Transcription de la vidéo
Déterminez la valeur de l’intégrale définie de moins deux à un de 𝑢 plus deux fois 𝑢 plus un par rapport à 𝑢.
Dans cette question, on nous demande d'évaluer l'intégrale définie du produit de deux fonctions linéaires. On sait que cela nous donnera une fonction du second degré. Et on sait que l'intégrale définie représente l'aire sous une courbe. Mais on ne sait pas comment trouver directement l'aire sous une courbe d’une fonction du second degré. Il faut donc utiliser le théorème fondamental de l'analyse.
On rappelle la partie suivante du théorème fondamental de l'analyse. Si 𝑓 minuscule est continue sur un intervalle fermé de 𝑎 à 𝑏 et 𝐹 majuscule prime de 𝑢 est égale à 𝑓 minuscule de 𝑢, alors l'intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 minuscule de 𝑢 par rapport à 𝑢 est égale à 𝐹 majuscule de 𝑏 moins 𝐹 majuscule de 𝑎. Autrement dit, si notre terme à intégrer est continu sur l'intervalle d'intégration et que nous pouvons trouver une primitive de notre terme à intégrer, alors nous pouvons calculer notre intégrale définie en évaluant notre primitive.
La première chose que nous devons faire est de vérifier que nous pouvons utiliser le théorème fondamental de l'analyse dans cette intégrale. Nous constatons que la borne inférieure de l'intégral est moins deux et que la borne supérieure est un. Donc, nous allons définir 𝑎 comme étant égale à moins deux et 𝑏 comme étant égale un. Ensuite, il faudra définir notre terme à intégrer comme étant notre fonction 𝑓 minuscule de 𝑢. Pour utiliser le théorème fondamental de l'analyse, il faut vérifier que le terme à intégrer est continu sur l'intervalle d'intégration. Dans ce cas, c'est l'intervalle fermé moins deux un.
Dans ce cas, on peut voir que notre terme à intégrer est le produit de deux fonctions linéaires. Et on sait que cela va nous donner une fonction du second degré. Et une fonction du second degré est un exemple d’une fonction polynôme. Et nous savons que tous les polynômes sont continus pour tous les nombres réels. Donc, elle sera continue sur tout intervalle fermé. Cela signifie que tout ce que nous devons faire maintenant pour évaluer cette intégrale définie est de trouver la primitive de notre terme à intégrer.
Et la façon la plus simple est de se rappeler que l'intégrale définie de 𝑢 plus deux fois 𝑢 plus un par rapport à 𝑢 nous donnera la primitive générale de cette fonction. Il nous suffit donc d'évaluer cette intégrale définie. Pour ce faire, nous allons développer nos parenthèses. En développant les parenthèses et en simplifiant, on obtient l'intégrale de 𝑢 au carré plus trois 𝑢 plus deux par rapport à 𝑢.
Et maintenant, c'est juste l'intégrale d'un polynôme. Et on peut faire ça terme par terme en utilisant la règle de l'intégration d’une puissance. On ajoute un à nos exposants de 𝑢 et on divise par ce nouvel exposant. Cela nous donne 𝑢 au cube sur trois plus trois 𝑢 au carré sur deux plus deux 𝑢. Et souvenez-vous, on doit ajouter une constante d'intégration 𝐶. Et ce sera une primitive de notre terme à intégrer pour toute valeur de 𝐶. Pour appliquer le théorème fondamental de l'analyse, on peut utiliser n'importe quelle primitive. Donc on peut choisir notre valeur de 𝐶. Nous allons choisir 𝐶 égale zéro.
Nous sommes maintenant prêts à calculer notre intégrale en utilisant le théorème fondamental de l'analyse. Tout d'abord, nous réécrivons notre terme à intégrer comme 𝑢 au carré plus trois 𝑢 plus deux. Puis, en utilisant la règle de l'intégration d’une puissance, nous avons pu déterminer la primitive 𝑢 au cube sur trois plus trois 𝑢 au carré sur deux plus deux 𝑢. Et on sait qu'en utilisant le théorème fondamental de l'analyse, on peut évaluer notre intégrale définie en évaluant notre primitive aux bornes supérieure et inférieure de l'intégrale. Donc, nous avons juste besoin d'évaluer notre primitive en un, puis de soustraire notre primitive en moins deux.
On commence par substituer dans 𝑢 égale un. Cela nous donne un au cube sur trois plus trois fois un au carré sur deux plus deux fois un. Et nous pouvons simplement calculer cette expression. C'est égale à 23 sur six. Puis, nous devons soustraire de cela notre primitive évaluée à moins deux. Si on substitue 𝑢 égale moins deux, on obtient moins deux au cube sur trois plus trois fois moins deux au carré sur deux plus deux fois moins deux. Et si on évalue cette expression, on obtient moins deux sur trois.
Ainsi, tout ceci se simplifie et donne 23 sur six moins moins deux sur trois. Et on peut calculer que ceci est égale à neuf sur deux, ce qui est notre réponse finale. Par conséquent, en utilisant le théorème fondamental de l'analyse et la règle de l'intégration d’une puissance, on a pu montrer que l'intégrale définie de moins deux à un de 𝑢 plus deux fois 𝑢 plus un par rapport à 𝑢 est égale à neuf sur deux.
