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Vidéo de la leçon : La distance perpendiculaire entre les points et les plans Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la distance perpendiculaire entre un plan et un point, entre un plan et une droite parallèle à celui-ci, et entre deux plans parallèles en utilisant une formule.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la distance perpendiculaire entre un plan et un point, entre un plan et une droite parallèle à celui-ci, et entre deux plans parallèles à l’aide d’une formule.

Afin de trouver la distance la plus courte entre un point et un plan, nous devons d’abord déterminer exactement ce que l’on entend par la distance la plus courte entre ces deux objets géométriques. Commençons par considérer le plan avec l’équation générale 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 est égal à zéro, ainsi qu’un point avec des coordonnées 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un.

Pour trouver la distance la plus courte entre ces deux objets, considérons d’abord la distance entre le point 𝑃 et un point 𝑅 qui se trouve sur le plan. Nous pouvons montrer que ce n’est pas la distance la plus courte entre le point 𝑃 et le plan en dessinant le triangle rectangle suivant. Nous choisissons un point 𝑄 sur le plan tel que le segment de droite 𝑃𝑄 soit perpendiculaire au plan. Nous pouvons alors voir que le segment de droite 𝑃𝑅 est l’hypoténuse du triangle rectangle, ce qui signifie qu’il est plus long que les autres côtés. En particulier, cela signifie que la longueur 𝑃𝑄 est inférieure à 𝑃𝑅. Et comme nous pouvons dessiner ce triangle pour n’importe quel point 𝑅 qui se trouve sur le plan, le segment de droite est la plus courte distance entre le point 𝑃 et le plan.

Dans cette vidéo, nous citerons simplement la formule qui peut être utilisée pour calculer cette distance que nous appellerons 𝐷. La distance la plus courte ou perpendiculaire à un point 𝑃 de coordonnées 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un et un plan d’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑐𝑧 égale zéro est égale à la valeur absolue de 𝑎𝑥 indice un plus 𝑏𝑦 indice un plus 𝑐𝑧 indice un plus 𝑑, le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré.

Bien qu’elle soit en dehors du cadre de cette leçon, cette formule peut être dérivée en utilisant nos connaissances de la trigonométrie à angle droit avec le produit scalaire de deux vecteurs, dans ce cas, les vecteurs et . Prenons maintenant un exemple où nous pouvons utiliser cette formule pour calculer la distance entre un point et un plan.

Trouvez la distance entre le point moins cinq, moins huit, moins six et le plan moins deux 𝑥 plus 𝑦 plus deux 𝑧 égale sept.

Dans cette question, on nous demande de trouver la distance entre un point et un plan. Nous rappelons que la distance entre un point et un plan signifie la distance perpendiculaire car il s’agit de la distance la plus courte entre les deux objets. Il existe une formule qui nous aide à le faire. La distance perpendiculaire 𝐷 entre un point 𝑥 moins un, 𝑦 moins un, 𝑧 moins un et le plan 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro est donnée par 𝐷 égale la valeur absolue de 𝑎𝑥 moins un plus 𝑏𝑦 moins un plus 𝑐𝑧 indice un plus 𝑑, le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 carré plus 𝑏 carré plus 𝑐 carré.

On nous donne un point avec les coordonnées moins cinq, moins huit, moins six. Cela signifie que 𝑥 indice un est égal à moins cinq, 𝑦 indice un est égal à moins huit, et 𝑧 indice un est égal à moins six. Nous notons que l’équation du plan est donnée dans un format légèrement différent de ce qui est demandé. En soustrayant sept des deux côtés de l’équation, nous avons moins deux 𝑥 plus 𝑦 plus deux 𝑧 moins sept égal à zéro. Puisque 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧, respectivement, nous avons 𝑎 est égal à moins deux, 𝑏 est égal à un et 𝑐 est égal à deux. 𝑑 est égal au terme constant moins sept.

Nous pouvons maintenant utiliser ces valeurs dans la formule. Le numérateur se simplifie à la valeur absolue de 10 plus moins huit plus moins 12 plus moins sept. Et le dénominateur est la racine carrée de quatre plus un plus quatre. Et cela, est égal à la valeur absolue de moins 17 sur la racine de neuf. La valeur absolue d’un nombre est sa distance de zéro, donc la valeur absolue de moins 17 est 17. Et puisque la racine carrée de neuf est trois, nous avons 𝐷 est égal à 17 sur trois. Et nous pouvons donc conclure que la distance entre le point moins cinq, moins huit, moins six et le plan moins deux 𝑥 plus 𝑦 plus deux 𝑧 égale sept est 17 sur trois unités de longueur.

Dans cette question, nous avons calculé la distance entre un point et un plan. Nous allons maintenant voir comment nous pouvons adapter notre formule pour trouver la distance entre une droite et un plan. Si l’équation de notre plan est donnée sous forme vectorielle par opposition à la forme générale, nous pouvons toujours utiliser la même formule pour trouver la distance la plus courte entre un point et un plan. Nous pouvons utiliser le même processus pour trouver la distance la plus courte entre une droite et un plan, en rappelant que si une droite et un plan ne sont pas parallèles et ne coïncident pas, ils se croisent, ce qui signifie que la distance entre eux est zéro.

Ensuite, s’ils sont parallèles et distincts, nous pouvons montrer que la distance la plus courte entre eux est la distance perpendiculaire entre n’importe quel point de la droite et le plan. Dans le graphique représenté, nous choisissons un point arbitraire 𝑃 avec des coordonnées 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un qui se trouve sur la droite, ainsi qu’un point arbitraire 𝑅 qui se trouve sur le plan. Encore une fois, nous voyons que le segment de droite 𝑃𝑅 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, ce qui signifie que la longueur du segment de droite 𝑃𝑄 représente la distance la plus courte avec le plan.

Cela peut être résumé comme suit. La plus courte distance 𝐷 entre une droite parallèle et un plan, avec 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un, un point de la droite, et le plan a pour équation le produit scalaire du vecteur et du vecteur (𝐚, 𝐛, 𝐜) est égal à moins 𝑑, est donné par 𝐷 égale à la valeur absolue de 𝑎𝑥 indice un plus 𝑏𝑦 indice un plus 𝑐𝑧 indice un plus 𝑑 le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 carré plus 𝑏 carré plus 𝑐 carré. Nous allons maintenant voir un exemple où nous devons calculer cette distance.

Trouvez la distance perpendiculaire entre la droite 𝐫 qui est égale à un, deux, quatre plus 𝑡 multipliée par moins deux, un, quatre et le plan qui est égal au produit scalaire de 𝐫 et deux, zéro, un est égal à un.

Cette question implique de trouver la distance perpendiculaire, ou la plus courte, entre une droite et un plan. La droite et le plan sont actuellement donnés sous forme vectorielle. Lorsque l’on considère une droite et un plan, il y a deux possibilités. Premièrement, la droite est parallèle au plan. Ou deuxièmement, elle coupe le plan. Si la droite coupe le plan, la distance la plus courte entre eux est égale à zéro. Cela signifie que la première question que nous devons nous poser est la suivante: la droite et le plan se croisent-ils ou sont-ils parallèles? Commençons par considérer l’équation de la droite. Cela peut être réécrit comme 𝐫 est égal à un moins deux 𝑡, deux plus 𝑡, quatre plus quatre 𝑡.

Nous pouvons maintenant utiliser ce vecteur dans l’équation du plan. Nous avons le produit scalaire, de moins un deux 𝑡, deux plus 𝑡, quatre plus quatre 𝑡 et deux, zéro, un est égal à un. Trouver le produit scalaire nous donne l’équation suivante, et cela se simplifie à deux moins quatre 𝑡 plus quatre plus quatre 𝑡 est égal à un. Sur le côté gauche, les quatre t s’annulent, et il nous reste six égale un. Ceci est incorrect et n’est donc pas vrai pour une valeur de 𝑡. Et nous pouvons donc conclure que la droite et le plan ne se croisent pas et doivent donc être parallèles.

La distance la plus courte entre la droite et le plan peut donc être déterminée en prenant n’importe quel point 𝑃 qui se trouve sur la droite et en trouvant la distance perpendiculaire au plan. Afin de trouver le vecteur position de tout point qui se trouve sur la droite, nous pouvons utiliser toute valeur de t dans notre équation. Par exemple, lorsque 𝑡 est égal à zéro, 𝐫 est égal à un, deux, quatre. Cela signifie que le point avec les coordonnées un, deux, quatre se trouve sur la droite. Et nous le garderons comme le point 𝑃.

Nous allons maintenant rappeler la formule qui nous permet de calculer la distance perpendiculaire, ou la plus courte, d’un point à un plan. Lorsque l’équation du plan est écrite sous forme vectorielle, comme dans ce cas, alors la distance perpendiculaire notée grand 𝐷 est égale à la valeur absolue de 𝑎𝑥 indice un plus 𝑏𝑦 indice un plus 𝑐𝑧 indice un plus 𝑑 le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 carré plus 𝑏 carré plus 𝑐 carré. Les valeurs de 𝑥 indice un, 𝑦 indice un et 𝑧 indice un sont respectivement un, deux et quatre. Avec l’équation vectorielle du plan, nous avons 𝑎 est égal à deux, 𝑏 est égal à zéro et 𝑐 est égal à un. Puisque moins 𝑑 est égal à un, 𝑑 est égal à moins un.

En utilisant nos valeurs, nous avons la distance 𝐷 égale à la valeur absolue de deux multiplié par un plus zéro multiplié par deux plus un multiplié par quatre plus moins un le tout divisé par la racine carrée de deux au carré plus zéro au carré plus un au carré. Cela se simplifie en la valeur absolue de cinq divisée par la racine carrée de cinq, qui à son tour est égale à cinq sur la racine de cinq. Nous pouvons alors rationaliser le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par la racine de cinq. Cela équivaut à cinq racine de cinq sur cinq, ce qui se simplifie en racine de cinq. La distance perpendiculaire entre la droite et le plan donnés est la racine de cinq unités de longueur.

Notre dernier exemple dans cette vidéo impliquera l’utilisation de la formule pour trouver la distance entre deux plans parallèles. Voyons d’abord comment cela peut être fait. Nous commencerons par prendre un point arbitraire 𝑃 sur l’un des plans. Nous pouvons alors calculer la distance perpendiculaire entre ce point et l’autre plan comme précédemment. Dans l’exemple qui suit, les équations des plans seront données sous une forme générale. Cependant, il est important de noter que nous pouvons utiliser la même formule lorsque les équations sont données sous forme vectorielle.

Trouvez la distance entre les deux plans moins 𝑥 moins deux 𝑦 moins deux 𝑧 est égal à moins deux et moins deux 𝑥 moins quatre 𝑦 moins quatre 𝑧 est égal à trois.

Dans cette question, on nous demande de trouver la distance entre deux plans. Cela signifie que nous devons trouver la distance perpendiculaire, ou la plus courte, entre les deux plans. Lorsqu’il s’agit de deux plans, s’ils ne sont pas parallèles, ils se croisent et la distance entre eux sera donc égale à zéro. Cela signifie que la première question que nous devons nous poser est la suivante: les plans sont-ils parallèles? Une façon de le faire est de considérer les vecteurs normaux des deux plans. Ceux-ci sont égaux aux coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 lorsque l’équation du plan est écrite sous forme générale. Le premier plan a un vecteur normal moins un, moins deux, moins deux. Et le deuxième plan a un vecteur normal moins deux, moins quatre, moins quatre. Comme ces deux vecteurs sont des multiples scalaires l’un de l’autre, nous pouvons conclure que les deux plans sont parallèles.

Rappelons maintenant comment nous pouvons trouver la distance entre deux plans parallèles. Si nous choisissons un point 𝑃 sur l’un des plans, nous pouvons calculer la distance 𝐷 entre les deux plans en calculant la distance entre le point 𝑃 et l’autre plan. Cela satisfait la formule 𝐷 est égale à la valeur absolue de 𝑎𝑥 indice un plus 𝑏𝑦 indice un plus 𝑐𝑧 indice un plus 𝑑 le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 carré plus 𝑏 carré plus 𝑐 carré, où le point 𝑃 a les coordonnées 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un et le plan a l’équation 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 est égal à zéro.

Nous commençons par trouver les coordonnées de tout point situé sur le premier plan. Une façon de le faire est de choisir le point où 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 est égal à zéro. En utilisant ces valeurs dans l’équation du premier plan, nous avons moins zéro moins deux multiplié par zéro moins deux 𝑧 est égal à moins deux. Cela se simplifie en moins deux 𝑧 est égal à moins deux. Et en divisant par moins deux, nous avons 𝑧 est égal à un. Cela signifie que les coordonnées d’un point qui se trouve sur le premier plan sont zéro, zéro, un. Et nous avons maintenant des valeurs de 𝑥 indice un, 𝑦 indice un et 𝑧 indice un que nous pouvons utiliser dans notre formule.

En considérant l’équation du deuxième plan, nous voyons que 𝑎 est égal à moins deux et que 𝑏 et 𝑐 sont égaux à moins quatre. Ce sont les coefficients respectifs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Notons que pour trouver 𝐷, nous avons besoin que l’équation du plan soit égale à zéro e nous voyons que 𝐷 est égal à moins trois. En utilisant nos valeurs dans la formule, nous avons la distance 𝐷 est égal à la valeur absolue de moins deux multiplié par zéro plus moins quatre multiplié par zéro plus moins quatre multiplié par un plus moins trois le tout divisé par la racine carrée de moins deux au carré plus moins quatre au carré plus moins quatre au carré. Cela équivaut à la valeur absolue de moins sept sur la racine carrée de 36, qui à son tour est égale à sept sur six.

Nous pouvons donc conclure que la distance entre les deux plans donnés est de sept sur six unités de longueur.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. La distance 𝐷 entre le point 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un et le plan 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 égale zéro est donnée par grand 𝐷 est égale à la valeur absolue de 𝑎𝑥 indice un plus 𝑏𝑦 indice un plus 𝑐𝑧 indice un plus 𝑑 le tout divisé par la racine carrée de 𝑎 carré plus 𝑏 carré plus 𝑐 carré. Nous pouvons utiliser la même formule lorsque l’équation du plan est donnée sous forme vectorielle telle que le produit scalaire du vecteur et du vecteur (𝐚; 𝐛; 𝐜) est égal à moins 𝑑, avec (𝐚; 𝐛; 𝐜) un vecteur normal au plan.

Nous avons également vu que la distance entre une droite parallèle à un plan et ce plan est égale à la distance entre tout point de la droite et le plan. De la même manière, la distance entre deux plans parallèles est égale à la distance entre tout point de l’un ou l’autre plan. Il est important de noter que lorsque nous parlons de cette distance 𝐷, nous entendons la distance la plus courte ou perpendiculaire entre les deux objets.

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