Lesson Video: Intérêts composés (avec intérêts capitalisés plus d’une fois par an) Mathématiques • Second Year of Secondary School

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Avant de regarder cette vidéo, vous devez déjà être familier avec la croissance exponentielle et les problèmes dans lesquels les intérêts composés sont capitalisés une seule fois par an. Nous allons étudier des situations où les intérêts composés sont capitalisés plusieurs fois par an. Rappelez-vous tout d’abord que nous pouvons calculer la valeur d’un investissement dont les intérêts composés ne sont capitalisés qu’une fois par an en appliquant nos connaissances sur la croissance exponentielle.

Par exemple, j’investis 5 000 dollars dans un compte de placement à intérêts composés de trois pour cent, capitalisés annuellement. Si je laisse l’investissement pendant sept ans, quelle sera sa valeur?

Je commence donc avec 5 000 dollars. J’ajoute trois pour cent d’intérêts chaque année. Et je fais ça pendant sept ans. Pour ajouter trois pour cent à un nombre, on commence par 100 pour cent, puis on ajoute trois pour cent. Pour chaque année, nous essayons donc de calculer 103 pour cent du montant que nous avions au début de l’année. Et pour cela, on multiplie le solde par 103 sur 100. 103 sur 100 égale 1,03. Notre multiplicateur est donc 1,03.

Définissons maintenant quelques variables. Si nous définissons 𝑣 comme la valeur de l’investissement et a comme le nombre d’années pendant lesquelles le capital est investi, alors 𝑣 est égal à 5 000 fois 1,03 puissance a pour ce problème. Donc, 5 000 était notre investissement initial. 1,03 est le multiplicateur qui ajoute les trois pour cent chaque année. a est le nombre d’années. Et 𝑣 est la valeur de l’investissement.

Nous calculons ici le cas particulier où nous avons investi pendant sept ans donc a égale sept. En tapant cela dans une calculatrice et en arrondissant la réponse au centième près comme il s’agit d’argent, nous obtenons une réponse de 6 149 dollars et 37 cents.

Regardons maintenant de plus près comment nous avons calculé ce multiplicateur lorsque nous ajoutions trois pour cent. Pour ajouter trois pour cent, on commence avec 100 pour cent et on ajoute trois pour cent, ce qui signifie que l’on calcule 103 pour cent du nombre initial. Et nous avons dit que cela signifiait que le multiplicateur était de 103 sur 100, soit 1,03.

Supposons maintenant que le taux d’intérêt est égal à t, nous examinons donc le cas général plutôt que le cas spécifique de trois pour cent. On commence avec 100 pour cent et on ajoute t pour cent. On calcule donc 100 plus t pour cent. Le multiplicateur est alors 100 plus t sur 100. Et on peut séparer cette expression en deux fractions distinctes. 100 plus t sur 100 égale 100 sur 100 plus t sur 100. Et bien sûr, 100 sur 100 égale un. On peut donc le réécrire par un plus t sur 100.

Nous avons donc une formule générale du multiplicateur, si le taux d’intérêt annuel est de t pour cent et que les intérêts sont capitalisés une fois par an. Nous avons ainsi établi une formule générale de la valeur de l’investissement. Elle est égale au montant initial investi fois un plus le taux d’intérêt sur 100, le tout puissance a.

C’est déjà très bien! Mais dans le monde financier, les entreprises proposent souvent des investissements qui sont capitalisés plus d’une fois par an, par exemple chaque trimestre. C’est-à-dire tous les trois mois, quatre fois par an, ou encore tous les mois, voire tous les jours. En fait, certaines d’entre elles proposent même des taux d’intérêt qui sont capitalisés en continu, donc une infinité de fois par an. Bon, nous parlerons de ceux-là dans une autre vidéo. Mais penchons-nous pour le moment sur les situations où le taux d’intérêt composé est annuel mais est capitalisé 𝑛 fois par an.

Commençons par définir les variables que nous allons utiliser pour représenter différentes choses. Nous allons avoir C, qui est le capital investi. C’est-à-dire notre investissement initial. On peut également l’appeler le capital initial ou placé. t est le taux d’intérêt annuel. Et il sera exprimé sous forme de pourcentage. Nous définissions ensuite 𝑛 comme le nombre de périodes de capitalisation par an. Par exemple, si les capitalisations sont hebdomadaires, il y en aura 52 donc 𝑛 sera égal à 52. Si elles sont mensuelles, comme il y a 12 mois dans une année, 𝑛 sera égal à 12, et ainsi de suite.

a est le nombre d’années pendant lesquelles nous investissons cet argent. Enfin, 𝑣 est la valeur de l’investissement. Il existe alors une formule générale de la valeur d’un investissement à intérêts composés capitalisé 𝑛 fois par an. Elle est 𝑣 égale C fois un plus t sur 100, le tout sur 𝑛, puissance a fois 𝑛. Voyons maintenant une application de cette formule.

Un compte de placement propose un taux d’intérêt annuel composé de cinq pour cent, capitalisé mensuellement. Amera investit 6 000 dollars dans ce compte. Combien aura-t-elle sur le compte après sept ans? Comparez cela au montant qu’elle obtiendrait si les intérêts n’étaient capitalisés qu’une fois par an.

Commençons par identifier les informations importantes. Le taux d’intérêt annuel est de cinq pour cent. Et les intérêt sont capitalisés mensuellement, ce qui signifie que 𝑛 égale 12. Il y aura 12 capitalisations par an. Elle investit 6 000 dollars dans le compte. Et elle va les laisser pendant sept ans. Eh bien, la formule de la valeur finale est 𝑣 égale C fois un plus t sur 100 le tout sur 𝑛, puissance a fois 𝑛.

Réfléchissons alors à cela. 𝑛 est égal à 12 car la capitalisation est mensuelle. Soit 12 fois par an. t égale cinq car le taux d’intérêt est de cinq pour cent par an. a égale sept car nous calculons sur sept ans. Et le capital ou le montant initial investi est de 6 000 dollars.

Donc en remplaçant toutes ces variables dans la formule par les nombres que nous venons d’indiquer, on a 𝑣, la valeur finale, est égale à 6 000 fois un plus cinq sur 100, le tout divisé par 12, puissance sept fois 12. En tapant tout cela dans une calculatrice et en arrondissant notre réponse au centième comme il s’agit d’argent, nous obtenons 8 508 dollars et 22 cents. Par conséquent, avec une capitalisation mensuelle, Amera aura 8 505 dollars et 22 cents sur son compte. Nous devons comparer cela avec une capitalisation annuelle.

Dans la formule de capitalisation annuelle, nous avons toujours le même capital initial de 6 000 dollars. Le multiplicateur un plus cinq sur 100 est de 1,05, on ajoute cinq pour cent chaque année. Ces intérêts sont capitalisés à la fin de l’année. Et cela pendant 7 ans, donc la puissance est sept. En tapant cela dans une calculatrice, nous n’obtenons que 8 442 dollars et 60 cents, arrondi au centième près.

Donc en comparant le montant obtenu par capitalisation mensuelle versus annuelle, elle gagne 65 dollars et 62 cents de plus si les intérêts sont capitalisés mensuellement. Il s’agit de la différence entre ces deux montants. Il convient donc de souligner que la fréquence de capitalisation des intérêts peut faire une grande différence sur le montant d’argent que vous récupérez sur votre capital initial. Cela vaut donc vraiment la peine de vérifier cela.

Étudions maintenant une dernière question assez complexe.

Agatha a 100 000 dollars à investir pendant cinq ans. Elle souhaite obtenir 120 000 dollars à la fin de cette période. Si le compte sur lequel elle investit ne capitalise les intérêts composés qu’annuellement, quel est le taux d’intérêt minimum dont elle a besoin pour atteindre son objectif d’épargne? Et si les intérêts composés étaient capitalisés chaque semaine plutôt que chaque année, quel serait alors le taux d’intérêt minimum requis? Donnez vos réponses au centième près.

Très bien. Commençons par identifier les informations pertinentes. Agatha a 100 000 dollars à investir. Et cela pendant cinq ans. Son objectif d’épargne est de 120 000 dollars. Nous devons déterminer le taux d’intérêt minimum pour y parvenir. Mais nous devons faire cela deux fois. Tout d’abord, lorsque les intérêts sont capitalisés une seule fois par an. Ensuite, lorsque les intérêts sont capitalisés chaque semaine. Appelons chacune de ces parties 𝑎 et 𝑏. 𝑎, les intérêts sont capitalisés chaque année. Et 𝑏, ils sont capitalisés chaque semaine.

La formule que nous allons utiliser dans le premier cas est que la valeur finale est égale au capital initial investi fois un plus le multiplicateur - qui, rappelez-vous, est le taux d’intérêt divisé par 100, le tout à la puissance a, le nombre d’années pendant lesquelles Agatha investit. Nous connaissons les valeurs de 𝑣, C et a, et nous souhaitons calculer la valeur de t. On substitue donc 𝑣, le montant final de 120 000, C, le capital initial de 100 000 et a, le nombre d’années, soit cinq. Puis on réarrange pour calculer la valeur de t.

On obtient alors cette équation. Si on divise maintenant les deux membres de l’équation par 100 000, sur le membre gauche on a 120 000 divisé par 100 000, soit 1,2. Et sur le membre droit, on a 100 000 fois un plus t sur 100 puissance cinq divisé par 100 000. Les 100 000 s’annulent et il reste un plus t sur 100 puissance cinq. Si on prend maintenant la racine cinquième des deux membres, il restera un plus t sur 100 sur le membre droit, ce qui nous permettra d’avancer en isolant t.

On effectue donc cette opération. Sur le membre gauche de l’équation, on a racine cinquième de 1,2. Nous conservons cette expression pour le moment. Nous la taperons directement sur une calculatrice à la fin des calculs. Et sur le membre droit, on obtient racine cinquième d’un terme puissance cinq. Cela est donc simplement égal à ce terme. Soit un plus t sur 100. En soustrayant un à chaque membre de cette équation, on obtient racine cinquième de 1,2 moins un sur le membre gauche. Et sur le membre droit, un plus t sur 100 moins un est simplement égal à t sur 100.

Nous y sommes presque! Il reste juste à multiplier les deux membres de l’équation par 100 et nous obtenons une expression de t. Par conséquent, t égale 100 fois racine cinquième de 1,2 moins un. En tapant cela dans une calculatrice et en l’arrondissant au centième comme demandé, nous obtenons t égale 3,71. Rappelez-vous que t était le taux d’intérêt en pourcentage. La réponse à la partie a est donc que si elle souscrit à un compte qui capitalise les intérêts annuellement, elle devra obtenir un taux d’intérêt de 3,71 pourcents ou plus afin d’atteindre son objectif d’épargne de 120 000 dollars.

Nous devons maintenant refaire nos calcul mais avec une formule différente, pour une capitalisation hebdomadaire. Le nombre de capitalisations par an est de 52, donc 𝑛 égale 52. Et nous avons toujours le même investissement initial, le même objectif final d’épargne et le même nombre d’années. En substituant ces valeurs dans l’équation, on a la valeur cible, 120 000 dollars, égale le capital initial, 100 000 dollars, fois un plus t - que nous essayons de le calculer - sur 100, divisé par le nombre de périodes dans une année, soit 52, le tout puissance cinq ans fois 52 périodes.

On divise à nouveau les deux membres de l’équation par 100 000 et on démêle progressivement cela jusqu’à obtenir une expression de t. Le membre gauche divisé par 100 000 est toujours égal à 1,2. Et les 100 000 s’annulent sur le membre droit, ce qui était bien sûr l’objectif de la division par 100 000. La puissance de l’expression entre parenthèses est cinq fois 52, soit 260. Le membre droit est alors à une puissance 260. On prend donc la racine 260e de chaque membre de l’équation. Et nous choisissons à nouveau de ne pas évaluer cette valeur. Nous la laissons telle quelle jusqu’à la fin des calculs.

Sur le membre gauche, on a donc racine 260e de 1,2. Et sur le membre droit, la racine 260e d’une expression puissance 260 est simplement égale à cette expression. Il reste donc un plus t sur 100 sur 52. On soustrait maintenant un à chaque membre, ce qui signifie que le membre gauche devient racine 260e de 1,2 moins un. Sur le membre droit, on a simplement t sur 100 sur 52. On multiplie alors les deux membres par 52 pour simplifier le membre droit. Et nous y sommes presque! Il reste simplement à multiplier les deux membres par 100 pour obtenir une expression de t.

Et nous devons maintenant taper cette petite ligne dans une calculatrice et l’arrondir au centième près, ce qui nous donne 3,65 pourcents. Donc, si Agatha a un compte qui capitalise les intérêts annuellement et qu’elle veut obtenir 120 000 dollars, elle doit obtenir un taux d’intérêt de 3,71 pourcents. Mais si elle peut trouver un compte qui capitalise les intérêts de manière hebdomadaire, il lui suffira de trouver un taux d’intérêt de 3,65 pour cent. Soit un peu moins.

La conclusion ici que regarder le taux d’intérêt nominal n’est pas toujours suffisant pour se rendre compte de comment le compte fonctionne. Vous devez savoir s’il est capitalisé de manière hebdomadaire, quotidienne, horaire, mensuelle ou annuelle. Cela impactera le montant des intérêts que vous percevrez sur votre argent.

Donc en résumé, nous avons utilisé cette formule pour déterminer la valeur d’un investissement lorsque les intérêts composés sont capitalisés plus d’une fois par an. 𝑛 est le nombre de fois par an où les intérêts composés sont capitalisés. S’ils sont capitalisés mensuellement, 𝑛 sera égal à 12. Si c’est toutes les semaines, 𝑛 sera égal à 52. Et si c’est tous les jours, il sera égal à 365. Nous avons également vu qu’il faut parfois réorganiser cette équation pour calculer une variable inconnue. Dans notre dernier exemple, nous avons notamment dû calculer le taux d’intérêt annuel, ce qui a nécessité beaucoup de manipulations pour déterminer la valeur de t.