Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la distance perpendiculaire entre un plan et un point, entre un plan et une droite parallèle à celui-ci, et entre deux plans parallèles en utilisant une formule.
Pour déterminer la plus courte distance entre un point et une droite, on doit d’abord définir exactement ce qu’on entend par la plus courte distance entre ces deux objets géométriques. Pour ce faire, on note d’abord que si un point se trouve sur le plan , alors la distance entre ces objets sera nulle. Ainsi, nous allons supposer que notre point ne se situe pas sur le plan.
Pour déterminer la distance la plus courte entre ces objets, considérons d’abord la distance entre et un point dans notre plan.
On peut démontrer que ceci n’est pas la plus courte distance entre et le plan en construisant le triangle rectangle suivant.
On choisit le point sur notre plan de sorte que le segment est perpendiculaire au plan. On peut alors voir que est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, ce qui signifie qu’il doit être plus long que les autres côtés. En particulier, cela signifie que la longueur de est inférieure à celle de . On peut construire ce triangle pour n’importe quel point dans notre plan, pour faire en sorte que soit la distance la plus courte entre le point et le plan.
On appelle cela la distance perpendiculaire entre le point et le plan, car est perpendiculaire au plan. On pourrait déterminer cette distance en déterminant les coordonnées de ; Cependant, il existe une méthode plus simple.
Pour calculer cette distance, nous allons commencer par définir et . Nous allons également introduire les vecteurs et .
On voit sur notre diagramme que est la longueur du côté adjacent à l’angle dans un triangle rectangle ; cela nous dit que
En particulier, on obtient l’équation
On peut construire une autre équation qui contient l’expression en rappelant la propriété suivante des vecteurs.
Définition : Le produit scalaire de deux vecteurs
Si est la valeur de l’angle entre deux vecteurs et , alors
Lorsqu’on applique cette propriété aux vecteurs et on obtient
On peut réarranger cette équation pour obtenir
Cependant, on ne peut pas directement évaluer cette expression car les coordonnées de sont inconnues. Il est possible de contourner cela en rappelant que est perpendiculaire au plan et on peut trouver un autre vecteur perpendiculaire au plan.
Rappelons que le vecteur est perpendiculaire au plan . Donc, étant donné que et sont perpendiculaires au plan, on doit avoir .
On rappel que deux vecteurs sont parallèles s’ils sont des multiples scalaires non nuls l’un de l’autre ; nous allons noter ce scalaire :
On peut utiliser cela pour déterminer la distance perpendiculaire . On commence par introduire cette expression dans notre équation du produit scalaire et on simplifie :
Ensuite, on doit faire attention en simplifiant , car on ne sait pas si est négatif ou positif. Cependant, on sait que est une longueur et doit donc être positive. Cela signifie qu’on peut prendre la valeur absolue des deux côtés de cette équation :
On peut alors simplifier cette équation en utilisant les propriétés de la valeur absolue :
On pourrait laisser l’expression de sous cette forme ; cependant, il est possible de la simplifier davantage. Rappelons que est un point quelconque sur notre plan ; supposons que .
On peut alors déterminer les composantes de :
Ensuite, on peut introduire cette expression dans notre équation de et évaluer le produit scalaire :
Enfin, nous allons utiliser le fait que se trouve sur le plan ; cela signifie que
On peut réorganiser cela pour obtenir
Si on remplace cela dans notre équation de et on simplifie, on obtient
On peut résumer ce résultat comme suit.
Définition : Distance entre un point et un plan
La distance la plus courte (ou la distance perpendiculaire), , entre le point et le plan est définie par
Voyons un exemple qui illustre comment utiliser cette formule pour déterminer la distance perpendiculaire entre un point et un plan sous la forme générale.
Exemple 1: Déterminer la distance entre un point et un plan
Déterminez la distance entre le point et le plan .
Réponse
Nous voulons déterminer la distance entre un point et un plan. Pour ce faire, rappelons que la distance entre un point et un plan est la distance perpendiculaire, car c’est la distance la plus courte entre ces deux objets.
Pour trouver la distance perpendiculaire, rappelons la formule suivante.
La distance perpendiculaire, , entre le point et le plan est définie par
On a et on doit réécrire l’équation du plan
Donc, , , et .
Si on introduit ces valeurs dans notre formule, on obtient
On peut ajouter unités de longueur à cette valeur car elle représente une longueur.
Ainsi, nous avons pu démontrer que la distance entre le point et le plan est .
Dans le prochain exemple, nous allons voir comment utiliser cette formule pour déterminer la distance entre un point et un plan sous forme vectorielle.
Exemple 2: Déterminer la distance entre un point et un plan
Déterminez la distance entre le point et le plan .
Réponse
Nous voulons déterminer la distance entre un point et un plan. Pour ce faire, rappelons que la distance, , entre le point et le plan est définie par
On ne peut pas directement utiliser cette formule car notre plan est sous forme vectorielle. Donc, pour utiliser notre formule, il faut convertir le plan en la forme générale pour l’équation de notre plan.
Pour ce faire, on introduit dans l’équation vectorielle de notre plan :
Ensuite, on soustrait 3 des deux côtés de l’équation :
À présent que l’équation de notre plan est sous la forme générale, on peut utiliser la formule de la distance. On a , , , et ; lorsqu’on substitue ces valeurs, on obtient on peut ajouter unités de longueur à cette valeur car elle représente une longueur.
Ainsi, nous avons pu démontrer que la distance entre le point et le plan est .
Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé la distance entre un point et un plan donné sous forme vectorielle en déterminant l’équation de notre plan sous forme cartésienne. On peut utiliser cette procédure pour trouver une formule pour la distance entre un point et un plan sous forme vectorielle.
On peut toujours réécrire le plan avec l’équation sous la forme . Lorsqu’on utilise la formule de la distance perpendiculaire on obtient le résultat suivant.
Théorème : Distance entre un point et un plan sous forme vectorielle
La distance la plus courte (ou la distance perpendiculaire), , entre le point et le plan est définie par
On aurait pu utiliser ce résultat pour directement évaluer la distance qui nous est donnée dans le deuxième exemple.
On peut utiliser cette même procédure pour déterminer la distance entre une droite et un plan. Tout d’abord, si la droite et le plan ne sont pas parallèles ou non distincts, alors ils se croisent, et donc la distance entre eux est égale à 0. Ensuite, s’ils sont parallèles et distincts, alors, on peut démontrer que la distance la plus courte entre eux est la distance perpendiculaire entre n’importe quel point de la droite et le plan. Considérons la distance entre un point arbitraire sur une droite et un autre point arbitraire sur le plan parallèle à la droite.
On peut démontrer que est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, donc que cette distance est toujours supérieure à la distance perpendiculaire entre le point et le plan. Enfin, comme la droite et le plan sont parallèles, la distance entre eux est constante, donc on peut choisir n’importe quel point sur la droite et la distance sera la même, ce qui signifie qu’on peut utiliser la formule de la distance entre un point et un plan.
Théorème : Distance entre une droite et un plan sous forme vectorielle
La distance la plus courte (ou la distance perpendiculaire), , entre une droite parallèle et un plan, où est un point sur la droite et le plan a pour équation , est définie par
Dans les deux exemples suivants, nous allons voir comment utiliser ce théorème pour déterminer la distance entre une droite parallèle à un plan et le plan.
Exemple 3: Déterminer la distance entre une droite et un plan
Déterminez la distance perpendiculaire entre la droite et le plan .
Réponse
La question nous demande de déterminer la distance perpendiculaire entre une droite et un plan. On veut déterminer si elles se croisent ; pour ce faire, on réécrit d’abord la droite comme
Ensuite, on introduit cela dans l’équation du plan :
Cette équation ne sera vraie pour aucune valeur de , et donc la droite et le plan ne se croisent pas. Donc, ils sont parallèles.
Alternativement, on peut démontrer que la droite et le plan sont parallèles en montrant que le vecteur normal au plan et le vecteur direction de la droite sont perpendiculaires ; on peut le faire en calculant leur produit scalaire :
Ainsi, la droite est perpendiculaire au vecteur normal du plan, et donc la droite et le plan sont parallèles.
On rappelle que la distance entre une droite et un plan est égale à la distance entre n’importe quel point de la droite et le plan. On sait que le point se situe sur la droite, car il s’agit du vecteur position lorsque , et que la distance perpendiculaire, , entre le point et le plan est définie par
On introduit , , , , , et dans la formule pour obtenir
Ainsi, la distance entre la droite et le plan est égale à unités de longueur
Exemple 4: Déterminer la distance entre une droite et un plan
Déterminez la distance entre la droite et le plan . Donnez votre réponse au dixième près.
Réponse
La question nous demande de déterminer la distance perpendiculaire entre une droite et un plan. On doit déterminer si elles se croisent. On vérifie d’abord si la droite et le plan sont parallèles. Pour que la droite et le plan soient parallèles, le vecteur direction de la droite doit être perpendiculaire au vecteur normal du plan. On peut vérifier cela en calculant leur produit scalaire. Le vecteur direction de la droite est et le vecteur normal du plan est ce qui donne
Comme le produit scalaire est égal à zéro, la droite est perpendiculaire au vecteur normal du plan, ce qui signifie qu’ils sont parallèles.
On rappelle que la distance entre une droite parallèle et un plan est la même que la distance entre n’importe quel point sur la droite et le plan. Si on définit chaque partie de l’équation cartésienne de la droite comme étant égale à zéro et on résout, on obtient que se trouve sur la droite. On sait aussi que la distance, , entre le point et le plan est définie par
Si on introduit , , , , , et dans cette formule on obtient
Ainsi, la distance entre la droite et le plan au dixième près est égale à 1,1 unités de longueur.
On peut aussi utiliser ces formules pour déterminer la distance entre deux plans parallèles. Pour ce faire, on peut essayer de déterminer la distance entre un point arbitraire sur chaque plan, que nous allons noter et .
Cependant, si on compare cela à la distance perpendiculaire, on peut voir que est l’hypoténuse d’un triangle rectangle, ce qui signifie qu’il est plus long que la distance perpendiculaire. Cela est vrai pour les deux points choisis. En d’autres termes, la distance la plus courte entre deux plans parallèles est la distance perpendiculaire. En effet, comme les plans parallèles restent à la même distance, on peut choisir n’importe quel point pour servir de point de départ. Ainsi, on peut utiliser les formules de la distance entre un point et un plan pour déterminer la distance entre deux plans parallèles.
Dans le dernier exemple, nous allons voir comment utiliser cette procédure pour déterminer la distance entre deux plans parallèles.
Exemple 5: Déterminer la distance entre deux plans
Déterminez la distance entre les deux plans et .
Réponse
Nous voulons déterminer la distance entre deux plans. Pour ce faire, nous allons commencer par vérifier si les deux plans sont parallèles, pour ensuite utiliser la formule de la distance perpendiculaire.
On rappelle que deux plans sont parallèles si les vecteurs normaux à chaque plan sont parallèles. Le vecteur normal à chaque plan est défini par les coefficients, donc les vecteurs normaux des deux plans sont et , qui sont des multiples scalaires l’un de l’autre. Donc, les plans sont parallèles.
On veut trouver un point sur l’un des plans ; pour ce faire, on peut introduire et dans l’équation du premier plan :
Cela signifie que le point se situe sur le premier plan. Pour déterminer la distance entre les deux plans, on détermine la distance entre le point et le plan .
On rappelle que la distance perpendiculaire, , entre le point et le plan est définie par
Pour appliquer cela, on doit réécrire l’équation du plan en soustrayant 3 des deux côtés de l’équation :
Cela nous donne , , et . Lorsqu’on introduit ces valeurs et notre point dans la formule, on obtient
On peut ajouter unités de longueur à cette valeur car elle représente une longueur.
Ainsi, nous avons pu démontrer que la distance entre deux plans et est .
Récapitulons à présent certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- La distance, , entre le point et le plan est définie par
- La distance, , entre le point et le plan est définie par
- La distance entre une droite parallèle à un plan et le plan est égale à la distance entre n’importe quel point de la droite et le plan.
- La distance entre deux plans parallèles est égale à la distance entre n’importe quel point de l’un des plans et l’autre plan.
- La distance perpendiculaire entre un point et un plan est la distance la plus courte entre ces deux objets.
