nous commençons par rappeler que les équations paramétriques d’une droite sont de la forme suivante. 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑡 𝐥, 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑡 𝐦 et 𝑧 égale 𝑧 zéro plus 𝑡 𝐧, où 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro est un point situé sur la droite. Le vecteur 𝐥, 𝐦, 𝐧 est un vecteur directeur de la droite. Et le paramètre 𝑡 est un scalaire. La question indique que le point deux, moins quatre, quatre se trouve sur la droite. Ce sont donc les valeurs respectives de 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑧 zéro. On nous donne également un vecteur directeur un, moins un, cinq, qui seront donc les valeurs de 𝐥, 𝐦 et 𝐧.
En remplaçant par les valeurs de 𝑥 zéro et 𝐥, on obtient 𝑥 égale deux plus 𝑡. On a ensuite 𝑦 égale moins quatre moins 𝑡. Enfin, en remplaçant par les valeurs quatre et cinq de 𝑧 zéro et 𝐧, on obtient 𝑧 égale quatre plus cinq 𝑡. Les équations paramétriques de la droite passant par le point deux, moins quatre, quatre et de vecteur directeur un, moins un, cinq sont donc les suivantes.
Il est important de noter que cet ensemble d’équations n’est pas unique. Par exemple, on pourrait multiplier chaque composante du vecteur directeur par deux, ce qui donnerait deux, moins deux, 10. On pourrait alors l’utiliser comme vecteur directeur avec le point deux, moins quatre, quatre, ce qui donnerait l’ensemble d’équations paramétriques 𝑥 égale deux plus deux 𝑡, 𝑦 égale moins quatre moins deux 𝑡 et 𝑧 égale quatre plus 10𝑡. Ce serait également une solution à cette question. Alternativement, on aurait pu trouver un autre point se situant sur la droite en choisissant une valeur de 𝑡. Et on aurait alors pu utiliser ce point et un vecteur directeur pour trouver un autre ensemble d’équations paramétriques équivalent.
Dans la prochaine question, nous devons déterminer les équations paramétriques d’une droite de l’espace passant par deux points.
Déterminez les équations paramétriques de la droite 𝐿 passant par les points 𝑃 un de coordonnées quatre, un, cinq et 𝑃 deux de coordonnées moins deux, un, trois. Est-ce la réponse (A) 𝑥 égale moins deux moins six 𝑡, 𝑦 égale un et 𝑧 égale trois plus deux 𝑡 ? La réponse (B) 𝑥 égale quatre moins six 𝑡, 𝑦 égale un et 𝑧 égale cinq moins deux 𝑡 ? La réponse (C) 𝑥 égale quatre plus deux 𝑡, 𝑦 égale un plus 𝑡 et 𝑧 égale cinq plus trois 𝑡 ? La réponse (D) 𝑥 égale moins deux plus six 𝑡, 𝑦 égale un plus 𝑡 et 𝑧 égale trois plus deux 𝑡. Ou est-ce la réponse (E) 𝑥 égale six plus quatre 𝑡, 𝑦 égale un et 𝑧 égale cinq plus deux 𝑡 ? Pour les cinq réponses, il est indiqué que 𝑡 est supérieur à moins l’infini et inférieur à plus l’infini
Commençons par rappeler que les équations paramétriques d’une droite sont de la forme 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑡 𝐥, 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑡 𝐦, et 𝑧 égale 𝑧 zéro plus 𝑡 𝐧, où 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro est un point situé sur la droite et le vecteur 𝐥, 𝐦, 𝐧 est un vecteur directeur de la droite. Nous savons également que 𝑡 est un scalaire compris entre moins l’infini et plus l’infini Nous connaissons deux points situés sur la droite : quatre, un, cinq et moins deux, un, trois. Nous pouvons donc remplacer 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑧 zéro par les coordonnées de l’un ou l’autre des deux points.
Dans les réponses (A) et (D), on retrouve les coordonnées de 𝑃 deux, alors que dans les réponses (B) et (C), on retrouve les coordonnées de 𝑃 un. 𝑥 zéro égale quatre, 𝑦 zéro égale un et 𝑧 zéro égale cinq. Bien que les valeurs de 𝑥 zéro, 𝑦 zéro et 𝑧 zéro de la réponse (E) ne correspondent pas aux coordonnées de 𝑃 un ou 𝑃 deux, cela ne suffit pas pour dire que le point six, un, cinq n’appartient pas à la droite. On peut en effet utiliser n’importe quel point situé sur la droite autre que ceux fournis dans la question.
Nous devons donc nous concentrer sur le calcul d’un vecteur directeur à partir des informations fournies. On peut pour cela calculer le vecteur 𝑃 un, 𝑃 deux. On l’obtient en soustrayant le vecteur quatre, un, cinq au vecteur moins deux, un, trois. Soustraire les composantes correspondantes donne moins six, zéro, moins deux. Il s’agit d’un vecteur directeur de la droite 𝐿. Comme la question ne propose qu’un nombre limité de réponses, nous pouvons comparer ce vecteur directeur aux vecteurs directeurs des réponses (A) à (E).
Pour la réponse (A), le vecteur directeur est égal à moins six, zéro, deux. Dans la réponse (B), il est égal à moins six, zéro, moins deux. Dans les réponses (C), (D) et (E), les vecteurs directeurs sont respectivement deux, un, trois ; six, un, deux ; et quatre, zéro, deux. La seule réponse qui a un vecteur directeur égal à moins six, zéro, moins deux est la réponse (B).
Comme mentionné précédemment, elle passe également par le point 𝑃 un. Nous pouvons donc conclure que parmi les réponses données, les équations de la droite 𝐿 sont 𝑥 égale quatre moins six 𝑡, 𝑦 égale un et z égale cinq moins deux 𝑡. La bonne réponse est la réponse (B). Il est important de noter ici que les équations paramétriques d’une droite ne sont pas uniques. Cependant, comme aucune des quatre autres réponses n’a de vecteur directeur égal ou colinéaire au vecteur directeur moins six, zéro, moins deux, elles ne peuvent pas être correctes.
Avant d’étudier un dernier exemple, nous allons voir comment déterminer les équations paramétriques d’une droite à partir de son équation Cartésienne.
Nous commençons par rappeler que l’équation Cartésienne d’une droite peut également s’écrire sous la forme 𝑥 moins 𝑥 zéro sur 𝐥 égale 𝑦 moins 𝑦 zéro sur 𝐦 égale 𝑧 moins 𝑧 zéro sur 𝐧. Encore une fois, le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro appartient à la droite et le vecteur 𝐥, 𝐦, 𝐧 est un vecteur directeur. Ces valeurs 𝐥, 𝐦 et 𝐧 doivent être des nombres réels non nuls. Cette équation est étroitement liée à l’ensemble des équations paramétriques car les trois membres sont simplement égaux à 𝑡.
Tout d’abord, en considérant que 𝑡 est égal à 𝑥 moins 𝑥 zéro sur 𝐥, on peut multiplier les deux membres de cette équation par 𝐥 puis ajouter 𝑥 zéro aux deux membres, ce qui nous donne 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑡 𝐥. De la même manière, on obtient 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑡 𝐦 et 𝑧 égale 𝑧 zéro plus 𝑡 𝐧. Ce sont les trois équations paramétriques que nous avons déjà vues dans cette vidéo.
Pour compléter cela, il convient également de préciser ce qui se passe lorsqu’une composante du vecteur directeur est égale à zéro ; par exemple, si le vecteur directeur de la droite est 𝐥, 𝐦, zéro. Cela signifie que la troisième équation paramétrique devient 𝑧 égale 𝑧 zéro. Dans ce cas, la droite est orthogonale à l’axe des 𝑧 et se trouve dans un plan parallèle au plan des 𝑥𝑦. Voyons maintenant ce qui se passe lorsque deux composantes du vecteur directeur sont égales à zéro, par exemple, 𝐥, zéro, zéro. Si 𝐦 et 𝐧 sont égaux à zéro, alors 𝑦 égale 𝑦 zéro et 𝑧 égale 𝑧 zéro. Cela signifie que le vecteur directeur n’a qu’une dimension. Et si ce vecteur directeur est parallèle à l’axe des 𝑥, alors 𝑥 est égal à 𝑡.
Nous allons maintenant étudier un exemple où nous devons convertir cette équation Cartésienne d’une droite en équations paramétriques.
Déterminez les équations paramétriques de la droite trois 𝑥 moins sept sur moins neuf égale huit 𝑦 moins trois sur quatre égale moins huit moins six 𝑧 sur moins neuf.
Nous commençons par rappeler que la forme standard d’une équation Cartésienne d’une droite s’écrit 𝑥 moins 𝑥 zéro sur 𝐥 égale 𝑦 moins 𝑦 zéro sur 𝐦 égale 𝑧 moins 𝑧 zéro sur 𝐧. Les trois membres de l’équation de cette question sont légèrement différents de la forme générale. Cela n’a cependant pas d’importance et nous pouvons simplement définir chacun des membres égal au paramètre 𝑡. On commence par 𝑡 égale trois 𝑥 moins sept sur moins neuf. On doit le reformuler pour qu’il soit sous la forme 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑡 𝐥. Cela signifie que l’on doit isoler 𝑥.
En multipliant par moins neuf puis en ajoutant sept aux deux membres, on obtient sept moins neuf 𝑡 égale trois 𝑥. On peut alors diviser par trois, ce qui donne 𝑥 égale sept sur trois moins trois 𝑡. On répète ensuite ce processus en réarrangeant 𝑡 égale huit 𝑦 moins trois sur quatre afin qu’il soit sous la forme 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑡 𝐦. En multipliant par quatre et en ajoutant trois aux deux membres, on obtient trois plus quatre 𝑡 égale huit 𝑦. Puis en divisant par huit, on a 𝑦 égale trois sur huit plus un demi de 𝑡. Enfin, on doit réorganiser l’équation 𝑡 égale moins huit moins six 𝑧 sur moins neuf pour isoler 𝑧. Cela donne 𝑧 égale moins quatre sur trois plus trois sur deux 𝑡.
Nous avons maintenant les trois équations paramétriques dans leur forme requise. La droite trois 𝑥 moins sept sur moins neuf égale huit 𝑦 moins trois sur quatre égale moins huit moins six 𝑧 sur moins neuf a pour équations paramétriques 𝑥 égale sept sur trois moins trois 𝑡, 𝑦 égale trois sur huit plus un demi de 𝑡, et 𝑧 égale moins quatre sur trois plus trois sur deux 𝑡.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Les équations paramétriques d’une droite sont un ensemble d’équations non uniques de la forme 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑡 𝐥, 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑡 𝐦, et 𝑧 égale 𝑧 zéro plus 𝑡 𝐧, où 𝑥 zéro , 𝑦 zéro, 𝑧 zéro est un point sur la droite. 𝐥, 𝐦, 𝐧 est un vecteur directeur de la droite. Et 𝑡 est un nombre réel entre moins l’infini et plus l’infini. Quand 𝐥, 𝐦 et 𝐧 sont tous des nombres réels non nuls, nous pouvons déduire les équations paramétriques de l’équation Cartésienne 𝑥 moins 𝑥 zéro sur 𝐥 égale 𝑦 moins 𝑦 zéro sur 𝐦 égale 𝑧 moins 𝑧 zéro sur 𝐧 en posant chacun de ses membres égal à . Nous pouvons ensuite réorganiser chacune des trois équations afin qu’elles soient écrites sous forme paramétrique.
Lorsqu’une composante du vecteur directeur est nulle, cela signifie que les coordonnées correspondantes de tous les points situés sur la droite sont constantes. Par exemple, si le vecteur directeur est égal à 𝐥, 𝐦, zéro, alors 𝑥 égale 𝑥 zéro plus 𝑡 𝐥, 𝑦 égale 𝑦 zéro plus 𝑡 𝐦 et 𝑧 égale 𝑧 zéro. Lorsque deux composantes du vecteur directeur sont nulles, la droite est parallèle à un axe, ce qui signifie qu’une seule coordonnée varie, tandis que les deux autres sont fixes. Par exemple, les équations paramétriques d’une droite parallèle à l’axe des 𝑥 où le vecteur directeur est 𝐥, zéro, zéro, sont 𝑥 égale 𝑡, 𝑦 égale 𝑦 zéro et 𝑧 égale 𝑧 zéro.
