Fiche explicative de la leçon: Résoudre des équations du second degré à l’aide de représentations graphiques Mathématiques • Troisième préparatoire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment représenter graphiquement une fonction du second degré de la forme afin de résoudre l’équation .

Pour étudier une fonction du second degré, il peut être utile de rappeler quelques propriétés de base de ces fonctions ainsi que les caractéristiques clés que nous pouvons utiliser pour les classer ou les décrire. Considérons la fonction du second degré générale où , et sont des nombres réels et . En traçant cette fonction, nous pouvons observer deux formes de base en fonction du signe du coefficient . Si est positif, alors la représentation graphique de la fonction aura une forme en « u » et si est négatif, alors la représentation graphique de la fonction aura une forme en « n ». Nous l’illustrons sur les graphiques ci-dessous, où la représentation graphique de gauche est celle d’une fonction du second degré où est positif, et la représentation graphique de droite est celle d’une fonction du second degré où est négatif. Nous avons délibérément omis l’axe des ainsi que le quadrillage.

Les valeurs des deux autres coefficients, et , affectent bien sûr la représentation graphique de la fonction du second degré et une façon de le comprendre est de classifier comment tous ces coefficients influencent les racines de la fonction, sur lesquelles nous nous pencherons plus tard. Le but principal de cette fiche explicative est cependant de comprendre comment trouver les racines d’une fonction du second degré en traçant sa représentation graphique. Cela divise en fait le problème en trois catégories distinctes, et nous donnerons un petit exemple de chacune. Avant cela, nous allons donner la définition de l’ensemble des racines d’une fonction du second degré.

Considérez la fonction du second degré . Un excellent moyen de comprendre le comportement de cette fonction (ou de toute fonction) est de tracer sa représentation graphique ou un schéma précis. Nous pouvons pour cela compléter un tableau de valeurs puis convertir ces informations en coordonnées sur le plan . Pour la fonction du second degré , nous ne savons pas pour le moment comment elle se comporte et nous ne savons donc pas où un comportement intéressant pourrait se produire (tel que l’emplacement des racines). Sans autre piste, nous allons créer un tableau de valeurs pour les quelques points proches de l’axe des . Nous créons donc le tableau de valeurs suivant pour , qui dans ce cas donne ce qui suit.

Maintenant que nous avons ces informations sur la fonction, nous pouvons tracer ces sept points pour mieux comprendre son comportement. On commence par le point , puis et ainsi de suite jusqu’à obtenir le graphique ci-dessous.

Cette seule information nous permet de mieux comprendre le comportement de la fonction. Que ce soit à partir du tableau de valeurs ci-dessus ou à partir des points tracés, nous pouvons voir qu’il y a deux points où la courbe représentative coupe l’axe des . Il est peut-être plus clair de tracer d’abord la totalité de la courbe représentative de la fonction du second degré dans cette zone, comme effectué ci-dessous.

Il est peut-être plus clair de tracer d’abord la totalité de la courbe représentative de la fonction du second degré dans cette zone, comme effectué ci-dessous. Cela semble se produire à deux endroits : lorsque et lorsque . On peut dire de manière équivalente que les coordonnées des racines sont et . Enfin, nous pourrions utiliser le langage de l’ensemble solution tel que décrit dans la définition ci-dessus, et nous dirons que l’ensemble solution . Si nous le souhaitions, nous pourrions vérifier que ces racines sont correctes en factorisant , ce qui donnerait dans ce cas . Les racines de la fonction se produisent lorsque , ce qui correspond exactement à ou à  ; c’est-à-dire à ou .

Nous allons maintenant donner un exemple d’une fonction du second degré qui n’a qu’une seule racine et nous verrons que nous pouvons en déduire une propriété intéressante qui apparaîtra plusieurs fois dans cette fiche explicative. Soit la fonction du second degré . Un premier pas très utile vers la compréhension de cette fonction est le tableau de valeurs suivant.

Contrairement à l’exemple précédent, chaque valeur de est positive ou nulle, ce qui pourrait suggérer qu’il y a un comportement fondamentalement différent. Sur le graphique ci-dessous, nous avons tracé les valeurs du tableau ainsi que la courbe représentative de la fonction du second degré dans cette région. Nous avons dû mettre les axes à l’échelle pour montrer correctement le comportement autour de l’axe des , qui est l’endroit où nous pouvons voir les racines.

Il y a visiblement une racine lorsque , qui est marquée par une croix rouge. Sinon, on peut dire que la racine simple a les coordonnées ou que l’ensemble des racines est . Remarquez que la racine simple est aussi le minimum de la fonction du second degré. Il s’agit d’un exemple d’une propriété plus générale : lorsque l’ensemble des racines a un élément, le sommet est aussi la seule racine de la fonction. Si nous avions choisi de factoriser la fonction du second degré, nous aurions trouvé que puis se produit uniquement lorsque .

Pour le dernier exemple, nous allons étudier la fonction du second degré , qui produit le tableau de valeurs ci-dessous. Nous remarquons que toutes les valeurs de sont négatives et surtout qu’aucune n’est nulle, ce qui indique un nouveau comportement différent du précédent.

Nous avons tracé cette fonction ci-dessous et pouvons voir immédiatement qu’il n’y a pas de points où la courbe représentative coupe l’axe des , ce qui signifie que la fonction n’admet pas de racine. Compte tenu de cela, nous pouvons écrire que l’ensemble des racines est . Si nous avions essayé de factoriser cette fonction du second degré soit en complétant le carré, soit par d’autres moyens, nous aurions alors réalisé que cela n’était pas possible car nous aurions dû prendre la racine carrée d’un nombre négatif. Nous commenterons cela plus loin dans cette fiche explicative.

Nous avons maintenant vu un exemple d’ensemble des racines à deux éléments, un ensemble à un élément et un ensemble vide. On peut établir plusieurs relations entre les coefficients qui déterminent les comportements des fonctions du second degré. Nous évoquerons plusieurs d’entre elles dans la suite de cette fiche explicative, mais revenons brièvement à la fonction représentée ci-dessus. Remarquez que le sommet (le maximum) est sous l’axe des . Sachant que la représentation graphique de cette fonction du second degré a une forme en « n », cela signifie qu’il ne peut pas y avoir de points où la courbe représentative coupe l’axe des car, par définition, une fonction ne peut jamais dépasser sa valeur maximale. Il est possible de montrer de tels résultats avec beaucoup de rigueur algébrique, nous le laissons comme exercice aux lecteurs intéressés.

Il peut également nous être demandé de tracer la représentation graphique d’une fonction du second degré puis de l’utiliser pour estimer ses racines (et donc son ensemble des racines). Comme toujours, il est généralement recommandé de tracer ou d’esquisser la représentation graphique d’une fonction, quel que soit le but de l’étude de cette fonction. Cela donne souvent une forte indication sur le comportement de la fonction et la nature de ses caractéristiques (comme ses racines et ses points tournants).

Considérons la fonction sur l’intervalle à pour des valeurs entières de . En traçant la représentation graphique de la fonction, nous pourrons ensuite estimer les solutions à l’équation . Nous créons le tableau de valeurs suivant pour la fonction.

Nous pouvons l’utiliser pour tracer la représentation graphique suivante.

Afin de mieux illustrer les caractéristiques autour de la droite , nous pouvons mettre les axes à l’échelle en conséquence. Comme nous pouvons le voir, cette représentation graphique semble indiquer fortement que les racines de sont déterminées lorsque et , ce qui implique que l’ensemble des racines peut être noté . Dans ce cas, cela est en fait évident à partir du tableau de valeurs, car nous voyons clairement que .

Dans le premier exemple formel, nous avons la chance que la représentation graphique soit pré-tracée pour nous. Cela ne sera pas toujours le cas et dans la vraie vie, nous devons souvent tracer manuellement la courbe représentative ou, mieux encore, utiliser un logiciel graphique en ligne pour obtenir une compréhension plus détaillée (et plus rapide).

Exemple 1: Déterminer graphiquement l’ensemble des racines d’une équation du second degré

La figure montre la représentation graphique de . Quel est l’ensemble solution à l’équation  ? 

Réponse

Rappelons que les solutions à l’équation correspondent aux valeurs des points sur le graphique de où la courbe coupe l’axe des . C’est parce que en ces points.

Sur le graphique, nous pouvons voir que cela se produit exactement en un point, en , qui est aussi la position du minimum de la fonction. Ainsi, la seule solution est en . En tant qu’ensemble, ceci est .

Bien que cela ne soit pas indiqué dans cet exemple, la fonction du second degré était en réalité . Sachant que la racine de cette fonction est lorsque , nous pouvons créer un tableau de valeurs dans cette zone.

Sur le graphique ci-dessous, nous avons tracé ces points et avons indiqué la racine simple en rouge. L’axe des est également représenté en rouge et nous pouvons voir qu’il coupe la courbe représentative de précisément au point .

Ce cas d’une fonction du second degré avec une seule solution n’est cependant pas le plus courant. Dans l’exemple suivant, nous examinerons ce qui se passe lorsque la parabole coupe l’axe des en deux points distincts.

Exemple 2: Déterminer graphiquement l’ensemble des racines d’une équation du second degré

La figure montre la représentation graphique de . Quel est l’ensemble solution de l’équation  ? 

Réponse

Rappelons que pour trouver les solutions à , on peut trouver les points sur la représentation graphique de où la courbe coupe l’axe des .

On voit que la courbe coupe l’axe des en deux points, et . Cela signifie que les deux solutions sont et 1. En tant qu’ensemble solution, nous pouvons écrire ceci comme .

Jusqu’à présent, les deux exemples sont des fonctions du second degré dont la parabole a une forme en « u », mais elles peuvent aussi avoir une forme en « n ». Dans l’exemple suivant, nous montrerons que la méthode est exactement la même pour ces exemples.

Exemple 3: Déterminer les ensembles des racines d’équations du second degré à partir de leurs courbes représentatives

Le graphique montre la courbe d’équation . Quel est l’ensemble solution de l’équation  ? 

Réponse

Nous rappelons que est vérifié aux points où le graphique de coupe ou touche l’axe des .

En examinant le graphique, cela se produit en deux points et . Cela signifie que et 2 sont des solutions à . En tant qu’ensemble, ceci est .

Regardons un autre exemple d’examen d’un graphique pour trouver des solutions, bien que cette fois nous considérons le cas où le graphique ne coupe pas du tout l’axe des .

Exemple 4: Identifier l’ensemble des racines d’une fonction du second degré à partir de sa courbe

Le graphique montre la fonction . Quel est l’ensemble solution de  ? 

Réponse

Afin de trouver les solutions à une équation de la forme , rappelons que nous pouvons identifier les points où la courbe de coupe l’axe des .

Cependant, si nous examinons le graphique, nous pouvons voir qu’il n’y a aucun point où cela se produit. En fait, le minimum du graphique est en . Par conséquent, il n’y a pas de solutions en . Sous forme d’ensemble, nous pouvons écrire ceci comme l’ensemble vide .

Bien que la question ne nous oblige pas à démontrer que n’a pas de solutions, nous allons donner une explication rapide. Supposons que nous avons essayé de trouver les racines de en complétant le carré. Alors, on peut écrire comme suit : 

Si nous essayons de trouver les points où , alors nous essaierons de résoudre l’équation

Cela équivaut à exiger que et c’est à ce stade qu’il est clair pourquoi il n’y a pas de valeurs réelles de qui permettent cela. Si on essayait de résoudre l’équation ci-dessus pour déterminer , on devrait d’abord éliminer la puissance au carré sur le membre gauche en prenant la racine carrée des deux membres. Cela n’est cependant pas possible car le membre droit est négatif et que l’on ne peut pas prendre la racine carrée d’un nombre négatif. Pour cette raison, il n’existe aucune valeur réelle de qui résout l’équation ci-dessus et il n’y a donc pas de solutions à l’équation . En d’autres termes, n’a pas de racines et l’ensemble des racines associé est donc vide.

Dans les exemples ci-dessus, la représentation graphique des différentes fonctions du second degré , était fournie, ce qui nous a permis d’identifier visuellement les points où leurs courbes représentatives coupaient l’axe des . Cela nous a permis de noter ces racines de la fonction sous forme d’ensemble des racines associé , qui peut avoir deux éléments distincts, un seul élément ou aucun élément. Dans le cas où il n’y a qu’un seul élément, l’emplacement de la racine correspond au seul sommet de la courbe.

Même si les courbes représentatives des fonctions du second degré sont fournies, cette information n’est pas indispensable pour déterminer l’ensemble des racines. Les informations utiles pour déterminer l’ensemble des racines peuvent être les suivantes : les coordonnées précises des racines, le signe du coefficient dominant (qui détermine si la courbe est en forme de « u » ou de « n ») et l’emplacement du sommet. Il est important de noter que connaître ces informations n’est pas équivalent à connaître chacun des coefficients , ou pour une fonction du second degré . Pour être clair, connaître uniquement l’ensemble des racines d’une fonction du second degré ne signifie pas que nous connaissons la définition de la fonction. En effet, deux fonctions du second degré ou plus peuvent avoir le même ensemble des racines, ce qui signifie que connaître l’ensemble des racines n’est pas suffisant pour connaître la fonction du second degré elle-même (bien que cela nous indique la plupart des informations dont nous pourrions avoir besoin).

À titre d’exemple, considérons les deux fonctions du second degré

Ces deux fonctions sont tracées ci-dessous, avec en rouge et en bleu. Nous pouvons voir qu’elles partagent le même ensemble des racines car les coordonnées de leurs racines sont et respectivement. Non seulement ces fonctions sont visiblement distinctes, mais leurs courbes représentatives ont également une forme fondamentalement différente, ce qui est dû au signe opposé de leur coefficient dominant. En fait, les deux fonctions sont liées par la formule , ce qui explique pourquoi elles partagent leur ensemble des racines, les éléments de cet ensemble vérifiant en effet l’équation . Plus généralement, deux fonctions du second degré quelconques vérifiant ont le même ensemble des racines pour toute constante . Cela confirme que connaître l’ensemble des racines n’est pas suffisant pour décrire complètement la fonction du second degré elle-même.

Nous pouvons mieux comprendre cette situation en rappelant comment les racines d’une fonction du second degré correspondent à ses facteurs. Soit une fonction du second degré dont l’ensemble des racines est , où . Dans ce cas, il est clair que la fonction a le même ensemble des racines , puisque . Il est également vrai que toute fonction aura l’ensemble des racines pour tout , car cette nouvelle fonction est simplement une dilatation de la fonction d’origine .

Si l’ensemble des racines est constitué d’un seul élément , alors la seule racine correspond au sommet de la courbe représentative de la fonction. Dans ce cas, la fonction aura l’ensemble des racines donné, car par définition. Comme avec la situation précédente, on peut multiplier la fonction d’origine par une constante non nulle, ce qui signifie que la nouvelle fonction aura le même ensemble des racines.

Nous pouvons en fait énoncer une propriété plus inclusive concernant les fonctions du second degré qui partagent l’ensemble des racines . On peut dire que toutes les fonctions du second degré qui ne peuvent être factorisées partagent la même solution. Cela signifie que si une fonction du second degré n’a pas de racines, on peut en dire très peu de choses graphiquement, à part qu’elle ne peut pas couper l’axe des . Il convient toutefois de noter que la conséquence en est que l’intégralité de la courbe doit être au-dessus ou au-dessous de l’axe des . Ainsi, si on nous dit que le sommet est au-dessous de l’axe des , alors le reste de la courbe doit l’être aussi, et c’est la même chose quand c’est au-dessus de l’axe des .

Dans les exemples suivants, nous essaierons de répondre aux questions d’une manière assez rapide, mais nous réitérerons ce point ci-dessus en démontrant une gamme de fonctions du second degré qui possèdent les propriétés recherchées.

Notez que, dans la question précédente, nous n’avons pas eu à nous préoccuper de l’emplacement du sommet de la courbe, bien que comme les paraboles sont symétriques, nous pouvons dire qu’il doit être à mi-chemin entre les deux racines (c.-à-d. ).

Dans l’exemple suivant, nous montrerons comment, dans certains cas, le sommet nous permettra de déterminer les solutions à une fonction du second degré.

Exemple 6: Déterminer l’ensemble des racines d’une fonction du second degré étant donné le sommet

Si le point est le sommet de la courbe de la fonction du second degré , quel est l’ensemble solution de l’équation  ? 

Réponse

Rappelons que l’ensemble solution de l’équation est l’ensemble des points où le graphique coupe l’axe des . Dans cet exemple, on nous a indiqué seulement un point où cette intersection se produit, à savoir au sommet (nous savons que ce point coupe l’axe des puisque la coordonnée vaut zéro).

Cependant, comme ce point est un sommet, nous savons que ce point doit être le seul point où la courbe coupe l’axe des . Cela est dû au fait que la forme de la courbe d’une fonction du second degré signifie que le sommet est le minimum ou le maximum de la courbe, et que tous les autres points de la courbe doivent être situés au-dessus ou au-dessous du sommet. Nous illustrons ci-dessous un exemple d’une telle fonction du second degré.

Ainsi, la seule solution est , conduisant à l’ensemble .

Pour notre dernier exemple, voyons encore une fois la façon dont le sommet d’une fonction du second degré peut nous indiquer des informations sur les solutions.

Exemple 7: Comprendre la géométrie de la courbe représentative d’une fonction du second degré et en déduire son ensemble des racines

Vrai ou faux : si le point est le sommet de la courbe de la fonction du second degré où est un nombre négatif, alors l’ensemble solution de l’équation est .

Réponse

On rappelle d’abord que l’ensemble des racines de est si le graphique de la fonction ne coupe pas l’axe des en aucun point. On ne nous a pas dit explicitement si tel est le cas, mais nous connaissons la position du sommet. En outre, on nous a dit que est négatif, ce qui signifie que l’équation du second degré aura une forme en « n » par opposition à la forme en « u » que l’on trouve lorsque est positif.

Cela signifie que le sommet est le maximum de la courbe, et que tous les autres points seront situés au-dessous de ce point. Puisque la valeur du sommet est , cela signifie pour toutes les valeurs de . Nous illustrons ce à quoi ce graphique pourrait ressembler ci-dessous (mais notons qu’il y a un nombre infini de graphiques possibles).

Ainsi, il est impossible pour d’être égal à zéro, ce qui signifie que l’ensemble solution est en effet vide. Ainsi, la réponse est « vrai ».

Finissons par récapituler les points clés que nous avons appris dans cette fiche explicative.