Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des problèmes portant sur les intérêts composés.
Les investissements financiers rapportent des intérêts, généralement exprimés en un pourcentage annuel du montant actuellement investi.
Définition : Intérêt annuel d’un investissement financier
Pour un investissement financier qui rapporte des intérêts composés annuellement, la valeur de l’investissement après une année est donnée par où est la valeur initiale de l’investissement, également appelée valeur principale, et est le taux d’intérêt annuel exprimé en pourcentage.
Pour simplifier les choses, le taux d’intérêt annuel en pourcentage est généralement converti en un taux d’intérêt décimal, en divisant par 100, tel que . Cela donne
Pour des investissements qui durent plusieurs années, les intérêts gagnés sont généralement réinvestis ou composés, de sorte que la valeur de l’investissement, et donc des intérêts payés, augmente chaque année.
Regardons un exemple d’utilisation de cette formule pour déterminer le rendement d’un investissement financier pour un petit nombre d’ années.
Exemple 1: Résoudre des problèmes impliquant des pourcentages et des intérêts composés
Baptiste a deposé 100 $ sur un compte avec un taux d’intérêt annuel de , où le montant des intérêts est ajouté à son compte à la fin de chaque année. Sachant qu’il n’a pas retiré d’argent en 3 ans, déterminez le montant (en dollars et en cents) sur son compte à la fin de chaque année.
Réponse
Rappelons que la valeur du rendement d’un investissement après une année avec des intérêts composés annuellement est donnée par où est la valeur (ou le rendement) de l’investissement après une année, la valeur principale de l’investissement, et le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale.
Dans ce cas, la valeur principale de l’investissement est , et le taux d’intérêt annuel est . Par conséquent, après la fin de la première année, Baptiste a
On peut maintenant répéter ce processus en remplaçant la valeur par la valeur principale pour la prochaine année. Ainsi, après la deuxième année, la nouvelle valeur de l’investissement, sera
Et, enfin, on peut répéter ce processus une troisième fois en remplaçant la valeur par la valeur principale, après la troisième année la nouvelle valeur de l’investissement, sera
Par conséquent, Baptiste a 105,30 $ sur son compte après la première année, 110,88 $ après la deuxième an, et 116,76 $ après la troisième an.
La valeur finale est arrondie au centième près, car la plus petite valeur en monnaie américaine est .
Cette approche est suffisante lorsque nous avons besoin de trouver le rendement d’un investissement après un petit nombre d’ années mais serait fastidieuse pour un problème où l’on doit trouver le rendement après de plus longues durées.
Jusqu’à présent, on a la valeur d’un investissement financier après année , , donnée par où est la valeur principale de l’investissement et le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale. Pour déterminer la valeur de l’investissement après une deuxième année, , on peut remplacer la valeur principale par la valeur après une année, dans la même formule :
On peut alors substituer à partir de la première équation dans l’espression : On peut alors procéder de cette manière pour , et ainsi de suite, conduisant ainsi à une formule de calcul de la valeur d’un investissement financier après un certain nombre d’ années, .
Définition : Intérêts après un certain nombre d’années (composés annuellement)
Pour un investissement financier qui rapporte des intérêts composés annuellement, la valeur de l’investissement après un certain nombre d’ années, , est donnée par où est la valeur principale de l’investissement et le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale.
Cette formule peut être utilisée pour déterminer beaucoup plus efficacement la valeur d’un investissement durant un grand nombre d’ années. Par exemple, si 5 000 $ est investi pendant 7 ans avec un taux d’intérêt de , la valeur de l’investissement à la fin des 7 ans sera :
Regardons un exemple pour savoir comment trouver le rendement d’un investissement après un grand nombre d’ années.
Exemple 2: Créer des équations exponentielles et les utiliser pour résoudre des problèmes
Quand Loïc est né, ses grands-parents ont investi 500 $ dans un fond qui arrivera à échéance à son 21ème anniversaire. Si le fond, composé annuellement, a gagné par an, quelle sera sa valeur à son échéance ? Donnez votre réponse au dollar le plus proche.
Réponse
Rappelons que la valeur du rendement d’un investissement avec intérêts composés annuellement est donnée par où est la valeur finale (ou le rendement) de l’investissement, la valeur principale de l’investissement, et le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale.
Dans ce cas, la valeur principale de l’investissement est , le taux d’intérêt annuel est , et le nombre d’ années, . En remplaçant ces valeurs dans la formule, cela donne
De nombreuses offres financières augmentent les intérêts plus souvent que simplement chaque année. Certains intérêts sont composés trimestriellement (4 fois par an , ou tous les 3 mois), certains chaque semaine et certains chaque jour.
Si les intérêts d’un investissement financier sont composés plus souvent qu’une fois par an, les intérêts gagnés après une période de capitalisation sont donnés par le taux annuel divisé par le nombre de fois par an que l’intérêt est composé, .
Par exemple, si un taux d’intérêt annuel, en pourcentage, de est composé trimestriellement, alors après 3 mois les intérêts payés sont de la valeur de l’investissement.
Si un investissement financier de valeur principale rapporte des intérêts à un taux annuel de composé fois par an, la valeur de l’investissement après la première période de est donnée par
Il s’agit de la nouvelle valeur de l’investissement pour la prochaine période. Par conséquent, la valeur de l’investissement après la période suivante est donnée par
En remplaçant dans l’expression ,
Cela continue, et à la fin de l’ année, après périodes, les intérêts ont été composés fois et la valeur de l’investissement est donnée par
C’est la valeur de l’investissement après une année, qui représente périodes. Étendre cela à un nombre général d’ années, , ou périodes, est simple.
Définition : Intérêts après un certain nombre d’années (composés 𝑛 fois par an)
Pour un investissement financier qui rapporte des intérêts composés fois par an, la valeur de l’investissement après un certain nombre d’ années, est donnée par où est la valeur principale de l’investissement et le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale.
Regardons un exemple pour déterminer la valeur d’un investissement après un nombre entier d’ années lorsque les intérêts sont composés trimestriellement.
Exemple 3: Intérêts composés trimestriellement
Adrien investit 3 000 $ à un taux d’intérêt de par an, composé trimestriellement. Déterminez le solde après 10 ans.
Réponse
Rappelons que la valeur du rendement d’un investissement avec intérêts composés fois par an est donnée par où est la valeur finale (ou le rendement) de l’investissement, la valeur principale de l’investissement, le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale, le nombre de fois par an que l’intérêt est composé, et le nombre d’ années investi.
Dans ce cas, la valeur principale de l’investissement est , le taux d’intérêt annuel est , le nombre de fois par an que l’intérêt est compose est , et le nombre d’ années investi . Par conséquent, nous avons
Des intérêts composés plus fréquemment se traduisent par un plus grand rendement de l’investissement pour le même taux d’intérêt annuel, car, de fait, les intérêts gagnés pour chaque année sont réinvestis plus tôt et sont eux-même capables de rapporter des intérêts pour cette année. Par exemple, si les intérêts sont composés trimestriellement, alors les intérêts gagnés après les premiers 3 mois eux-même rapportent des intérêts pour les 9 mois restants de l’ année.
Regardons un exemple sur comment des intérêts composés plus souvent entraînent un meilleur rendement de l’investissement.
Exemple 4: Comparaison du rendement des intérêts composés annuellement et mensuellement
La banque A offre aux déposants des intérêts annuels de composés une fois par an. La banque B offre par an, composé mensuellement. Écrivez une formule explicite pour le rendement après pour un dépôt de avec les deux offres. Quelle offre bancaire est la meilleure ?
Réponse
Partie 1
Rappelons que la valeur du rendement avec intérêts composés fois par an est donnée par où est la valeur finale (ou le rendement) de l’investissement, la valeur principale de l’investissement, le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale, le nombre de fois par an que les intérêts sont composés et le nombre d’ années investi.
Dans cette question, la valeur principale est notée , le rendement est noté et le nombre d’ années est noté . On doit donc indiquer le nombre de fois par an que les intérêts sont composés distinctement, appelons le . On a donc
Pour la banque A, et ; par conséquent,
Et pour la banque B, et ; par conséquent,
Partie 2
Nous pouvons identifier quelle banque a la meilleur offre simplement en évaluant le rendement après une année, étant donné que chaque année la valeur de l’investissement augmentera dans la même proportion. Pour la banque A,
Et pour la banque B,
Par conséquent, l’offre de la banque B est meilleure. Nous pouvons le vérifier avec quelques exemples. Si la valeur principale de l’investissement est , alors le rendement après une année dans la banque A serait
Et le rendement après une année de la banque B serait
Ainsi, bien que la différence est mince, l’offre de la banque B est légèrement meilleure.
Regardons un dernier exemple sur la façon d’utiliser ces formules pour résoudre des problèmes financiers réels.
Exemple 5: Applications des fonctions exponentielles dans le secteur bancaire
Hector dépose 100 $ sur un compte épargne qui lui donne des intérêts de sur ses économies chaque mois. Mehdi a 350 $ sur un compte courant duquel il retire 5 $ chaque mois. Après combien de mois les deux ont-ils à peu près le même solde sur leur compte ?
Réponse
Dans cet exemple, on a un investissement qui rapporte beaucoup d’intérêts chaque mois, et on nous demande de trouver après combien de mois il atteint une valeur particulière.
Rappelons que la valeur du rendement avec intérêts composés annuellement est donnée par où est la valeur finale (ou le rendement) de l’investissement, la valeur principale de l’investissement, et le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale.
Pour le compte épargne de Hector, il est plus logique de considérer le rendement sur une base mensuelle. Puisque les intérêts mensuels sont de , et qu’ils sont composés mensuellement, on peut légèrement modifier cette formule pour donner le rendement, , après : où est le taux d’intérêt mensuel, sous forme décimale.
Pour le compte épargne de Hector, on a une valeur principale de et un taux d’intérêt mensuel de , donc le rendement de son compte épargne, , sera donné par
Pour le compte courant de Mehdi, il commence avec un investissement de 350 $ et retire 5 $ chaque mois ; par conséquent, le rendement du compte de Mehdi, , après est donné par
On doit maintenant trouver la valeur entière de pour laquelle . On peut trouver cette valeur de en réalisant des essais-erreurs, en évaluant la différence entre les deux soldes après , , pour différentes valeurs entières de afin de déterminer quelle valeur donne la plus petite différence. Commençons par une estimation raisonnable, par exemple :
Donc le compte de Hector a un solde inférieur à celui de Mehdi, mais il peut y avoir une valeur entière plus grande pour laquelle la différence de solde est plus petite.
On recherche les deux valeurs entières consécutives de pour lesquelles la différence entre les soldes, , change de signe, car la valeur de pour laquelle la différence est la plus petite doit être l’une de ces deux valeurs. Essayons donc une plus grande valeur de , disons
:
On voit que le signe de la différence a changé quelque part entre et , alors essayons une valeur de entre ces deux valeurs, disons
:
change de signe quelque part entre et , alors essayons une valeur de entre ces deux valeurs, disons
:
change de signe quelque part entre et . Nous avons encore une valeur à vérifier,
:
Le signe de la différence change donc entre et . On peut voir que la différence est la plus petite pour , où ; par conséquent, les deux comptes ont à peu près le même solde après 8 mois.
Terminons par récapituler certains points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Le rendement, , pour un investissement financier avec une valeur principale et un taux d’intérêt annuel , avec des intérêts composés annuellement tous les , est donnée par .
- Le rendement, , sur un investissement financier avec une valeur principale et un taux d’intérêt annuel , avec des intérêts composés fois par an après , est donnée par .
- Des intérêts composés plus régulièrement se traduiraient toujours par un meilleur rendement avec le même taux d’intérêt annuel, .
