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Fiche explicative de la leçon : Intérêts composés Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des problèmes portant sur les intérêts composés.

Les investissements financiers rapportent des intérêts, généralement exprimés en un pourcentage annuel 𝑥% du montant actuellement investi.

Définition : Intérêt annuel d’un investissement financier

Pour un investissement financier qui rapporte des intérêts composés annuellement, la valeur de l’investissement après une année 𝑉 est donnée par 𝑉=𝑃+𝑥100𝑃,𝑃 est la valeur initiale de l’investissement, également appelée valeur principale, et 𝑥 est le taux d’intérêt annuel exprimé en pourcentage.

Pour simplifier les choses, le taux d’intérêt annuel en pourcentage 𝑥 est généralement converti en un taux d’intérêt décimal, 𝑟 en divisant par 100, tel que 𝑟=𝑥100. Cela donne 𝑉=𝑃+𝑟𝑃=𝑃(1+𝑟).

Pour des investissements qui durent plusieurs années, les intérêts gagnés sont généralement réinvestis ou composés, de sorte que la valeur de l’investissement, et donc des intérêts payés, augmente chaque année.

Regardons un exemple d’utilisation de cette formule pour déterminer le rendement d’un investissement financier pour un petit nombre d’ années.

Exemple 1: Résoudre des problèmes impliquant des pourcentages et des intérêts composés

Baptiste a deposé 100 $ sur un compte avec un taux d’intérêt annuel de 5,3%, où le montant des intérêts est ajouté à son compte à la fin de chaque année. Sachant qu’il n’a pas retiré d’argent en 3 ans, déterminez le montant (en dollars et en cents) sur son compte à la fin de chaque année.

Réponse

Rappelons que la valeur du rendement d’un investissement après une année avec des intérêts composés annuellement est donnée par 𝑉=𝑃(1+𝑟),𝑉 est la valeur (ou le rendement) de l’investissement après une année, 𝑃 la valeur principale de l’investissement, et 𝑟 le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale.

Dans ce cas, la valeur principale de l’investissement est 𝑃=100$, et le taux d’intérêt annuel est 𝑟=5,3100=0,053. Par conséquent, après la fin de la première année, Baptiste a 𝑉=𝑃(1+𝑟)=100(1+0,053)=100×1,053=105,30$(2).décimales

On peut maintenant répéter ce processus en remplaçant la valeur 𝑉 par la valeur principale pour la prochaine année. Ainsi, après la deuxième année, la nouvelle valeur de l’investissement, 𝑉 sera 𝑉=𝑉(1+𝑟)=105,30$×1,053=110,88$(2).décimales

Et, enfin, on peut répéter ce processus une troisième fois en remplaçant la valeur 𝑉 par la valeur principale, après la troisième année la nouvelle valeur de l’investissement, 𝑉 sera 𝑉=𝑉(1+𝑟)=110,88$×1,053=116,76$(2).décimales

Par conséquent, Baptiste a 105,30 $ sur son compte après la première année, 110,88 $ après la deuxième an, et 116,76 $ après la troisième an.

La valeur finale est arrondie au centième près, car la plus petite valeur en monnaie américaine est 1=0,01$¢.

Cette approche est suffisante lorsque nous avons besoin de trouver le rendement d’un investissement après un petit nombre d’ années mais serait fastidieuse pour un problème où l’on doit trouver le rendement après de plus longues durées.

Jusqu’à présent, on a la valeur d’un investissement financier après année , 𝑉, donnée par 𝑉=𝑃(1+𝑟),𝑃 est la valeur principale de l’investissement et 𝑟 le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale. Pour déterminer la valeur de l’investissement après une deuxième année, 𝑉, on peut remplacer la valeur principale 𝑃 par la valeur après une année, 𝑉 dans la même formule:𝑉=𝑉(1+𝑟).

On peut alors substituer 𝑉=𝑃(1+𝑟) à partir de la première équation dans l’espression:𝑉=𝑃(1+𝑟)(1+𝑟)=𝑃(1+𝑟). On peut alors procéder de cette manière pour 𝑉,𝑉, et ainsi de suite, conduisant ainsi à une formule de calcul de la valeur d’un investissement financier après un certain nombre d’ années, 𝑦.

Définition : Intérêts après un certain nombre d’années (composés annuellement)

Pour un investissement financier qui rapporte des intérêts composés annuellement, la valeur de l’investissement 𝑉 après un certain nombre d’ années, 𝑦, est donnée par 𝑉=𝑃(1+𝑟),𝑃 est la valeur principale de l’investissement et 𝑟 le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale.

Cette formule peut être utilisée pour déterminer beaucoup plus efficacement la valeur d’un investissement durant un grand nombre d’ années. Par exemple, si 5‎ ‎000 $ est investi pendant 7 ans avec un taux d’intérêt de 3%, la valeur de l’investissement à la fin des 7 ans sera:𝑉=50001+3100=5000×1,03=6149,37$(2).décimales

Regardons un exemple pour savoir comment trouver le rendement d’un investissement après un grand nombre d’ années.

Exemple 2: Créer des équations exponentielles et les utiliser pour résoudre des problèmes

Quand Loïc est né, ses grands-parents ont investi 500 $ dans un fond qui arrivera à échéance à son 21ème anniversaire. Si le fond, composé annuellement, a gagné 6% par an, quelle sera sa valeur à son échéance?Donnez votre réponse au dollar le plus proche.

Réponse

Rappelons que la valeur du rendement d’un investissement avec intérêts composés annuellement est donnée par 𝑉=𝑃(1+𝑟),𝑉 est la valeur finale (ou le rendement) de l’investissement, 𝑃 la valeur principale de l’investissement, et 𝑟 le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale.

Dans ce cas, la valeur principale de l’investissement est 𝑃=500$, le taux d’intérêt annuel est 𝑟=6100=0,06, et le nombre d’ années, 𝑦=21. En remplaçant ces valeurs dans la formule, cela donne 𝑉=500(1+0,06)=500×1,06=1700$().auplusprochedollar

De nombreuses offres financières augmentent les intérêts plus souvent que simplement chaque année. Certains intérêts sont composés trimestriellement (4 fois par an , ou tous les 3 mois), certains chaque semaine et certains chaque jour.

Si les intérêts d’un investissement financier sont composés plus souvent qu’une fois par an, les intérêts gagnés après une période de capitalisation sont donnés par le taux annuel 𝑟 divisé par le nombre de fois par an que l’intérêt est composé, 𝑛.

Par exemple, si un taux d’intérêt annuel, en pourcentage, de 5% est composé trimestriellement, alors après 3 mois les intérêts payés sont 54=1,25% de la valeur de l’investissement.

Si un investissement financier de valeur principale 𝑃 rapporte des intérêts à un taux annuel de 𝑟 composé 𝑛 fois par an, la valeur 𝑉 de l’investissement après la première période de 1𝑛ans est donnée par 𝑉=𝑃+𝑟𝑛𝑃=𝑃1+𝑟𝑛.

Il s’agit de la nouvelle valeur de l’investissement pour la prochaine période. Par conséquent, la valeur 𝑉 de l’investissement après la période suivante est donnée par 𝑉=𝑉+𝑟𝑛𝑉=𝑉1+𝑟𝑛.

En remplaçant dans l’expression 𝑉=𝑃1+𝑟𝑛, 𝑉=𝑃1+𝑟𝑛1+𝑟𝑛=𝑃1+𝑟𝑛.

Cela continue, et à la fin de l’ année, après 𝑛 périodes, les intérêts ont été composés 𝑛 fois et la valeur de l’investissement 𝑉 est donnée par 𝑉=𝑃1+𝑟𝑛.

C’est la valeur de l’investissement après une année, qui représente 𝑛 périodes. Étendre cela à un nombre général d’ années, 𝑦 , ou 𝑛𝑦 périodes, est simple.

Définition : Intérêts après un certain nombre d’années (composés 𝑛 fois par an)

Pour un investissement financier qui rapporte des intérêts composés 𝑛 fois par an, la valeur de l’investissement 𝑉 après un certain nombre d’ années, 𝑦 est donnée par 𝑉=𝑃1+𝑟𝑛,𝑃 est la valeur principale de l’investissement et 𝑟 le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale.

Regardons un exemple pour déterminer la valeur d’un investissement après un nombre entier d’ années lorsque les intérêts sont composés trimestriellement.

Exemple 3: Intérêts composés trimestriellement

Adrien investit 3‎ ‎000 $ à un taux d’intérêt de 2% par an, composé trimestriellement. Déterminez le solde après 10 ans.

Réponse

Rappelons que la valeur du rendement d’un investissement avec intérêts composés 𝑛 fois par an est donnée par 𝑉=𝑃1+𝑟𝑛,𝑉 est la valeur finale (ou le rendement) de l’investissement, 𝑃 la valeur principale de l’investissement, 𝑟 le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale, 𝑛 le nombre de fois par an que l’intérêt est composé, et 𝑦 le nombre d’ années investi.

Dans ce cas, la valeur principale de l’investissement est 𝑃=3000$, le taux d’intérêt annuel est 𝑟=2100=0,02, le nombre de fois par an que l’intérêt est compose est 𝑛=4, et le nombre d’ années investi 𝑦=10. Par conséquent, nous avons 𝑉=𝑃1+𝑟𝑛=30001+0,024=3000×1,005=3662,38$(2).×àdécimales

Des intérêts composés plus fréquemment se traduisent par un plus grand rendement de l’investissement pour le même taux d’intérêt annuel, car, de fait, les intérêts gagnés pour chaque année sont réinvestis plus tôt et sont eux-même capables de rapporter des intérêts pour cette année. Par exemple, si les intérêts sont composés trimestriellement, alors les intérêts gagnés après les premiers 3 mois eux-même rapportent des intérêts pour les 9 mois restants de l’ année.

Regardons un exemple sur comment des intérêts composés plus souvent entraînent un meilleur rendement de l’investissement.

Exemple 4: Comparaison du rendement des intérêts composés annuellement et mensuellement

La banque A offre aux déposants des intérêts annuels de 4% composés une fois par an. La banque B offre 3,93% par an, composé mensuellement. Écrivez une formule explicite pour le rendement 𝑅 après 𝑛ans pour un dépôt de 𝑅dollars avec les deux offres. Quelle offre bancaire est la meilleure?

Réponse

Partie 1

Rappelons que la valeur du rendement avec intérêts composés 𝑛 fois par an est donnée par 𝑉=𝑃1+𝑟𝑛,𝑉 est la valeur finale (ou le rendement) de l’investissement, 𝑃 la valeur principale de l’investissement, 𝑟 le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale, 𝑛 le nombre de fois par an que les intérêts sont composés et 𝑦 le nombre d’ années investi.

Dans cette question, la valeur principale 𝑃 est notée 𝑅, le rendement 𝑉 est noté 𝑅 et le nombre d’ années est noté 𝑛. On doit donc indiquer le nombre de fois par an que les intérêts sont composés distinctement, appelons le 𝑚. On a donc 𝑅=𝑅1+𝑟𝑚.

Pour la banque A, 𝑚=1 et 𝑟=4100=0,04;par conséquent, 𝑅=𝑅1+0,041=1,04𝑅.A

Et pour la banque B, 𝑚=12 et 𝑟=3,93100=0,0393;par conséquent, 𝑅=1+0,039312𝑅.B

Partie 2

Nous pouvons identifier quelle banque a la meilleur offre simplement en évaluant le rendement après une année, étant donné que chaque année la valeur de l’investissement augmentera dans la même proportion. Pour la banque A, 𝑅=𝑅(1+0,04)=1,04𝑅.A

Et pour la banque B, 𝑅=𝑅1+0,039312=1,04002𝑅(5).Bàdécimales

Par conséquent, l’offre de la banque B est meilleure. Nous pouvons le vérifier avec quelques exemples. Si la valeur principale de l’investissement est 𝑅=1000$, alors le rendement après une année dans la banque A serait 𝑅=1,04×1000=1040$.A

Et le rendement après une année de la banque B serait 𝑅=1,04002×1000=1040,02$(2).Bàdécimales

Ainsi, bien que la différence est mince, l’offre de la banque B est légèrement meilleure.

Regardons un dernier exemple sur la façon d’utiliser ces formules pour résoudre des problèmes financiers réels.

Exemple 5: Applications des fonctions exponentielles dans le secteur bancaire

Hector dépose 100 $ sur un compte épargne qui lui donne des intérêts de 15% sur ses économies chaque mois. Mehdi a 350 $ sur un compte courant duquel il retire 5 $ chaque mois. Après combien de mois les deux ont-ils à peu près le même solde sur leur compte?

Réponse

Dans cet exemple, on a un investissement qui rapporte beaucoup d’intérêts chaque mois, et on nous demande de trouver après combien de mois il atteint une valeur particulière.

Rappelons que la valeur du rendement avec intérêts composés annuellement est donnée par 𝑉=𝑃(1+𝑟),𝑉 est la valeur finale (ou le rendement) de l’investissement, 𝑃 la valeur principale de l’investissement, et 𝑟 le taux d’intérêt annuel, sous forme décimale.

Pour le compte épargne de Hector, il est plus logique de considérer le rendement sur une base mensuelle. Puisque les intérêts mensuels sont de 15%, et qu’ils sont composés mensuellement, on peut légèrement modifier cette formule pour donner le rendement, 𝑉Hector , après 𝑚mois:𝑉=𝑃(1+𝑟),Hector𝑟 est le taux d’intérêt mensuel, sous forme décimale.

Pour le compte épargne de Hector, on a une valeur principale de 𝑃=100 et un taux d’intérêt mensuel de 𝑟=15100=0,15, donc le rendement de son compte épargne, 𝑉Hector, sera donné par 𝑉=100(1+0,15)=100(1,15).Hector

Pour le compte courant de Mehdi, il commence avec un investissement de 350 $ et retire 5 $ chaque mois;par conséquent, le rendement du compte de Mehdi, 𝑉Mehdi, après 𝑚mois est donné par 𝑉=3505𝑚.Mehdi

On doit maintenant trouver la valeur entière de 𝑚 pour laquelle 𝑉𝑉HectorMehdi. On peut trouver cette valeur de 𝑚 en réalisant des essais-erreurs, en évaluant la différence entre les deux soldes après 𝑚mois, 𝑉𝑉HectorMehdi, pour différentes valeurs entières de 𝑚 afin de déterminer quelle valeur donne la plus petite différence. Commençons par une estimation raisonnable, par exemple 𝑚=5:𝑉𝑉=100(1,15)(3505𝑐.5)=123,86$(2).HectorMehdiàdécimales

Donc le compte de Hector a un solde inférieur à celui de Mehdi, mais il peut y avoir une valeur entière plus grande 𝑚 pour laquelle la différence de solde est plus petite.

On recherche les deux valeurs entières consécutives de 𝑚 pour lesquelles la différence entre les soldes, 𝑉𝑉HectorMehdi, change de signe, car la valeur de 𝑚 pour laquelle la différence est la plus petite doit être l’une de ces deux valeurs. Essayons donc une plus grande valeur de 𝑚, disons

𝑚=10:

𝑉𝑉=100(1,15)(3505𝑐.10)=104,56$(2).HectorMehdiàdécimales

On voit que le signe de la différence 𝑉𝑉HectorMehdi a changé quelque part entre 𝑚=5 et 𝑚=10, alors essayons une valeur de 𝑚 entre ces deux valeurs, disons

𝑚=7:

𝑉𝑉=100(1,15)(3505𝑐.7)=49,00$(2).HectorMehdiàdécimales

𝑉𝑉HectorMehdi change de signe quelque part entre 𝑚=7 et 𝑚=10, alors essayons une valeur de 𝑚 entre ces deux valeurs, disons

𝑚=9:

𝑉𝑉=100(1,15)(3505𝑐.9)=46,79$(2).HectorMehdiàdécimales

𝑉𝑉HectorMehdi change de signe quelque part entre 𝑚=7 et 𝑚=9. Nous avons encore une valeur à vérifier,

𝑚=8:

𝑉𝑉=100(1,15)(3505𝑐.8)=4,10$(2).HectorMehdiàdécimales

Le signe de la différence change donc entre 𝑚=8 et 𝑚=9. On peut voir que la différence est la plus petite pour 𝑚=8, 𝑉𝑉=4,10$HectorMehdi;par conséquent, les deux comptes ont à peu près le même solde après 8 mois.

Terminons par récapituler certains points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Le rendement, 𝑉, pour un investissement financier avec une valeur principale 𝑃 et un taux d’intérêt annuel 𝑟, avec des intérêts composés annuellement tous les 𝑦ans, est donnée par 𝑉=𝑃(1+𝑟).
  • Le rendement, 𝑉, sur un investissement financier avec une valeur principale 𝑃 et un taux d’intérêt annuel 𝑟, avec des intérêts composés 𝑛 fois par an après 𝑦ans, est donnée par 𝑉=𝑃1+𝑟𝑛.
  • Des intérêts composés plus régulièrement se traduiraient toujours par un meilleur rendement avec le même taux d’intérêt annuel, 𝑟.

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