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Parmi les graphiques suivants, sur lequel pourrait être représentée la courbe d’une équation second degré de la forme 𝑓 de 𝑥 égal 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎 est un nombre positif, sachant que l'ensemble des solutions de l'équation 𝑓 de 𝑥 égal zéro est l'ensemble contenant un et deux ?
Dans cette question, on nous donne cinq graphiques possibles et on doit déterminer sur lequel de ces cinq graphiques est représentée la courbe d’une équation du second degré dont le coefficient dominant est positif et l'ensemble des solutions de l'équation 𝑓 de 𝑥 égal zéro est l'ensemble des solutions contenant un et deux. Nous allons donc examiner les cinq options possibles. Mais avant cela, considérons les informations données. Commençons par rappeler que la courbe d’une fonction du second degré a une forme parabolique et que l'orientation de cette parabole est déterminée par le signe de son coefficient dominant.
Si le coefficient dominant est négatif, on dit que la parabole s'ouvre vers le bas. En revanche, si le coefficient dominant est positif, on dit que la parabole s'ouvre vers le haut. Dans ce cas, le signe du coefficient dominant 𝑎 est positif. Il s'agit donc d'une parabole qui s'ouvre vers le haut.
On nous dit ensuite que l'ensemble des solutions de l'équation 𝑓 de 𝑥 égal zéro est l'ensemble des solutions contenant un et deux. Et nous pouvons rappeler que l'ensemble des solutions d'une équation est l'ensemble de toutes les valeurs qui satisfont l'équation. Ainsi, puisque un et deux satisfont cette équation, 𝑓 de un doit être égal à zéro et 𝑓 de deux doit être égal à zéro. Et cela nous donne des informations sur la courbe. En effet, si 𝑓 de un égal zéro, alors le point de coordonnées un, zéro doit se trouver sur notre courbe. De même, si 𝑓 de deux égal zéro, le point de coordonnées deux, zéro se trouve également sur notre courbe. Cela signifie que notre courbe a deux points d'intersections avec l'axe des 𝑥 et on sait qu’une parabole peut avoir au maximum deux points d'intersections avec l'axe des 𝑥. Il s'agit donc de tous les points d'intersection avec l'axe des 𝑥.
Ces informations sont suffisantes pour avoir une idée générale sur notre courbe. Il s'agit d'une parabole qui s'ouvre vers le haut et qui possède deux points d'intersection avec l'axe des 𝑥, un en un et un en deux. Cependant, on ne connaît pas la forme exacte de cette courbe. Par exemple, on ne connaît pas son ordonnée à l'origine 𝑦. Il existe une infinité de paraboles ouvertes vers le haut qui coupent l’axe des abscisses en un et en deux. Par exemple, on pourrait avoir une parabole plus étroite ou plus large.
Cependant, on peut utiliser ces informations pour éliminer certaines de nos options. Commençons par examiner l'option (A), comme indiqué. Dans ce cas, nous avons bien une forme parabolique. Toutefois, nous pouvons voir que celle-ci s'ouvre vers le bas, son coefficient dominant est donc négatif. Dans notre cas, notre parabole doit s'ouvrir vers le haut car son coefficient dominant est positif. L'option (A) n'est donc pas la bonne réponse.
Examinons maintenant l'option (B). Il s'agit d'une forme parabolique qui s'ouvre vers le haut. Cependant, si nous regardons les abscisses des points d'intersections avec l'axe des 𝑥, on peut voir qu'elles ne sont pas en un et en deux. En fait, l'un de ces points d'intersection avec l'axe des 𝑥 a une abscisse négative. Ainsi, si on désigne par 𝑔 de 𝑥 l’expression de la fonction du second degré représentée graphiquement, alors l'ensemble des solutions de l'équation 𝑔 de 𝑥 égal zéro n'est pas l'ensemble contenant un et deux puisqu'un de ses éléments doit être négatif. Par conséquent, l'option (B) ne peut pas être la bonne représentation. Ses points d'intersection avec l'axe des 𝑥 ne sont pas les bons.
La situation est similaire si nous examinons l'option (C). Il s'agit d'une forme parabolique et elle s'ouvre vers le haut. Cependant, nous pouvons voir que ses points d'intersection avec l'axe des 𝑥 sont négatifs. En effet, ses points d'intersection avec l'axe des 𝑥 sont à moins un et moins deux et non pas à un et deux. Donc l’option (C) n’est pas correcte. Si nous examinons l'option (D), on peut voir qu'il s'agit d'une forme parabolique qui s'ouvre vers le bas, ce qui signifie que son coefficient dominant est négatif. Cependant, on nous dit que le coefficient dominant est positif, donc notre parabole s'ouvre vers le haut. L’option (D) n’est pas correcte.
Enfin, examinons l’option (E). Tout d'abord, on peut voir qu'il s'agit d'une forme parabolique et on peut voir qu'elle s'ouvre vers le haut, donc son coefficient dominant est positif. Ensuite, on peut regarder les deux abscisses des points d’intersections avec l'axe des 𝑥. On peut voir que celles-ci sont en 𝑥 égal un et 𝑥 égal deux. Donc si nous appelons 𝑔 de 𝑥 l’expression de cette fonction, alors l'ensemble des solutions de l'équation 𝑔 de 𝑥 égal zéro sera l'ensemble contenant un et deux puisque ce sont les abscisses de ses points d'intersection avec l'axe des 𝑥. Et cela correspond aux informations qui nous sont données. La réponse est donc l'option (E).
