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Calculez la distance entre les deux plans d’équations moins 𝑥 moins deux 𝑦 moins deux 𝑧 égale moins deux et moins deux 𝑥 moins quatre 𝑦 moins quatre 𝑧 égale trois.
Dans cette question, on nous demande de trouver la distance entre deux plans. Et pour ce faire, la première question que nous pourrions poser est ce que signifie la distance entre deux plans. Chaque fois qu’on nous demande de trouver la distance entre deux plans ou deux droites ou points et plans et points et droites, on parle toujours de la distance perpendiculaire entre les deux. En effet, la distance perpendiculaire sera toujours la plus courte distance entre ces deux objets. Et il est très utile de connaître la distance la plus courte entre deux objets.
Mais nous ne savons pas comment trouver la distance perpendiculaire entre deux plans. Nous allons donc devoir nous faire une idée de ce qui se passe. Et en fait, il y a trois possibilités. La première possibilité est que nous ayons deux plans identiques. Bien sûr, si on nous donne deux plans identiques, alors ces plans on tune inetrsection en chaque point puisqu’il s’agit du même plan. Donc, la distance sera nulle.
La deuxième option consiste en deux plans qui ne sont pas parallèles. Et comme avec deux droites qui ne sont pas parallèles, si deux plans ne sont pas parallèles, ils se croisent. En fait, ils se croisent sur une droite entière. Donc, dans ce cas, la distance sera également nulle. Une façon de le montrer serait de résoudre ces équations comme un système. Nous pourrions alors trouver l’équation de la droite d’intersection.
La troisième option est que nous ayons deux plans parallèles. Et il convient de souligner ici que lorsque nous disons qu’ils sont parallèles, nous voulons également dire qu’ils ne sont pas identiques puisque nous avons déjà couvert cela dans la première option. Et cette option est un peu plus difficile. Comment allons-nous trouver la distance entre deux plans parallèles ? Vu que les plans sont parallèles, nous savons en particulier qu’ils ne vont pas se croiser, donc la distance entre eux est supérieure à zéro. Si nous choisissions un point sur l’un de nos deux plans, nous pourrions calculer la distance perpendiculaire entre le point et le plan simplement en utilisant la formule pour calculer la distance entre un point et un plan.
Mais alors cela poserait une nouvelle question. Comment choisir ce point ? En fait, nous pouvons montrer que peu importe le point que nous choisissons. La distance sera la même. Imaginez que nous ayons choisi un point différent de notre plan. Encore une fois, nous pourrions calculer la distance perpendiculaire en utilisant la formule. Et nous savons que ces deux éléments font un angle droit avec notre plan car il s’agit d’une distance perpendiculaire. Nous voulons ensuite penser au quadrilatère que nous obtiendrions en connectant ces quatre sommets ensemble. En utilisant le fait que ces droites sont parallèles et en utilisant le fait qu’elles sont perpendiculaires, nous pourrions également montrer que ces angles doivent être droits. Par conséquent, il s’agit simplement d’un rectangle. Et nous savons que les côtés opposés d’un rectangle doivent être égaux. Donc, peu importe le point que nous pouvons choisir. Nous pouvons choisir n’importe quel point.
Pour répondre à cette question, nous devons d’abord déterminer dans laquelle des trois situations nous nous trouvons. Et pour ce faire, il pourrait être plus facile d’écrire nos deux plans sous forme vectorielle. Commençons par le premier plan moins 𝑥 moins deux 𝑦 moins deux 𝑧 égale moins deux. Premièrement, nous pouvons trouver un vecteur normal à notre plan en prenant les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Nous obtenons donc le vecteur normal moins un, moins deux, moins deux. Et c’est exactement la même chose que de dire que notre vecteur 𝐫 est le vecteur 𝑥, 𝑦, 𝑧. Et maintenant, nous pouvons voir dans notre équation que le produit scalaire entre ces deux choses doit être égal à moins deux. Donc, cela nous donne la forme vectorielle du premier plan, 𝐫 point moins un, moins deux, moins deux devrait être égal à moins deux.
Nous pouvons alors faire exactement la même chose pour l’autre plan. En faisant exactement la même chose, nous obtenons que l’équation vectorielle de ce plan est 𝐫 point moins deux, moins quatre, moins quatre est égal à trois. Nous voulons donc déterminer la situation dans laquelle nous sommes. Et le moyen le plus simple de le faire est de vérifier si nos deux plans sont parallèles. Et pour ce faire, nous devons nous rappeler comment vérifier si deux plans sont parallèles à partir de leurs formes vectorielles.
Nous rappelons que deux plans seront parallèles si leurs vecteurs normaux sont des multiples scalaires non nuls l’un de l’autre. Et nous pouvons voir que cela est vrai dans ce cas. Nous pouvons voir que si nous fixons le scalaire égal à un demi, alors un demi multiplié par le vecteur moins deux, moins quatre, moins quatre est égal au vecteur moins un, moins deux, moins deux. Nous pouvons donc éliminer la deuxième option parce que nous savons que les plans suivent la même direction. Nous devons tout de même être prudents. Nous devons toujours vérifier qu’ils ne sont pas identiques.
Et le moyen le plus simple de le faire est de multiplier la deuxième équation par le scalaire un demi. Si nous multiplions les deux côtés de cette équation par un demi, nous obtenons l’équation suivante pour notre plan. Maintenant, rappelez-vous, un demi multiplié par le vecteur normal est égal au vecteur normal de l’autre plan. Mais nous remarquons que trois fois un demi n’est pas égal à moins deux. Ces équations ne représentent donc pas le même plan. Ils sont, en fait, parallèles. Tout ce que nous devons faire c’est trouver la distance entre un point de l’un de nos plans et l’autre plan. Et pour ce faire, nous allons commencer par faire de la place.
Maintenant, nous devons nous rappeler comment trouver la distance perpendiculaire entre un point et un plan. Nous rappelons que la distance perpendiculaire entre le point 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et le plan 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro est donnée par la distance 𝐷 majuscule égale valeur absolue de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐𝑧 un plus 𝑑 le tout divisé par racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré. Dans notre cas, le point 𝑃 peut être n’importe quel point de l’un ou l’autre de nos deux plans.
Il suffit donc de trouver un point sur l’un ou l’autre de nos deux plans. Nous pouvons le faire en résolvant l’une des équations. Nous pourrions essayer 𝑥 égale zéro, 𝑦 égale un et 𝑧 égale zéro dans notre premier plan. En substituant ces valeurs dans notre plan, nous pouvons voir que nous obtenons juste moins deux égale moins deux. Donc, ce point se trouve sur le plan. Nous allons donc définir la valeur de 𝑥 un égale à zéro, la valeur de 𝑦 un égale à un et la valeur de 𝑧 un égale à zéro. Nous sommes maintenant presque prêts à utiliser la formule pour trouver cette distance. Nous avons juste besoin de trouver les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 minuscule.
Et nous pouvons le faire directement à partir de l’équation cartésienne du deuxième plan. Nous voyons que 𝑎 est égal à moins deux, 𝑏 est égal à moins quatre et 𝑐 est égal à moins quatre. Cependant, nous devons être prudents car la constante 𝑑 est donnée à droite de notre équation. Cependant, dans notre formule, elle se trouve à gauche de notre équation. Nous devons donc changer de signe. La valeur de 𝑑 va être égale à moins trois.
Maintenant, tout ce qui reste à faire est de substituer les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 minuscules et 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un dans notre formule. Nous obtenons que la distance, 𝐷 majuscule, est égale à la valeur absolue de moins deux fois zéro plus moins quatre fois un plus moins quatre multiplié par zéro moins trois le tout divisé par la racine carrée de moins deux au carré plus moins quatre au carré plus moins quatre au carré. En calculant l’expression au numérateur, nous obtenons la valeur absolue de moins sept. Et en calculant l’expression au dénominateur, nous obtenons la racine carrée de 36.
Et bien sûr, la valeur absolue de moins sept est sept et la racine carrée de 36 est égale à six. Nous obtenons donc sept sur six. Et rappelez-vous, cela représente une distance, donc nous pouvons dire que c’est sept sur six unités de longueur. Par conséquent, nous avons pu montrer que la distance entre les deux plans moins 𝑥 moins deux 𝑦 moins deux 𝑧 égale moins deux et moins deux 𝑥 moins quatre 𝑦 moins quatre 𝑧 égale trois est donnée par sept sur six unités de longueur.
