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Fiche explicative de la leçon : Distance perpendiculaire entre les points et les plans Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la distance perpendiculaire entre un plan et un point, entre un plan et une droite parallèle à celui-ci, et entre deux plans parallèles en utilisant une formule.

Pour déterminer la plus courte distance entre un point et une droite, on doit d’abord définir exactement ce qu’on entend par la plus courte distance entre ces deux objets géométriques. Pour ce faire, on note d’abord que si un point 𝑃(𝑥;𝑦;𝑧) se trouve sur le plan 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0, alors la distance entre ces objets sera nulle. Ainsi, nous allons supposer que notre point ne se situe pas sur le plan.

Pour déterminer la distance la plus courte entre ces objets, considérons d’abord la distance entre 𝑃 et un point 𝑅 dans notre plan.

On peut démontrer que ceci n’est pas la plus courte distance entre 𝑃 et le plan en construisant le triangle rectangle suivant.

On choisit le point 𝑄 sur notre plan de sorte que le segment 𝑃𝑄 est perpendiculaire au plan. On peut alors voir que 𝑃𝑅 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, ce qui signifie qu’il doit être plus long que les autres côtés. En particulier, cela signifie que la longueur de 𝑃𝑄 est inférieure à celle de 𝑃𝑅. On peut construire ce triangle pour n’importe quel point 𝑅 dans notre plan, pour faire en sorte que 𝑃𝑄 soit la distance la plus courte entre le point 𝑃 et le plan.

On appelle cela la distance perpendiculaire entre le point et le plan, car 𝑃𝑄 est perpendiculaire au plan. On pourrait déterminer cette distance en déterminant les coordonnées de 𝑄;Cependant, il existe une méthode plus simple.

Pour calculer cette distance, nous allons commencer par définir 𝑅𝑃𝑄=𝜃 et ||𝑃𝑄||=𝐷. Nous allons également introduire les vecteurs 𝑃𝑅 et 𝑃𝑄.

On voit sur notre diagramme que 𝐷 est la longueur du côté adjacent à l’angle 𝜃 dans un triangle rectangle;cela nous dit que coscôtéadjacenthypoténuse𝜃==𝐷𝑃𝑅.

En particulier, on obtient l’équation 𝑃𝑅𝜃=𝐷.cos

On peut construire une autre équation qui contient l’expression 𝑃𝑅𝜃cos en rappelant la propriété suivante des vecteurs.

Définition : Le produit scalaire de deux vecteurs

Si 𝜃 est la valeur de l’angle entre deux vecteurs 𝑢 et 𝑣, alors 𝑢𝑣=𝑢𝑣𝜃.cos

Lorsqu’on applique cette propriété aux vecteurs 𝑃𝑄 et 𝑃𝑅 on obtient 𝑃𝑄𝑃𝑅=𝑃𝑄𝑃𝑅𝜃.cos

On peut réarranger cette équation pour obtenir 𝑃𝑄𝑃𝑅𝑃𝑄=𝑃𝑅𝜃=𝐷.cos

Cependant, on ne peut pas directement évaluer cette expression car les coordonnées de 𝑄 sont inconnues. Il est possible de contourner cela en rappelant que 𝑃𝑄 est perpendiculaire au plan et on peut trouver un autre vecteur perpendiculaire au plan.

Rappelons que le vecteur (𝑎,𝑏,𝑐) est perpendiculaire au plan 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0. Donc, étant donné que (𝑎,𝑏,𝑐) et 𝑃𝑄 sont perpendiculaires au plan, on doit avoir (𝑎,𝑏,𝑐)𝑃𝑄.

On rappel que deux vecteurs sont parallèles s’ils sont des multiples scalaires non nuls l’un de l’autre;nous allons noter ce scalaire 𝑘:𝑃𝑄=𝑘(𝑎,𝑏,𝑐).

On peut utiliser cela pour déterminer la distance perpendiculaire 𝐷. On commence par introduire cette expression dans notre équation du produit scalaire et on simplifie:𝐷=𝑃𝑄𝑃𝑅𝑃𝑄=𝑘(𝑎,𝑏,𝑐)𝑃𝑅𝑘(𝑎,𝑏,𝑐)=𝑘(𝑎,𝑏,𝑐)𝑃𝑅|𝑘|(𝑎,𝑏,𝑐).

Ensuite, on doit faire attention en simplifiant 𝑘|𝑘|, car on ne sait pas si 𝑘 est négatif ou positif. Cependant, on sait que 𝐷 est une longueur et doit donc être positive. Cela signifie qu’on peut prendre la valeur absolue des deux côtés de cette équation:𝐷=𝑘(𝑎,𝑏,𝑐)𝑃𝑅|𝑘|(𝑎,𝑏,𝑐),|𝐷|=|||𝑘(𝑎,𝑏,𝑐)𝑃𝑅|𝑘|(𝑎,𝑏,𝑐)|||.

On peut alors simplifier cette équation en utilisant les propriétés de la valeur absolue:𝐷=||𝑘(𝑎,𝑏,𝑐)𝑃𝑅|||𝑘|(𝑎,𝑏,𝑐)=|𝑘|||(𝑎,𝑏,𝑐)𝑃𝑅|||𝑘|(𝑎,𝑏,𝑐)=||(𝑎,𝑏,𝑐)𝑃𝑅||(𝑎,𝑏,𝑐).

On pourrait laisser l’expression de 𝐷 sous cette forme;cependant, il est possible de la simplifier davantage. Rappelons que 𝑅 est un point quelconque sur notre plan;supposons que 𝑅=(𝑥;𝑦;𝑧).

On peut alors déterminer les composantes de 𝑃𝑅:𝑃𝑅=(𝑥,𝑦,𝑧)(𝑥,𝑦,𝑧)=(𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧).

Ensuite, on peut introduire cette expression dans notre équation de 𝐷 et évaluer le produit scalaire:𝐷=||(𝑎,𝑏,𝑐)𝑃𝑅||(𝑎,𝑏,𝑐)=|(𝑎,𝑏,𝑐)(𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧)|(𝑎,𝑏,𝑐)=|𝑎(𝑥𝑥)+𝑏(𝑦𝑦)+𝑐(𝑧𝑧)|(𝑎,𝑏,𝑐)=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧(𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧)|(𝑎,𝑏,𝑐).

Enfin, nous allons utiliser le fait que 𝑅 se trouve sur le plan 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0;cela signifie que 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0.

On peut réorganiser cela pour obtenir 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧=𝑑.

Si on remplace cela dans notre équation de 𝐷 et on simplifie, on obtient 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧(𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧)||(𝑎,𝑏,𝑐)=|𝑑(𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧)|(𝑎,𝑏,𝑐)=|(𝑑+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧)|(𝑎,𝑏,𝑐)=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|(𝑎,𝑏,𝑐)=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐.

On peut résumer ce résultat comme suit.

Définition : Distance entre un point et un plan

La distance la plus courte (ou la distance perpendiculaire), 𝐷, entre le point (𝑥;𝑦;𝑧) et le plan 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0 est définie par 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐.

Voyons un exemple qui illustre comment utiliser cette formule pour déterminer la distance perpendiculaire entre un point et un plan sous la forme générale.

Exemple 1: Déterminer la distance entre un point et un plan

Déterminez la distance entre le point (5;8;6) et le plan 2𝑥+𝑦+2𝑧=7.

Réponse

Nous voulons déterminer la distance entre un point et un plan. Pour ce faire, rappelons que la distance entre un point et un plan est la distance perpendiculaire, car c’est la distance la plus courte entre ces deux objets.

Pour trouver la distance perpendiculaire, rappelons la formule suivante.

La distance perpendiculaire, 𝐷, entre le point (𝑥;𝑦;𝑧) et le plan 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0 est définie par 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐.

On a (𝑥;𝑦;𝑧)=(5;8;6) et on doit réécrire l’équation du plan 2𝑥+𝑦+2𝑧=72𝑥+𝑦+2𝑧7=0.

Donc, 𝑎=2, 𝑏=1, 𝑐=2 et 𝑑=7.

Si on introduit ces valeurs dans notre formule, on obtient 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐=|(2)(5)+(1)(8)+(2)(6)7|(2)+1+2=|17|9=173.unitésdelongueur

On peut ajouter unités de longueur à cette valeur car elle représente une longueur.

Ainsi, nous avons pu démontrer que la distance entre le point (5;8;6) et le plan 2𝑥+𝑦+2𝑧=7 est 173unitésdelongueur.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment utiliser cette formule pour déterminer la distance entre un point et un plan sous forme vectorielle.

Exemple 2: Déterminer la distance entre un point et un plan

Déterminez la distance entre le point (2;1;3) et le plan 𝑟(2;2;1)=3.

Réponse

Nous voulons déterminer la distance entre un point et un plan. Pour ce faire, rappelons que la distance, 𝐷, entre le point (𝑥;𝑦;𝑧) et le plan 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0 est définie par 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐.

On ne peut pas directement utiliser cette formule car notre plan est sous forme vectorielle. Donc, pour utiliser notre formule, il faut convertir le plan en la forme générale pour l’équation de notre plan.

Pour ce faire, on introduit 𝑟=(𝑥,𝑦,𝑧) dans l’équation vectorielle de notre plan:𝑟(2,2,1)=3(𝑥,𝑦,𝑧)(2,2,1)=32𝑥+2𝑦+𝑧=3.

Ensuite, on soustrait 3 des deux côtés de l’équation:2𝑥+2𝑦+𝑧3=0.

À présent que l’équation de notre plan est sous la forme générale, on peut utiliser la formule de la distance. On a (𝑥;𝑦;𝑧)=(2;1;3), 𝑎=2, 𝑏=2, 𝑐=1 et 𝑑=3;lorsqu’on substitue ces valeurs, on obtient 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐=|(2)(2)+(2)(1)+(1)(3)3|(2)+2+1=|6|9=2;unitésdelongueur on peut ajouter unités de longueur à cette valeur car elle représente une longueur.

Ainsi, nous avons pu démontrer que la distance entre le point (2;1;3) et le plan 𝑟(2;2;1)=3 est 2unitésdelongueur.

Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé la distance entre un point et un plan donné sous forme vectorielle en déterminant l’équation de notre plan sous forme cartésienne. On peut utiliser cette procédure pour trouver une formule pour la distance entre un point et un plan sous forme vectorielle.

On peut toujours réécrire le plan avec l’équation 𝑟(𝑎,𝑏,𝑐)=𝑑 sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0. Lorsqu’on utilise la formule de la distance perpendiculaire on obtient le résultat suivant.

Théorème : Distance entre un point et un plan sous forme vectorielle

La distance la plus courte (ou la distance perpendiculaire), 𝐷, entre le point (𝑥;𝑦;𝑧) et le plan 𝑟(𝑎,𝑏,𝑐)=𝑑 est définie par 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐.

On aurait pu utiliser ce résultat pour directement évaluer la distance qui nous est donnée dans le deuxième exemple.

On peut utiliser cette même procédure pour déterminer la distance entre une droite et un plan. Tout d’abord, si la droite et le plan ne sont pas parallèles ou non distincts, alors ils se croisent, et donc la distance entre eux est égale à 0. Ensuite, s’ils sont parallèles et distincts, alors, on peut démontrer que la distance la plus courte entre eux est la distance perpendiculaire entre n’importe quel point de la droite et le plan. Considérons la distance entre un point arbitraire 𝑃 sur une droite et un autre point arbitraire 𝑅 sur le plan parallèle à la droite.

On peut démontrer que 𝑃𝑅 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, donc que cette distance est toujours supérieure à la distance perpendiculaire entre le point 𝑃 et le plan. Enfin, comme la droite et le plan sont parallèles, la distance entre eux est constante, donc on peut choisir n’importe quel point 𝑃 sur la droite et la distance sera la même, ce qui signifie qu’on peut utiliser la formule de la distance entre un point et un plan.

Théorème : Distance entre une droite et un plan sous forme vectorielle

La distance la plus courte (ou la distance perpendiculaire), 𝐷, entre une droite parallèle et un plan, où (𝑥;𝑦;𝑧) est un point sur la droite et le plan a pour équation 𝑟(𝑎,𝑏,𝑐)=𝑑, est définie par 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐.

Dans les deux exemples suivants, nous allons voir comment utiliser ce théorème pour déterminer la distance entre une droite parallèle à un plan et le plan.

Exemple 3: Déterminer la distance entre une droite et un plan

Déterminez la distance perpendiculaire entre la droite 𝑟=(1;2;4)+𝑡(2;1;4) et le plan 𝑟(2;0;1)=1.

Réponse

La question nous demande de déterminer la distance perpendiculaire entre une droite et un plan. On veut déterminer si elles se croisent;pour ce faire, on réécrit d’abord la droite comme 𝑟=(12𝑡,2+𝑡,4+4𝑡).

Ensuite, on introduit cela dans l’équation du plan:(12𝑡,2+𝑡,4+4𝑡)(2,0,1)=12(12𝑡)+0(2+𝑡)+1(4+4𝑡)=124𝑡+4+4𝑡=16=1.

Cette équation ne sera vraie pour aucune valeur de 𝑡, et donc la droite et le plan ne se croisent pas. Donc, ils sont parallèles.

Alternativement, on peut démontrer que la droite et le plan sont parallèles en montrant que le vecteur normal au plan et le vecteur direction de la droite sont perpendiculaires;on peut le faire en calculant leur produit scalaire:(2,1,4)(2,0,1)=(2×2)+(1×0)+(4×1)=4+4=0.

Ainsi, la droite est perpendiculaire au vecteur normal du plan, et donc la droite et le plan sont parallèles.

On rappelle que la distance entre une droite et un plan est égale à la distance entre n’importe quel point de la droite et le plan. On sait que le point (1;2;4) se situe sur la droite, car il s’agit du vecteur position lorsque 𝑡=0, et que la distance perpendiculaire, 𝐷, entre le point (𝑥;𝑦;𝑧) et le plan 𝑟(𝑎,𝑏,𝑐)=𝑑 est définie par 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐.

On introduit 𝑎=2, 𝑏=0, 𝑐=1, 𝑑=1, 𝑥=1, 𝑦=2 et 𝑧=4 dans la formule pour obtenir 𝐷=|(2)(1)+(0)(2)+(1)(4)1|(2)+(0)+(1)=|5|5=5.

Ainsi, la distance entre la droite et le plan est égale à 5 unités de longueur

Exemple 4: Déterminer la distance entre une droite et un plan

Déterminez la distance entre la droite 𝑥12=𝑦24=𝑧+52 et le plan 3𝑥2𝑦+𝑧=2. Donnez votre réponse au dixième près.

Réponse

La question nous demande de déterminer la distance perpendiculaire entre une droite et un plan. On doit déterminer si elles se croisent. On vérifie d’abord si la droite et le plan sont parallèles. Pour que la droite et le plan soient parallèles, le vecteur direction de la droite doit être perpendiculaire au vecteur normal du plan. On peut vérifier cela en calculant leur produit scalaire. Le vecteur direction de la droite est (2;4;2) et le vecteur normal du plan est (3;2;1) ce qui donne (2,4,2)(3,2,1)=(2×3)+(4×(2))+(2×1)=68+2=0.

Comme le produit scalaire est égal à zéro, la droite est perpendiculaire au vecteur normal du plan, ce qui signifie qu’ils sont parallèles.

On rappelle que la distance entre une droite parallèle et un plan est la même que la distance entre n’importe quel point sur la droite et le plan. Si on définit chaque partie de l’équation cartésienne de la droite comme étant égale à zéro et on résout, on obtient que (1;2;5) se trouve sur la droite. On sait aussi que la distance, 𝐷, entre le point (𝑥;𝑦;𝑧) et le plan 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0 est définie par 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐.

Si on introduit 𝑥=1, 𝑦=2, 𝑧=5, 𝑎=3, 𝑏=2, 𝑐=1 et 𝑑=2 dans cette formule on obtient 𝐷=|3(1)+(2)(2)+(1)(5)+2|3+(2)+1=|4|141,1.unitésdelongueur

Ainsi, la distance entre la droite et le plan au dixième près est égale à 1,1 unités de longueur.

On peut aussi utiliser ces formules pour déterminer la distance entre deux plans parallèles. Pour ce faire, on peut essayer de déterminer la distance entre un point arbitraire sur chaque plan, que nous allons noter 𝑃 et 𝑅.

Cependant, si on compare cela à la distance perpendiculaire, on peut voir que 𝑃𝑅 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, ce qui signifie qu’il est plus long que la distance perpendiculaire. Cela est vrai pour les deux points choisis. En d’autres termes, la distance la plus courte entre deux plans parallèles est la distance perpendiculaire. En effet, comme les plans parallèles restent à la même distance, on peut choisir n’importe quel point 𝑃 pour servir de point de départ. Ainsi, on peut utiliser les formules de la distance entre un point et un plan pour déterminer la distance entre deux plans parallèles.

Dans le dernier exemple, nous allons voir comment utiliser cette procédure pour déterminer la distance entre deux plans parallèles.

Exemple 5: Déterminer la distance entre deux plans

Déterminez la distance entre les deux plans 𝑥2𝑦2𝑧=2 et 2𝑥4𝑦4𝑧=3.

Réponse

Nous voulons déterminer la distance entre deux plans. Pour ce faire, nous allons commencer par vérifier si les deux plans sont parallèles, pour ensuite utiliser la formule de la distance perpendiculaire.

On rappelle que deux plans sont parallèles si les vecteurs normaux à chaque plan sont parallèles. Le vecteur normal à chaque plan est défini par les coefficients, donc les vecteurs normaux des deux plans sont (1;2;2) et (2;4;4), qui sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Donc, les plans sont parallèles.

On veut trouver un point sur l’un des plans;pour ce faire, on peut introduire 𝑥=0 et 𝑦=0 dans l’équation du premier plan:02(0)2𝑧=22𝑧=2𝑧=1.

Cela signifie que le point (0;0;1) se situe sur le premier plan. Pour déterminer la distance entre les deux plans, on détermine la distance entre le point (0;0;1) et le plan 2𝑥4𝑦4𝑧=3.

On rappelle que la distance perpendiculaire, 𝐷, entre le point (𝑥;𝑦;𝑧) et le plan 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0 est définie par 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐.

Pour appliquer cela, on doit réécrire l’équation du plan en soustrayant 3 des deux côtés de l’équation:2𝑥4𝑦4𝑧3=0.

Cela nous donne 𝑎=2, 𝑏=4, 𝑐=4 et 𝑑=3. Lorsqu’on introduit ces valeurs et notre point dans la formule, on obtient 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐=|(2)(0)+(4)(0)+(4)(1)+(3)|(2)+(4)+(4)=|7|36=76.unitésdelongueur

On peut ajouter unités de longueur à cette valeur car elle représente une longueur.

Ainsi, nous avons pu démontrer que la distance entre deux plans 𝑥2𝑦2𝑧=2 et 2𝑥4𝑦4𝑧=3 est 76unitésdelongueur.

Récapitulons à présent certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • La distance, 𝐷, entre le point (𝑥;𝑦;𝑧) et le plan 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑=0 est définie par 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐.
  • La distance, 𝐷, entre le point (𝑥;𝑦;𝑧) et le plan 𝑟(𝑎,𝑏,𝑐)=𝑑 est définie par 𝐷=|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑|𝑎+𝑏+𝑐.
  • La distance entre une droite parallèle à un plan et le plan est égale à la distance entre n’importe quel point de la droite et le plan.
  • La distance entre deux plans parallèles est égale à la distance entre n’importe quel point de l’un des plans et l’autre plan.
  • La distance perpendiculaire entre un point et un plan est la distance la plus courte entre ces deux objets.

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