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Vidéo de la leçon : Résoudre des équations du second degré à l'aide de représentations graphiques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter graphiquement une fonction du second degré de la forme 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, afin de résoudre l’équation 𝑓 (𝑥) = 0.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter graphiquement une fonction du second degré de la forme 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏 𝑥 plus 𝑐 afin de résoudre l’équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro.

Commençons par rappeler ce que nous savons des courbes des fonctions du second degré. Elles ont la forme d’une parabole. Et le coefficient de 𝑥 au carré nous indique l’orientation de cette parabole. En particulier, si le quotient de 𝑥 au carré qui est 𝑎 est supérieur à zéro, nous avons une parabole en forme de U, et si 𝑎 est inférieur à zéro, nous avons une parabole en forme de N. En d’autres termes, si le coefficient de 𝑥 au carré est négatif, la parabole est inversée. En fait, nous pouvons également dessiner ces graphiques en calculant les valeurs des intersections avec les axes 𝑥 et 𝑦. Les valeurs des intersections avec les axes 𝑥 et 𝑦 sont trouvées en fixant 𝑦 égal à zéro, et respectivement x égal à zéro, puis en résolvant l’équation résultante ou en simplifiant.

Plus précisément pour une fonction du second degré de la forme 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏 𝑥 plus 𝑐, si l’équation 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏 𝑥 plus 𝑐 égal à zéro a deux solutions distinctes, 𝑥 est égal à 𝑥 un et 𝑥 est égal à 𝑥 deux, les intersections avec l’axe des abscisses sont 𝑥 indice un et 𝑥 indice deux comme indiqué ici. Maintenant, c’est vraiment important quand il s’agit d’utiliser les graphiques de ces fonctions pour pouvoir résoudre des équations. Puisque les intersections avec l’axe des abscisses de la courbe d’une fonction 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥 sont trouvées en résolvant l’équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro, la réciproque est vraie. Il s’ensuit que les solutions à l’équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro peuvent être trouvées en localisant les intersections avec l’axe des abscisses sur la courbe.

Maintenant, bien sûr, dans le cas des graphiques du second degré en particulier, c’est un peu plus compliqué que cela. Nous venons de voir que si le graphique d’une fonction du second degré a deux zéros distincts 𝑥 un et 𝑥 deux, alors l’équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro a deux solutions distinctes. Mais il y aura des fois où notre équation aura une solution, parfois appelée racine double, ou pas de solution du tout. Celles-ci peuvent être rapidement identifiées à nouveau en regardant le graphique de la fonction. Une racine double se produit lorsque l’axe des 𝑥 est une tangente au graphique. En d’autres termes, le graphique touche l’axe des 𝑥 exactement une fois.

Dans ce cas, en fait, la solution unique à l’équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro correspond en fait à l’emplacement du sommet de la courbe. Maintenant, si la courbe ne coupe pas du tout l’axe des 𝑥, alors l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro n’a pas de racines réelles. Cela pourrait ressembler à ceci, en d’autres termes, la fonction a des résultats purement positifs, ou comme cela, où nous avons des résultats purement négatifs. Donc, avec tout cela en tête, nous allons démontrer comment utiliser un graphique quadratique pour résoudre une équation du second degré.

La figure montre la courbe de 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥. Quel est l’ensemble des solutions de l’équation 𝑓 de 𝑥 égal à zéro?

Rappelez-vous, étant donné le graphique d’une équation du second degré 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎 𝑥 au carré plus 𝑏 𝑥 plus 𝑐, les solutions de l’équation du second degré 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro correspondent aux valeurs des intersections avec l’axe des abscisses. Donc, tout ce que nous devons faire est d’identifier l’emplacement des intersections avec l’axe des abscisses sur notre graphique. En les localisant, nous voyons qu’il n’y a en fait qu’un seul zéro pour 𝑥. C’est moins deux. Il n’y a donc, en fait, qu’une seule solution à l’équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro. C’est 𝑥 est égal à moins deux. Maintenant, on nous demande de donner l’ensemble des solutions à l’équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro. Donc, en notation d’ensemble, c’est l’ensemble contenant l’unique élément moins deux.

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment nous pouvons effectuer exactement la même méthode si la courbe de la fonction est une parabole inversée, en d’autres termes, si le coefficient de 𝑥 au carré est négatif.

Le graphique montre la courbe d’équation 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥. Quelle est l’ensemble des solutions de l’équation 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro.

Rappelez-vous, si on nous donne le graphique d’une fonction 𝑓 de 𝑥, les solutions à l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro correspondent aux valeurs des intersections avec l’axe des abscisses. Et ce processus que nous utilisons pour trouver des solutions aux équations du second degré, s’applique aussi aux équations de toute fonction 𝑓 de 𝑥 égale à zéro.

Donc, tout ce que nous devons faire est de trouver l’emplacement des intersections avec l’axe des abscisses sur notre graphique. Nous avons deux. Il y en a un ici et un ici. Ce sont les points où notre courbe coupe l’axe des 𝑥. Puisque cela se produit en moins deux et deux, nous pouvons dire que les solutions à l’équation 𝑓 de 𝑥 égal à zéro sont 𝑥 égal à moins deux et 𝑥 égal à deux. Maintenant, en fait, on nous demande de donner l’ensemble des solutions. Nous utilisons donc la notation des ensembles comme indiqué. L’ensemble des solutions de l’équation 𝑓 de 𝑥 égal à zéro est l’ensemble contenant les éléments moins deux et deux.

Nous allons considérer un autre exemple de cette forme.

La courbe montre la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois. Quelle est l’ensemble des solutions de 𝑓 de 𝑥 égal à zéro.

Étant donné le graphique d’une fonction 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥, les solutions de l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro correspondent aux intersections avec l'axe des abscisses si elles existent. S’il n’y a pas d’intersection avec l’axe des abscisses, il n’y a donc pas de solutions à l’équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro. Maintenant, dans ce cas, on nous a donné la courbe de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 carré moins deux 𝑥 plus trois et on nous a demandé de résoudre 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro ou, en d’autres termes, 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus trois est égal à zéro.

Mais si nous regardons attentivement, nous voyons qu’il n’y a aucun endroit où la courbe, tracée en vert ici, coupe l’axe des 𝑥. Et donc, il n’y a pas de solutions réelles à l’équation 𝑓 de 𝑥 égal à zéro. Pour utiliser la notation des ensembles, nous devons trouver un moyen de montrer qu’il n’y a pas de valeurs dans l’ensemble. Nous utilisons donc la notation indiquée. C’est l’ensemble nul ou l’ensemble vide.

Dans les exemples que nous avons vus jusqu’à présent, on nous a donné le graphique d’une fonction 𝑓 de 𝑥. Et cela nous a permis d’identifier les endroits où cette courbe coupe l’axe des 𝑥. Cette information nous a ensuite permis d’écrire les racines de la fonction, en d’autres termes les solutions, en fonction de l’ensemble des solutions associé qui pourrait avoir soit deux éléments distincts, un seul élément, ou aucun élément du tout. Et dans le cas où il n’y a qu’un seul élément, l’emplacement de la racine est commun avec l’unique sommet de la fonction. En effet, maintenant, on ne nous donnera pas toujours la courbe de la fonction du second degré. Et il ne sera pas toujours évident de trouver des solutions exactes. Dans l’exemple suivant, nous allons tracer la courbe d’une fonction du second degré et l’utiliser pour estimer les solutions de l’équation.

Tracer la courbe de la fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 au carré plus trois 𝑥 moins un sur l’intervalle 𝑥 égal à moins trois et 𝑥 égal à un en utilisant les valeurs entières de 𝑥. En utilisant ce graphique, estimez les solutions à l’équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro. Donnez vos réponses au nombre entier le plus proche.

Pour tracer la courbe d’une fonction, nous commençons par réaliser un tableau de valeurs. Maintenant, puisque nous traçons la courbe sur l’intervalle 𝑥 est égal à moins trois et 𝑥 est égal à un et en utilisant des valeurs entières, nous allons utiliser 𝑥 est égal à moins trois, moins deux, moins un, zéro et un. Afin de trouver les images correspondantes, les valeurs de 𝑓 de 𝑥, nous utilisons chaque valeur de 𝑥 dans la fonction deux 𝑥 au carré plus trois 𝑥 moins un. Cela crée un ensemble de paires de coordonnées qui correspondent à notre fonction.

Commençons par calculer la valeur de la fonction lorsque 𝑥 est égal à moins trois, en d’autres termes 𝑓 de moins trois. Nous remplaçons chaque 𝑥 par moins trois, et nous obtenons deux fois moins trois au carré plus trois fois moins trois moins un. Si on suit l’ordre des opérations il faut calculer en premier l’exposant dans ce problème. Moins trois au carré est neuf. Ensuite, nous calculons deux fois neuf, qui est 18, et trois fois moins trois, ce qui est moins neuf. Donc, cela devient 18 moins neuf moins un, et cela donne huit. Donc 𝑓 de moins trois est égal à huit.

Nous allons maintenant répéter ce processus avec 𝑥 est égal à moins deux. Notre expression est deux fois moins deux au carré. Bien sûr, moins deux au carré égal à quatre. Ensuite, nous avons trois fois moins deux moins un. Cela devient huit moins six moins un, ce qui fait un. Ensuite, 𝑥 est égal à moins un. C’est deux fois moins un au carré plus trois fois moins un moins un. Et puisque moins un au carré est un, cela devient deux moins trois moins un, ce qui est moins deux. De la même manière, lorsque 𝑥 est égal à zéro, la valeur de la fonction est moins un. Et quand 𝑥 est égal à un, 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre.

Et donc nous avons nos cinq paires de coordonnées. Nous avons moins trois, huit; moins deux, un; moins un, moins deux; zéro, moins un; et un, quatre. Nous les traçons à tour de rôle. Moins trois, huit est ici. Moins deux, un est ici. Nous avons alors moins un, moins deux; zéro, moins un; et un, quatre.

Ne pas oublier, ces résultats n’augmentent pas linéairement. Nous devons donc les joindre avec une courbe au lieu d’une droite. Et donc, nous avons le graphique de notre fonction. Rappelez-vous, nous essayons de l’utiliser pour trouver des solutions à l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro. Maintenant, si ces solutions existent, elles correspondent aux valeurs des intersections avec l’axe des abscisses. Ceux-ci semblent être situés approximativement en 𝑥 égale moins 1,8 et 𝑥 égale 0,2. Corriger au nombre entier le plus proche, une estimation des solutions à l’équation 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro est 𝑥 est égal à moins deux et 𝑥 est égal à zéro.

Maintenant, en fait, nous n’avons pas besoin de la courbe pour trouver des solutions à 𝑓 de 𝑥 égal à zéro. Nous savons que les solutions correspondent aux valeurs des intersections avec l’axe des abscisses, parfois appelées de manière équivalente les zéros de la fonction. Par conséquent, étant donné ces valeurs ou coordonnées des intersections avec l’axe des abscisses, nous pouvons identifier un ensemble de solutions de l’équation 𝑓 de 𝑥 égal à zéro.

Dans l’exemple suivant, nous allons montrer à quoi cela ressemble.

Si le graphique de la fonction du second degré 𝑓 coupe l’axe des 𝑥 aux points moins trois, zéro et moins neuf, zéro, quel est l’ensemble des solutions de 𝑓 de 𝑥 égal à zéro dans l’ensemble des nombres réels?

Maintenant, rappelez-vous, si on nous donne le graphique d’une fonction, nous pouvons trouver les solutions pour 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro en localisant les intersections avec l’axe des abscisses ou les zéros de la fonction. Maintenant, dans ce cas, on ne nous donne pas réellement un graphique, mais on nous donne les coordonnées auxquelles la fonction coupe l’axe des 𝑥. C’est moins trois, zéro et moins neuf, zéro. Puisque le premier nombre de chaque paire de coordonnées correspond à la valeur de 𝑥 ici, on peut dire que les solutions à l’équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro sont 𝑥 égale à moins trois et 𝑥 égale à moins neuf. En utilisant la notation des ensembles, l’ensemble des solutions de 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro dans l’ensemble des nombres réels est l’ensemble contenant les éléments moins trois et moins neuf.

Nous avons maintenant démontré de différentes façons comment trouver des solutions à une équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro lorsque l’on donne le graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥. Récapitulons les points clés de cette leçon.

Nous avons vu que les solutions à l’équation 𝑓 de 𝑥 égale à zéro, si elles existent, peuvent être trouvées en localisant les valeurs des intersections avec l’axe des abscisses de la courbe de 𝑦 égal à 𝑓 de 𝑥. Nous avons également vu que si l’axe des 𝑥 est une tangente à la courbe, alors nous avons une racine double. Ce n’est qu’une seule racine. Et ce point est aussi le sommet de la courbe. Enfin, nous avons également vu que nous pouvons tracer des graphiques quadratiques en utilisant un tableau de valeurs. Et nous pouvons ensuite utiliser ce graphique pour faire une approximation des points où la courbe croise l’axe des 𝑥 et donc les solutions ou les racines de cette équation du second degré.

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