Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment résoudre des équations trigonométriques impliquant les fonctions sécante, la cosécante et la cotangente sur différents intervalles en degrés et en radians. Les équations trigonométriques inverses ont plusieurs applications dans le monde réel dans des domaines tels que la physique, l’ingénierie, l’architecture, la robotique et la navigation. En physique, on peut les utiliser dans le mouvement des projectiles, dans l’analyse des courants et pour trouver la trajectoire d’une masse en mouvement autour d’un corps massif sous l’effet de la pesanteur.
Commençons par rappeler les fonctions trigonométriques dont nous allons examiner les inverses dans cette vidéo. En considérant le triangle rectangle dessiné, on sait que le sinus de l’angle 𝜃 est égal à l’opposé sur l’hypoténuse. Le cosinus de l’angle 𝜃 est l’adjacent sur l’hypoténuse. Et la tangente de l’angle 𝜃 est égale à l’opposé sur l’adjacent. Cela nous amène également à l’identité trigonométrique tan 𝜃 égale sin 𝜃 sur cos 𝜃. Nous notons que ces rapports sont définis pour des angles aigus compris entre zéro et 90 degrés.
Afin de définir ces fonctions pour toutes les valeurs de 𝜃, on doit considérer le cercle unité. Supposons qu’un point se déplace le long du cercle unité dans le sens horaire. En tout point avec les coordonnées 𝑥, 𝑦 sur le cercle unité faisant un angle 𝜃, on sait que 𝑥 est égal à cos 𝜃 et 𝑦 est égal à sin 𝜃. Nous savons que ces fonctions trigonométriques sont périodiques, de sorte que le sin de 360 degrés plus 𝜃 est égal à sin 𝜃. De même, le cos de 360 degrés plus 𝜃 est égal au cos de 𝜃. La périodicité de la fonction tangente indique que tan de 180 degrés plus 𝜃 est égal à tan 𝜃.
Nous savons également par la symétrie des courbes sinus et cosinus que sin de 180 degrés moins 𝜃 est égal à sin 𝜃 et que le cos de 360 degrés moins 𝜃 est égal à cos 𝜃. On peut les visualiser sur un diagramme CAST comme suit. Ce diagramme CAST nous aide à nous souvenir des signes des fonctions trigonométriques dans chaque quadrant. Dans le premier quadrant, toutes les fonctions sont positives. Dans le deuxième quadrant, la fonction sinus est positive, tandis que les fonctions cosinus et tangente sont négatives. Dans le troisième quadrant, seule la fonction tangente est positive. Et enfin, dans le quatrième quadrant, la fonction cosinus est positive, tandis que les fonctions sinus et tangente sont négatives.
Voyons maintenant comment ces propriétés influent sur les fonctions trigonométriques inverses. La cosec de l’angle 𝜃 est égale à un sur le sin de l’angle 𝜃. C’est l’inverse de la fonction sinus. La sec de l’angle 𝜃 est égale à un sur le cos de l’angle 𝜃. Et enfin, la cot de l’angle 𝜃 est égale à un sur la tan de l’angle 𝜃. Cette dernière fonction, associée au fait que tan 𝜃 est égal à sin 𝜃 sur cos 𝜃, nous amène au fait que cot 𝜃 est égal à cos 𝜃 sur sin 𝜃. Nous allons maintenant utiliser ces fonctions inverses avec notre diagramme CAST pour résoudre des équations trigonométriques sur des intervalles donnés.
Déterminez l’ensemble des valeurs pour lesquelles racine de trois cot 𝜃 est égale à un, sachant que 𝜃 est supérieur à zéro et inférieur à 360 degrés.
Nous pouvons résoudre ce problème en utilisant notre connaissance des fonctions trigonométriques inverses. Rappelons que la cot de l’angle 𝜃 est égale à un sur la tan de 𝜃. Nous pouvons réorganiser l’équation qui nous est donnée en divisant d’abord les deux côtés par racine de trois. La cot de 𝜃 est donc égale à un sur racine de trois. Puisque tan 𝜃 est l’inverse de cot 𝜃, tan 𝜃 est égal à racine de trois. On peut trouver l’angle principal ici en utilisant notre connaissance des angles spéciaux. Nous savons que la tan de 60 degrés est égal à racine de trois. Cela signifie qu’une solution à l’équation tan 𝜃 égale racine de trois est 𝜃 égale 60 degrés. On nous demande de trouver toutes les solutions entre zéro et 360 degrés. On peut le faire en esquissant un diagramme CAST.
Puisque la tan de l’angle 𝜃 est positive il y aura des solutions dans le premier et troisième quadrant. Nous avons déjà trouvé que la solution dans le premier quadrant est 60 degrés. En utilisant la périodicité de la fonction tangente, nous savons que la tan de 180 degrés plus 𝜃 est égal à la tan de l’angle 𝜃. On peut donc obtenir la deuxième solution en additionnant 60 degrés à 180 degrés. Cela est égal à 240 degrés. Toute autre solution trouvée en ajoutant ou en soustrayant des multiples de 180 degrés sera en dehors de l’intervalle requis. L’ensemble des solutions est donc 60 degrés et 240 degrés.
Dans notre prochain exemple, nous allons considérer un problème dans lequel l’intervalle est en radians.
Déterminez la valeur de 𝜃 pour laquelle cosec de 𝜃 moins racine de deux égale zéro où 𝜃 se trouve dans l’intervalle ouvert de zéro à 𝜋 sur deux.
Commençons par rappeler que la cosec de l’angle 𝜃 est l’inverse de sin 𝜃. Afin de résoudre l’équation que nous avons, nous commençons par ajouter racine de deux aux deux côtés. Cela signifie que la cosec de 𝜃 est égale à racine de deux. Le sin de l’angle 𝜃 est donc égal à un sur racine de deux. De notre connaissance des angles spéciaux, nous savons que le sin de 45 degrés est égal à un sur racine de deux ou racine de deux sur deux.
Il est important de noter à ce stade que l’intervalle est en radians. Nous savons que 𝜋 radians est égal à 180 degrés. Cela signifie que nous ne sommes intéressés que par des solutions comprises entre zéro et 90 degrés. Nous pouvons donc conclure que la valeur de 𝜃 pour laquelle cosec de 𝜃 moins racine de deux égale zéro entre zéro et 90 degrés est 45 degrés.
Dans notre prochain exemple, nous allons résoudre une équation trigonométrique en modifiant l’intervalle sur lequel des solutions existent.
Déterminez l’ensemble des solutions 𝜃 qui vérifient racine de trois multiplié par cosec de 90 degrés moins 𝜃 moins deux est égal à zéro, où 𝜃 est dans l’intervalle fermé de zéro degré à 180 degrés.
Dans cette question, nous commençons par considérer les fonctions trigonométriques inverses. Nous savons que la cosec d’un angle 𝛼 est égal à un sur le sin de l’angle 𝛼. Avant d’utiliser cette identité, nous allons considérer 𝛼 comme égal à 90 degrés moins 𝜃. Cela nous permet de résoudre l’équation racine de trois cosec de 𝛼 moins deux est égal à zéro. Si on ajoute deux des deux côtés de cette équation, puis on divise par la racine de trois, on a cosec de 𝛼 égal à deux sur racine de trois. Lorsqu’on utilise l’identité inverse, on a sin 𝛼 est égal à un sur deux sur racine de trois, ce qui est égal à racine de trois sur deux
De notre connaissance des angles spéciaux, nous savons que le sin de 60 degrés est égal à racine de trois sur deux. Cela signifie qu’une solution à l’équation sin 𝛼 égale à racine de trois sur deux est 𝛼 égale à 60 degrés. Nous cherchons des solutions de 𝜃 entre zéro et 180 degrés inclus. Pour écrire cet intervalle en fonction de 𝛼, on soustrait 90 degrés de l’inégalité de sorte que 𝛼 soit supérieur ou égal à moins 90 degrés et inférieur ou égal à 90 degrés. Si on utilise un diagramme CAST, on peut voir que nos solutions sont dans le premier ou le quatrième quadrant. Puisque le sin de l’angle 𝛼 est positif, il n’y aura donc qu’une solution dans le premier quadrant. C’est la solution que nous avons déjà trouvée: 𝛼 est égal à 60 degrés.
Puisque 𝛼 est égal à 90 degrés moins 𝜃, alors 𝜃 doit être égal à 90 degrés moins 𝛼. Lorsqu’on substitue la valeur de 𝛼, on a 𝜃 est égal à 90 degrés moins 60 degrés, ce qui nous donne une réponse de 30 degrés. L’ensemble solution qui satisfait l’équation racine de trois multipliée par cosec de 90 degrés moins 𝜃 moins deux égale zéro est 30 degrés.
Dans notre dernier exemple, nous allons voir une équation trigonométrique plus compliquée.
Trouvez l’ensemble des valeurs pour lesquelles deux sin 𝜃 cosec 𝜃 plus sec 𝜃 cot 𝜃 est égal à zéro sachant que 𝜃 est supérieur ou égal à zéro degré et inférieur ou égal à 360 degrés.
Nous allons commencer cette question en rappelant la définition des fonctions cosécante, sécante et cotangente. La cosec d’un angle 𝜃 est égale à un sur sin 𝜃. La sec de l’angle 𝜃 est égale à un sur cos 𝜃. Et le cot de 𝜃 est égal à un sur le tan de 𝜃. Nous rappelons également que puisque tan 𝜃 est égal à sin 𝜃 sur cos 𝜃, la cot de 𝜃 est égal à cos 𝜃 sur sin 𝜃. Lorsqu’on substitue ces identités dans notre équation, on a deux sin 𝜃 multiplié par un sur sin 𝜃 plus un sur cos 𝜃 multiplié par cos 𝜃 sur sin 𝜃 est égal à zéro. Le premier terme du côté gauche devient deux, et le deuxième terme devient un sur sin 𝜃.
Si on soustrait deux des deux côtés, on a un sur sin 𝜃 est égal à moins deux. Cela signifie que la cosec de 𝜃 est égale à moins deux, ce qui nous indique que le sin de l’angle 𝜃 est égal à moins un demi. On peut résoudre cette équation en dessinant d’abord un diagramme CAST. Comme le signe de l’angle 𝜃 est négatif, il y aura des solutions dans le troisième et quatrième quadrant.
De notre connaissance des angles spéciaux, nous savons que le sin de 30 degrés est égal à un demi. Nous pouvons ensuite utiliser notre connaissance de la symétrie de la fonction sinus pour calculer les solutions dans le troisième et quatrième quadrant. Dans le troisième quadrant, on a 𝜃 est égal à 180 degrés plus 30 degrés. Cela est égal à 210 degrés. Dans le quatrième quadrant, on a 𝜃 est égal à 360 degrés moins 30 degrés. Cela est égal à 330 degrés. L’ensemble des valeurs pour lesquelles deux sin 𝜃 cosec 𝜃 plus sec 𝜃 cot 𝜃 est égal à zéro, où 𝜃 est compris entre zéro et 360 degrés inclus, sont 210 et 330 degrés.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Afin de résoudre des équations trigonométriques inverses, on utilise la définition des fonctions cosécante, sécante et cotangente. La cosec de l’angle 𝜃 est égale à un sur sin 𝜃. La sec de l’angle 𝜃 est égale à un sur le cos de l’angle 𝜃. Et la cot de l’angle 𝜃 est égale à un sur la tan de l’angle 𝜃. Qui est aussi égale au cos de l’angle 𝜃 sur le sin de l’angle 𝜃.
Après avoir trouvé la valeur de la solution principale, on peut trouver en utilisant les concepts des angles spéciaux ou des fonctions trigonométriques inverses, toutes les solutions dans un intervalle donné en utilisant le diagramme CAST et la périodicité des fonctions trigonométriques. En utilisant la périodicité des fonctions trigonométriques, on peut développer cela pour trouver une solution générale aux équations trigonométriques. Cependant, cela sort du cadre de cette vidéo.