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Déterminez l’ensemble solution de 𝜃 qui vérifie sécante 𝜃 est égale à moins racine de deux, sachant que 𝜃 est supérieure ou égale à zéro degré et inférieure à 360 degrés.
Afin de répondre à cette question, rappelons d'abord que la fonction sécante est l'inverse de la fonction cosinus, de sorte que sécante 𝜃 est égale à un sur cosinus 𝜃. Nous pouvons donc réécrire l'équation comme un sur cosinus 𝜃 est égale à moins racine deux. À son tour, cosinus 𝜃 est égal à moins un sur racine deux. Nous pouvons résoudre cette équation en utilisant les fonctions trigonométriques inverses ainsi que nos connaissances du diagramme CAST et des angles spéciaux.
Puisque la valeur de cosinus 𝜃 est négative et se situe entre zéro et moins un, nous savons que nous aurons des solutions dans les deuxième et troisième quadrants. À ce stade, rappelons que le cosinus de 45 degrés est égal à un sur racine deux. Nous pouvons utiliser ceci ainsi que la symétrie de la fonction cosinus dans le diagramme CAST pour déterminer les solutions de notre équation dans les deuxième et troisième quadrants.
Les valeurs de 𝜃 qui satisfont l'équation cosinus 𝜃 est égal à moins un sur la racine deux sont 𝜃 est égal à 180 degrés moins 45 degrés et 𝜃 est égal à 180 degrés plus 45 degrés. Nous obtenons ainsi deux solutions : 135 degrés et 225 degrés.
Notons que nous aurions également pu résoudre l'équation en prenant la réciproque de la fonction cosinus des deux côtés, de telle sorte que 𝜃 est égal à la réciproque de la fonction cosinus de la valeur de moins un sur la racine de deux. Assurez-vous que notre calculatrice est en mode degré et saisissez le côté droit, ce qui nous aurait donné notre première solution de 135 degrés. Nous aurions alors pu trouver la deuxième solution en soustrayant cette valeur de 360 degrés, ce qui nous aurait donné notre deuxième solution de 225 degrés.
Dans tous les cas, l'ensemble des solutions de 𝜃 vérifiant sécante 𝜃 est égale à moins racine deux où 𝜃 est supérieur ou égal à zéro et inférieure à 360 degrés est 135 degrés et 225 degrés.
