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Un compte offre cinq pour cent d’intérêts tous les trois mois. Pour un dépôt initial de 𝑀 dollars, quel est le montant d'argent après 𝑡 années ?
Dans cette question portant sur les intérêts composés, on nous donne une information très importante selon laquelle le compte verse des intérêts de cinq pour cent tous les trois mois. La chose vraiment importante à noter ici est que cinq pour cent d’intérêts tous les trois mois est différent de cinq pour cent d’intérêts annuel composés tous les trois mois. Si nous avions un taux d’intérêt composé tous les trois mois, nous utiliserions alors la formule des intérêts composés qui est un peu plus complexe. Mais nous n’avons pas besoin de l’utiliser ici.
Voyons donc le membre de gauche de la formule. Habituellement, lorsque nous utilisons cette formule 𝑉 égal 𝑃 fois un plus 𝑟 à la puissance 𝑛, la valeur de 𝑉 représente la valeur finale de l’investissement, 𝑃 représente le capital ou le montant de départ, 𝑟 est le taux d’intérêt et 𝑛 est le nombre d’années. Dans ce problème, certaines de ces lettres auront cependant une signification légèrement différente.
On nous dit que le taux d’intérêt est un taux d’intérêt trimestriel. Nous ne pouvons donc pas avoir d’exposant correspondant simplement au nombre d’années. Ainsi, nous devrons également considérer combien de trimestres il y a dans chacune de ces années. Et donc la formule que nous devons utiliser doit avoir comme exposant quatre 𝑛 car il y a quatre trimestres par an.
Notons maintenant les informations fournies par l’énoncé de la question afin que nous puissions attribuer à chacune de ces lettres les valeurs correspondantes. La valeur finale de l’investissement est ce que nous souhaitons déterminer. Gardons-le alors noté comme 𝑉. Ensuite, on nous dit que le dépôt initial est de 𝑀 dollars, ce qui signifie que 𝑃 est égal à 𝑀. Le taux d’intérêt qui nous est donné est de cinq pour cent. Et rappelez-vous que nous pouvons l’écrire sous forme d’une fraction égale à cinq sur 100 ou comme un nombre décimal égal à 0,05.
Enfin, nous devons calculer le montant sur le compte après 𝑡 années, ce qui signifie que notre valeur de 𝑛, soit le nombre d’années, sera égale à 𝑡. Nous pouvons alors remplacer par ces valeurs dans notre formule modifiée. Cela nous donne que 𝑉 est égal à 𝑀 fois un plus 0,05 à la puissance quatre 𝑡. Nous pouvons alors simplifier cela en 𝑉 égale 𝑀 fois 1,05 à la puissance quatre 𝑡. Et donc cette expression dans le membre de droite nous permettrait de calculer la valeur finale de l’investissement sachant un montant de départ de 𝑀 dollars.
