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Fiche explicative de la leçon : Résoudre des équations du second degré à l'aide de représentations graphiques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment représenter graphiquement une fonction du second degré de la forme𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐 afin de résoudre l’équation𝑓(𝑥)=0.

Pour étudier une fonction du second degré, il peut être utile de rappeler quelques propriétés de base de ces fonctions ainsi que les caractéristiques clés que nous pouvons utiliser pour les classer ou les décrire. Considérons l’expression générale la fonction du second degré 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels et 𝑎0. En représentant cette fonction, nous pouvons observer deux formes de base en fonction du signe du coefficient 𝑎. Si 𝑎 est positif, alors la représentation graphique de la fonction aura une forme en « u » et si 𝑎 est négatif, alors la représentation graphique de la fonction aura une forme en « n ». Nous l’illustrons sur les graphiques ci-dessous, où la représentation graphique de gauche est celle d’une fonction du second degré où 𝑎 est positif et la représentation graphique de droite est celle d’une fonction du second degré où 𝑎 est négatif. Nous avons délibérément omis le repère 𝑥𝑦 ainsi que le quadrillage.

Les valeurs des deux autres coefficients 𝑏 et 𝑐 affectent bien sûr la représentation graphique de la fonction du second degré et une façon de le comprendre est de classifier comment tous ces coefficients influencent les racines de la fonction sur lesquelles nous nous pencherons plus tard. Le but principal de cette fiche explicative est cependant de comprendre comment trouver les racines d’une fonction du second degré à l’aide de sa représentation graphique. Cela divise en fait le problème en trois catégories distinctes, dont nous donnerons un exemple pour chacune. Avant cela, nous allons donner la définition de l’ensemble des racines d’une fonction du second degré.

Définition : Ensemble des racines d’une fonction du second degré

On considère la fonction du second degré d’expression 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels et 𝑎0. L’ensemble des racines 𝑆 de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) se compose alors de toutes les racines possibles de 𝑓(𝑥). En d’autres termes, 𝑆 est l’ensemble des valeurs de 𝑥 telles que 𝑓(𝑥)=0, où la représentation graphique coupe l’axe des abscisses 𝑥. Il existe trois possibilités pour l’ensemble des racines:

  • 𝑓(𝑥) a deux racines réelles, quand 𝑥=𝑥 et 𝑥=𝑥, 𝑥𝑥. Dans ce cas, l’ensemble des racines 𝑆 a deux éléments et est noté 𝑆={𝑥,𝑥}.
  • 𝑓(𝑥) a une seule racine réelle, quand 𝑥=𝑥. Dans ce cas, l’ensemble des racines a un élément et il est noté𝑆={𝑥}.
  • 𝑓(𝑥) n’a pas de racines réelles, ce qui signifie que l’ensemble des racines est vide. Dans ce cas, on dit que 𝑆 est égal à « l’ensemble vide » qui est noté 𝑆=.

Considérons la fonction du second degré d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥2. Un excellent moyen de comprendre le comportement de cette fonction (ou de toute fonction) est de tracer sa représentation graphique ou un schéma précis. Nous pouvons pour cela compléter un tableau de valeurs puis convertir ces informations avec des coordonnées dans le plan 𝑥𝑦. Pour la fonction du second degré d’expression 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥2, nous ne savons pour le moment pas comment elle se comporte et nous ne savons donc pas où un comportement intéressant pourrait se produire (tel que l’emplacement des racines). Faute de mieux, nous allons créer un tableau de valeurs pour quelques points d’abscisses 𝑥 proches de 0. Nous créons donc le tableau de valeurs suivant pour 𝑥=3;2;1;0;1;2;3.

𝑥3210123
𝑓(𝑥)10402204

Maintenant que nous avons ces informations sur la fonction, nous pouvons tracer ces sept points pour mieux comprendre son comportement. On commence par le point (3;10), puis (2;4) et ainsi de suite jusqu’à obtenir le graphique ci-dessous.

Cela nous permet de mieux comprendre le comportement de la fonction. Que ce soit à partir du tableau des valeurs ci-dessus ou à partir des points tracés, nous pouvons voir qu’il y a deux points où la courbe représentative coupe l’axe des abscisses 𝑥. Cela est peut-être plus clair si nous traçons la totalité de la courbe représentative de la fonction du second degré dans cette zone, comme ci-dessous.

Sur la représentation graphique ci-dessus, nous avons marqué les points où la courbe représentative coupe l’axe des abscisses 𝑥 par des croix rouges. Cela semble se produire à deux endroits:lorsque 𝑥=1 et lorsque 𝑥=2. On peut dire de manière équivalente que les coordonnées des racines sont (1;0) et (2;0). Enfin, on peut utiliser l’ensemble des racines tel que décrit dans la définition ci-dessus et dire que l’ensemble des racines est 𝑆={1;2}. Si nous le souhaitions, nous pourrions vérifier que ces racines sont correctes en factorisant 𝑓(𝑥), ce qui donnerait dans ce cas 𝑓(𝑥)=(𝑥+1)(𝑥2). Les racines de la fonction vérifient l’équation 𝑓(𝑥)=0, qui correspond exactement à 𝑥+1=0 ou à 𝑥2=0, c’est-à-dire à 𝑥=1 ou 𝑥=2.

Nous allons maintenant donner un exemple d’une fonction du second degré qui n’a qu’une seule racine et nous verrons que nous pouvons en déduire une propriété intéressante qui apparaîtra plusieurs fois dans cette fiche explicative. Soit la fonction du second degré définie par 𝑓(𝑥)=4𝑥32𝑥+64. Un premier pas très utile pour l’étude de cette fonction est le tableau de valeurs suivant.

𝑥2345678
𝑓(𝑥)16404163664

Contrairement à l’exemple précédent, chaque valeur de 𝑓(𝑥) est positive ou nulle, ce qui pourrait suggérer qu’il y a un comportement fondamentalement différent. Sur le graphique ci-dessous, nous avons tracé les valeurs du tableau ainsi que la courbe représentative de la fonction du second degré dans cette région. Nous avons dû mettre les axes à l’échelle pour montrer correctement le comportement autour de l’axe des abscisses 𝑥, qui est l’endroit où nous pouvons trouver les racines.

Il y a visiblement une racine lorsque 𝑥=4, qui est marquée par une croix rouge. Alternativement, on peut dire que la racine double a pour coordonnées (4;0) ou que l’ensemble des racines est 𝑆={4}. Remarquez que la racine double est aussi le minimum de la fonction du second degré. Il s’agit d’un exemple d’une propriété plus générale:lorsque l’ensemble des racines possède un seul élément, le sommet maximumminimum est aussi la seule racine de cette fonction. Si nous avions choisi de factoriser la fonction du second degré, nous aurions trouvé que 𝑓(𝑥)=(2𝑥8) et que 𝑓(𝑥)=0 se produit uniquement lorsque 𝑥=4.

Pour le dernier exemple, nous allons étudier la fonction du second degré définie par 𝑓(𝑥)=𝑥3𝑥5 qui possède le tableau de valeurs ci-dessous. Nous remarquons que toutes les valeurs de 𝑓(𝑥) sont négatives et surtout qu’aucune n’est nulle, ce qui indique un nouveau comportement différent du précédent.

𝑥3210123
𝑓(𝑥)533591523

Nous avons représenté cette fonction ci-dessous et pouvons voir immédiatement qu’il n’y a pas de points où la courbe représentative coupe l’axe des abscisses 𝑥, ce qui signifie que la fonction n’admet pas de racine. Sachant cela, nous pouvons écrire que l’ensemble des racines est 𝑆=. Si nous avions essayé de factoriser l’expression de cette fonction du second degré soit en en utilisant une identité remarquable, soit par d’autres moyens, nous aurions alors réalisé que cela n’était pas possible car nous aurions dû prendre la racine carrée d’un nombre négatif. Nous commenterons cela plus loin dans cette fiche explicative.

Nous avons maintenant vu un exemple d’ensemble des racines à deux éléments, à un seul élément et vide. On peut établir plusieurs relations entre les coefficients qui déterminent les comportements des fonctions du second degré. Nous évoquerons plusieurs d’entre elles dans la suite de cette fiche explicative, mais revenons brièvement à la fonction représentée ci-dessus. Remarquez que le sommet (le maximum) est sous l’axe des abscisses 𝑥. Sachant que la représentation graphique de cette fonction du second degré a une forme en « n », cela signifie qu’il ne peut pas y avoir de points où la courbe représentative coupe l’axe des abscisses 𝑥 car, par définition, l’image d’un nombre par une fonction ne peut jamais dépasser sa valeur maximale. Il est possible de montrer de tels résultats algébriquement avec une grande rigueur, nous le laissons comme exercice aux lecteurs intéressés.

Il peut également nous être demandé de tracer la représentation graphique d’une fonction du second degré puis de l’utiliser pour estimer ses racines (et donc l’ensemble de ses racines). Comme toujours, il est généralement recommandé de tracer ou d’esquisser la représentation graphique d’une fonction, quel que soit le but de l’étude cette fonction. Cela donne souvent une forte indication sur le comportement de la fonction et la nature de ses caractéristiques (telles que ses racines et ses extremums).

Considérons la fonction 𝑓(𝑥)=3𝑥3𝑥18 sur l’intervalle de 𝑥=4 à 𝑥=4 pour des valeurs entières de 𝑥. En traçant la représentation graphique de la fonction, nous pourrons ensuite estimer les solutions de l’équation 𝑓(𝑥)=0. Nous créons le tableau de valeurs suivant pour la fonction.

𝑥432101234
𝑓(𝑥)4218012181812018

Nous pouvons l’utiliser pour tracer la représentation graphique suivante.

Afin de mieux illustrer les caractéristiques autour de la droite d’équation 𝑓(𝑥)=0, nous pouvons mettre les axes à une échelle adaptée. Comme nous pouvons le voir, cette représentation graphique semble indiquer fortement que les racines de 𝑓(𝑥) sont 𝑥=2 et 𝑥=3, ce qui implique que l’ensemble des racines peut être noté 𝑆={2;3}. Dans ce cas, cela est en fait évident à partir du tableau des valeurs, car nous voyons clairement que 𝑓(2)=𝑓(3)=0.

Dans le premier exemple formel, nous avons la chance que la représentation graphique soit pré-tracée pour nous. Cela ne sera pas toujours le cas et dans la vraie vie, nous devons souvent tracer à la main la courbe représentative ou, mieux encore, utiliser un logiciel graphique en ligne pour en avoir une compréhension plus fine (et plus rapide).

Exemple 1: Déterminer graphiquement l’ensemble des racines d’une équation du second degré

La figure montre la représentation graphique de 𝑦=𝑓(𝑥). Quel est l’ensemble des solutions de l’équation 𝑓(𝑥)=0?

Réponse

Sur cette représentation graphique, nous pouvons voir que cette fonction du second degré a une seule racine, qui est 𝑥=2. Les coordonnées de cette racine sont (2;0), qui est également la position du minimum de la fonction. L’ensemble des racines est 𝑆={2}.

Bien que cela ne soit pas indiqué dans cet exemple, la fonction du second degré était en réalité définie par 𝑓(𝑥)=(𝑥+2)=𝑥+4𝑥+4. Sachant que la racine de cette fonction est 𝑥=2, nous pouvons créer un tableau de valeurs dans cette zone.

𝑥5432101
𝑓(𝑥)9410149

Sur le graphique ci-dessous, nous avons placé ces points et avons indiqué la racine double en rouge. L’axe des abscisses 𝑥 est également représenté en rouge et nous pouvons voir qu’il coupe la courbe représentative de 𝑓(𝑥) précisément au point (2;0).

Exemple 2: Déterminer graphiquement l’ensemble des racines d’une équation du second degré

La figure montre la courbe représentative d’équation 𝑦=𝑓(𝑥). Quel est l’ensemble des solutions de l’équation 𝑓(𝑥)=0?

Réponse

La courbe représentative semble couper l’axe des abscisses 𝑥 lorsque 𝑥=3 et 𝑥=1, ou aux points (3;0) et (1;0). Cela signifie que l’ensemble des solutions a deux éléments:𝑆={3;1}.

Exemple 3: Déterminer l’ensemble des solutions d’une équation du second degré à partir de sa courbe représentative

On considère la courbe représentative suivante d’équation 𝑦=𝑓(𝑥). Quel est l’ensemble des solutions de l’équation 𝑓(𝑥)=0?

Réponse

Cette fonction du second degré a visiblement deux racines qui semblent être 𝑥=2 et 𝑥=2, ou les points (2;0) et (2;0). L’ensemble des solutions a donc deux éléments et se note 𝑆={2;2}.

Exemple 4: Identifier l’ensemble des racines d’une fonction du second degré à partir de sa courbe représentative

La courbe ci-dessous représente la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥2𝑥+3. Quel est l’ensemble des solutions de l’équation 𝑓(𝑥)=0?

Réponse

Il n’y a pas de points où la représentation graphique coupe l’axe des abscisses 𝑥, ce qui signifie que 𝑓(𝑥) n’a pas de racines. Par conséquent, l’ensemble des racines est 𝑆=.

Bien que la question ne nécessite pas de démontrer que 𝑓(𝑥) n’a pas de racines, nous allons donner une brève explication. Essayons donc de trouver les racines de 𝑓(𝑥) en complétant le carré. On peut alors écrire 𝑓(𝑥) comme suit:𝑓(𝑥)=𝑥2𝑥+3=(𝑥1)1+3=(𝑥1)+2.

Si l’on essayait pas de trouver les points où 𝑓(𝑥)=0, alors on essaierait de résoudre l’équation (𝑥1)+2=0.

Cela est équivalent à (𝑥1)=2, et c’est à ce stade qu’on voit pourquoi il n’y a pas de valeurs réelles de 𝑥 vérifiant cela. Si l’on essayait de résoudre l’équation ci-dessus pour déterminer 𝑥, on devrait d’abord éliminer le carré sur le membre de gauche en prenant la racine carrée des deux membres. Cela n’est cependant pas possible car le membre de droite est négatif et que l’on ne peut pas prendre la racine carrée d’un nombre négatif. Pour cette raison, il n’existe aucune valeur réelle de 𝑥 qui résout l’équation ci-dessus et il n’y a donc pas de solutions pour l’équation 𝑓(𝑥)=0. En d’autres termes, 𝑓(𝑥) n’a pas de racines et l’ensemble des racines 𝑆 est donc vide.

Dans les exemples ci-dessus, la représentation graphique des différentes fonctions du second degré d’expression 𝑓(𝑥) était fournie, ce qui nous a permis d’identifier visuellement les points où leurs courbes représentatives coupaient l’axe des abscisses 𝑥. Cela nous a permis de noter ces racines de la fonction à l’aide d’un ensemble de racines 𝑆, qui peut avoir deux éléments distincts, un seul élément ou aucun élément. Dans le cas où il n’y a qu’un seul élément, l’emplacement de la racine correspond au seul sommet de la courbe.

Même si les courbes représentatives des fonctions du second degré sont fournies, cette information n’est pas indispensable pour déterminer l’ensemble des racines. Les informations utiles pour déterminer l’ensemble des racines peuvent être les suivantes:les coordonnées précises des racines, le signe du coefficient dominant (qui détermine si la courbe est en forme de « u » ou de « n ») et l’emplacement du sommet. Il est important de noter que connaître ces informations n’est pas équivalent à connaître chacun des coefficients 𝑎, 𝑏 ou 𝑐 pour une fonction du second degré 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐. Pour être clair, connaître uniquement l’ensemble des racines d’une fonction du second degré ne signifie pas que nous connaissons l’expression de la fonction. En effet, deux fonctions du second degré ou plus peuvent avoir le même ensemble de racines, ce qui signifie que connaître l’ensemble des racines n’est pas suffisant pour connaître la fonction du second degré elle-même (bien que cela nous indique la plupart des informations dont nous pourrions avoir besoin).

À titre d’exemple, considérons les deux fonctions du second degré 𝑓(𝑥)=𝑥+3𝑥4,𝑓(𝑥)=2𝑥6𝑥+8.

Ces deux fonctions sont représentées ci-dessous, avec 𝑓(𝑥) en rouge et 𝑓(𝑥) en bleu. Nous pouvons voir qu’elles partagent le même ensemble de racines 𝑆={4;1} car les coordonnées de leurs racines sont (4;0) et (1;0). Non seulement ces fonctions sont visiblement distinctes, mais leurs courbes représentatives ont également une forme fondamentalement différente, ce qui est dû au signe opposé de leur coefficient dominant. Les deux fonctions sont en fait reliées par la formule 𝑓(𝑥)=2𝑓(𝑥), ce qui explique pourquoi elles partagent leur ensemble de racines, les éléments de cet ensemble vérifiant en effet l’équation 𝑓(𝑥)=2𝑓(𝑥)=0. Plus généralement, deux fonctions du second degré vérifiant 𝑓(𝑥)=𝑘𝑓(𝑥) ont le même ensemble des racines pour toute constante 𝑘0. Cela confirme que connaître l’ensemble des racines n’est pas suffisant pour décrire complètement la fonction du second degré elle-même.

Bien que cela soit hors du cadre de cette fiche explicative, il peut être utile de garder à l’esprit la méthode de classification suivante pour l’ensemble des racines. Pour une fonction du second degré en général, ses racines peuvent être écrites en fonction de la célèbre formule (dans le monde des mathématiques) des racines du second degré:𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎.

Les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 affectent non seulement les valeurs des racines, mais déterminent également le nombre de racines que possède la fonction du second degré (et donc le type de l’ensemble des racines). La formule des racines du second degré ci-dessus contient l’expression 𝑏4𝑎𝑐. Si 𝑏<4𝑎𝑐, alors le terme sous la racine carrée est négatif, ce qui signifie que l’on essaierait de prendre la racine carrée d’un nombre négatif. Cela n’est pas possible lorsque l’on travaille uniquement avec les nombres réels, ce qui signifie qu’une fonction du second degré peut ne pas avoir de racines. Si 𝑏=4𝑎𝑐, alors on prend la racine carrée de zéro et le signe ± devient sans importance, ce qui signifie qu’il y a une racine double lorsque 𝑥=𝑏2𝑎. Dans le cas où 𝑏>4𝑎𝑐, on prend la racine carrée d’un nombre positif, ce qui revient à deux solutions possibles dues à l’opérateur ±. Bien que sortant du cadre de cette fiche explicative, il peut être utile d’utiliser la formule des racines du second degré pour classer ces fonctions.

Définition : Ensemble des racines d’une fonction du second degré étant donné son équation du second degré

On considère la fonction du second degré définie par 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels et 𝑎0. L’ensemble des racines 𝑆 de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) se compose alors de toutes les racines possibles de 𝑓(𝑥). En d’autres termes, 𝑆 est l’ensemble des valeurs de 𝑥 telles que 𝑓(𝑥)=0. L’ensemble des racines peut donc être classé comme suit:

  • Si 𝑏>4𝑎𝑐, alors 𝑆=𝑏+𝑏4𝑎𝑐2𝑎,𝑏𝑏4𝑎𝑐2𝑎;
  • Si 𝑏=4𝑎𝑐, alors 𝑆=𝑏2𝑎;
  • Si 𝑏<4𝑎𝑐, alors 𝑆=.

Le symbole représente l’ensemble sans éléments, communément appelé « ensemble vide ».

Une manière moins précise mais plus simple de comprendre cela est la suivante. Soit une fonction du second degré d’expression 𝑓(𝑥) dont l’ensemble des racines est 𝑆={𝑥,𝑥}, 𝑥𝑥. Dans ce cas, il est clair que la fonction 𝑓(𝑥)=(𝑥𝑥)(𝑥𝑥) a le même ensemble des racines 𝑆 car 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)=0. Il est également vrai que toute fonction d’expression 𝑔(𝑥)=𝑘𝑓(𝑥) aura l’ensemble des racines 𝑆 pour tout 𝑘0 car cette nouvelle fonction d’expression 𝑔(𝑥) est simplement une dilatation de la fonction d’origine d’expression 𝑓(𝑥).

Si l’ensemble des racines est constitué d’un seul élément 𝑆={𝑥}, alors la seule racine correspond au sommet de la courbe représentative de la fonction. Dans ce cas, la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=(𝑥𝑥) aura l’ensemble des racines donné, car𝑓(𝑥)=0 par définition. Comme précédemment, on peut multiplier l’expression de la fonction d’origine 𝑓(𝑥) par une constante non nulle et la nouvelle fonction d’expression 𝑔(𝑥)=𝑘𝑓(𝑥) aura le même ensemble de racines.

Nous pouvons en fait énoncer une propriété plus forte concernant les fonctions du second degré qui partagent un ensemble de racines . Pour une fonction du second degré d’expression générale 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐, 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels et 𝑎0, nous avons montré plus tôt en utilisant la formule des équations du second degré que 𝑓(𝑥) n’a pas de racines réelles si 𝑏<4𝑎𝑐. Nous devrions en effet prendre la racine carrée d’un nombre négatif, ce qui n’est pas possible pour les nombres réels. Dans cette situation, l’ensemble des racines est toujours l’ensemble vide . Par conséquent, nous pouvons affirmer que toutes les fonctions du second degré telles que 𝑏<4𝑎𝑐 ont le même ensemble de racines.

Dans les exemples suivants, nous allons essayer de répondre aux questions assez brièvement, mais nous rappellerons de temps en temps cette propriété à l’aide d’exemples de fonctions du second degré qui la satisfont.

Exemple 5: Comprendre les zéros des fonctions du second degré

Si la représentation graphique de la fonction du second degré 𝑓 coupe l’axe des abscisses 𝑥 aux points (3;0) et (9;0), quel est l’ensemble solution de l’équation 𝑓(𝑥)=0 dans ?

Réponse

La représentation graphique coupe l’axe des abscisses 𝑥 en deux points:𝑥=3 et 𝑥=9. On les appelle les racines de la fonction, ce qui implique que l’ensemble des racines est 𝑆={3;9}. Cet ensemble de racines est commun à toute fonction du second degré d’expression de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘(𝑥+3)(𝑥+9), 𝑘0, car les solutions de l’équation 𝑓(𝑥) sont 𝑥=3 et 𝑥=9.

Exemple 6: Déterminer l’ensemble des racines d’une équation du second degré à partir du sommet de la courbe représentative de la fonction du second degré associée

Si le point (9;0) est le sommet de la courbe représentative de la fonction du second degré 𝑓, quel est l’ensemble solution de l’équation 𝑓(𝑥)=0?

Réponse

Nous voyons ici que le sommet de la courbe représentative de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) est aussi la seule racine car il est situé au point (9;0). Cela signifie que l’ensemble des racines n’a qu’un seul élément et est noté 𝑆={9}. Cet ensemble des racines est commun à toute fonction du second degré de la forme 𝑓(𝑥)=𝑘(𝑥9), 𝑘0.

Exemple 7: Comprendre la géométrie de la courbe représentative d’une fonction du second degré et en déduire l’ensemble de ses racines

Vrai ou faux:si le point (2;5) est le sommet de la courbe représentative de la fonction du second degré d’expression 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐, 𝑎 est un nombre négatif, alors l’ensemble solution à l’équation 𝑓(𝑥)=0 est .

Réponse

Sachant que 𝑎<0, la courbe représentative de la fonction du second degré a une forme en « n », par opposition à une forme en « u » que l’on trouve lorsque 𝑎>0. Cela signifie que le sommet est le maximum de la fonction d’expression 𝑓(𝑥), la courbe représentative de la fonction ne peut donc pas être au-dessus de ce point. Alternativement, nous pourrions dire que 𝑓(𝑥)5, donc qu’elle a une borne supérieure égale à l’ordonnée 𝑦 du maximum. Sachant que 𝑓(𝑥)5 pour toutes les valeurs de 𝑥, il n’est pas possible que 𝑓(𝑥)=0, ce qui signifie que la fonction n’admet pas de racines. L’ensemble des racines 𝑆 est donc vide et est représenté par 𝑆=.

Points clés

  • On peut représenter une fonction du second degré à l’aide d’un tableau de valeurs et l’utiliser pour estimer les points où sa représentation graphique coupe l’axe des abscisses 𝑥. Ces points sont appelés les « racines » de la fonction du second degré.
  • Soit la fonction du second degré définie par 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐, 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels et 𝑎0. L’ensemble des racines 𝑆 de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) est alors l’ensemble des valeurs de 𝑥 telles que 𝑓(𝑥)=0. En d’autres termes,
    • si 𝑏>4𝑎𝑐, alors 𝑆=𝑥=𝑏+𝑏4𝑎𝑐2𝑎,𝑥=𝑏𝑏4𝑎𝑐2𝑎 et la fonction peut être exprimée par 𝑓(𝑥)=𝑘(𝑥𝑥)(𝑥𝑥), 𝑘0;
    • si 𝑏=4𝑎𝑐, alors 𝑆=𝑥=𝑏2𝑎 et la fonction peut être exprimée par 𝑓(𝑥)=𝑘(𝑥𝑥), 𝑘0;
    • si 𝑏<4𝑎𝑐, alors 𝑆=.
  • Lorsque l’ensemble des racines ne contient qu’un seul élément, la représentation graphique de la fonction d’expression 𝑓(𝑥) coupe l’axe des abscisses 𝑥 exactement une fois, en son sommet (minimum ou maximum).

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