Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des équations trigonométriques impliquant la sécante, la cosécante et la cotangente sur différents intervalles en degrés et en radians.
Les équations trigonométriques inverses ont plusieurs applications dans divers domaines, tels que la physique, l’ingénierie, l’architecture, la robotique, le solfège et la navigation pour n’en citer que quelques-uns. En physique, elles peuvent être utilisées pour le mouvement des projectiles, modéliser la mécanique des ondes électromagnétiques, analyser les courants alternatifs et continus et déterminer la trajectoire d’une masse autour d’un corps massif sous la gravitation.
Commençons par rappeler les fonctions trigonométriques dont nous allons étudier les fonctions inverses dans cette fiche explicative. On considère un triangle rectangle.
Les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en fonction du rapport des côtés du triangle par
Ces fonctions satisfont à l’identité trigonométrique suivante :
On remarque que ces rapports trigonométriques sont définis pour des angles aigus et que les fonctions trigonométriques sont définies pour toutes les valeurs de sur le cercle trigonométrique en utilisant la trigonométrie des triangles rectangles.
On suppose qu’un point se déplace le long du cercle trigonométrique dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. À une position particulière sur le cercle trigonométrique d’angle , la fonction sinus est définie par et la fonction cosinus par , comme indiqué sur le schéma ci-dessus. En d’autres termes, les fonctions trigonométriques sont définies en utilisant les coordonnées du point d’intersection entre le cercle trigonométrique et le côté final de par rapport à l’axe des abscisses positives.
L’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs d’entrée possibles et l’ensemble image est l’ensemble des valeurs de sortie possibles étant donné son ensemble de définition. Pour les fonctions trigonométriques, ils sont les suivants.
| Ensemble de définition | Ensemble image | |
|---|---|---|
Comme la fonction tangente est définie par le rapport des fonctions sinus et cosinus, elle n’est pas définie lorsque son dénominateur est nul. En d’autres termes, la fonction tangente doit exclure les valeurs de où pour être bien définie. C’est pourquoi l’ensemble de définition de la fonction tangente est , ce qui signifie simplement que l’on retire de l’ensemble des nombres réels les valeurs de telles que afin de les exclure des valeurs d’entrée.
Les fonctions trigonométriques sont périodiques, ce qui signifie que si on ajoute un multiple entier de radians ou de à l’angle , la valeur de la fonction reste la même :
On peut s’en rendre compte directement à partir de la définition des fonctions trigonométriques en fonction du cercle trigonométrique. En fait, la fonction tangente a une période de radians ou de car
Cette propriété sera importante dans la recherche de solutions générales aux fonctions trigonométriques. Les ensembles de définition des fonctions trigonométriques doivent être limités à un sous-ensemble particulier pour que leurs fonctions inverses soient définies.
Les fonctions trigonométriques inverses sont définies en fonction des fonctions trigonométriques standard comme suit.
Définition : Fonctions trigonométriques inverses
Les fonctions cosécante, sécante et cotangente sont définies comme suit :
De même, pour les fonctions trigonométriques inverses, on a
| Ensemble de définition | Ensemble image | |
|---|---|---|
De même que pour la fonction tangente, les fonctions cotangente et cosécante sont définies avec au dénominateur, les valeurs de telles doivent donc être exclues des valeurs d’entrée. La fonction sécante a le même ensemble de définition que la fonction tangente, car elle contient un au dénominateur.
Les fonctions trigonométriques inverses sont également périodiques :
De même que pour la fonction tangente, la fonction cotangente a une période de radians ou car
La périodicité des fonctions trigonométriques est importante pour trouver des solutions générales aux équations trigonométriques. Les ensembles de définition des fonctions trigonométriques doivent être limités à un sous-ensemble particulier pour que leurs fonctions réciproques soient définies.
Les fonctions trigonométriques réciproques désignées par , et sont les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques , et . Cela signifie qu’elles fonctionnent dans l’autre sens ou « en arrière » par rapport aux fonctions trigonométriques habituelles. Elles sont définies par
Elles peuvent également être notées , et . L’ensemble de définition et l’ensemble image des fonctions trigonométriques réciproques sont les suivants.
| Ensemble de définition | Ensemble image | |
|---|---|---|
Les ensembles images de ces fonctions réciproques sont en général définis en restreignant les ensembles de définition des fonctions trigonométriques à un intervalle particulier. Cela permet de garantir que les fonctions sont injectives, c’est-à-dire que chaque valeur d’entrée donne une unique valeur de sortie.
Par exemple, si on a une équation trigonométrique particulière, telle que on peut trouver les solutions dans l’intervalle en appliquant la fonction trigonométrique réciproque :
Cependant, si on souhaite déterminer toutes les solutions possibles, les solutions générales doivent être exprimées en fonction d’un entier que l’on peut obtenir à partir du diagramme CEST et de la périodicité des fonctions trigonométriques.
Rappelons le diagramme CEST.
Diagramme CEST
- Dans le premier quadrant, l’ensemble des fonctions trigonométriques sont positives.
- Dans le deuxième quadrant, seule la fonction sinus est positive.
- Dans le troisième quadrant, seule la fonction tangente est positive.
- Dans le quatrième quadrant, seule la fonction cosinus est positive.
Rappelons comment nous pouvons trouver les solutions à des équations trigonométriques.
Solutions aux équations trigonométriques
Le diagramme CEST aide à se souvenir des signes des fonctions trigonométriques dans chaque quadrant.
En particulier, le diagramme CEST indique que les solutions aux équations trigonométriques sont les suivantes.
- Si et , pour , ou en radians, pour .
- Si et , alors on peut exprimer l’angle en fonction du cosinus réciproque en degrés comme pour ou en radians comme pour .
- Si , alors on peut exprimer l’angle en fonction de la tangente réciproque en degrés comme pour ou en radians comme pour .
Les intervalles de sont déduits des ensembles images des fonctions trigonométriques réciproques.
On peut également le vérifier sur le cercle trigonométrique ci-dessous.
Les fonctions trigonométriques inverses réciproques désignées par , et sont les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques inverses , et . Elles sont définies par
L’ensemble de définition et l’ensemble image des fonctions trigonométriques inverses réciproques sont les suivants.
| Ensemble de définition | Ensemble image | |
|---|---|---|
De même, si on a une équation d’une fonction trigonométrique inverse, telle que on peut trouver les solutions dans l’intervalle en appliquant la fonction trigonométrique inverse réciproque :
On peut aussi réécrire, à partir de la définition, l’équation de la fonction cosécante à l’aide des fonctions trigonométriques standard, et utiliser leurs solutions générales. On peut trouver les solutions dans l’intervalle en appliquant la fonction sinus réciproque :
Il n’y a pas de solutions à l’équation trigonométrique d’origine dans l’ensemble image complet de la fonction sinus réciproque (c.à.d. ) car la fonction cosécante est définie comme l’inverse de la fonction sinus, on doit donc exclure les points de solution pour lesquels , qui apparaît au dénominateur.
Donc, en utilisant les solutions aux équations trigonométriques, on peut également déterminer les solutions aux équations de fonctions trigonométriques inverses, soit en utilisant directement leurs définitions, soit en utilisant les fonctions trigonométriques réciproques et trigonométriques inverses réciproques, qui sont liées par pour . Cela signifie que l’on peut utiliser le diagramme CEST pour les fonctions trigonométriques inverses.
Étudions maintenant un exemple où nous devons déterminer les solutions à une équation trigonométrique impliquant une fonction trigonométrique inverse à l’aide des solutions du diagramme CEST.
Exemple 1: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles remarquables et la cotangente
Déterminez l’ensemble des valeurs vérifiant , où .
Réponse
Dans cet exemple, on cherche l’ensemble des valeurs vérifiant une équation trigonométrique.
Afin de résoudre l’équation trigonométrique, on utilise la définition de la cotangente :
En la substituant dans l’équation trigonométrique donnée, on a
On doit maintenant résoudre l’équation trigonométrique
On peut trouver les solutions avec la fonction cosinus réciproque et le diagramme CEST, ou
Il n’y a pas de solution dans l’intervalle requis. Donc, l’ensemble des valeurs est l’ensemble vide : .
Comme mentionné précédemment, bien que les fonctions trigonométriques inverses donnent des solutions aux équations trigonométriques, nous devons faire très attention en les manipulant car nous devons éviter les solutions avec ou lorsque ces fonctions sont au dénominateur d’une expression. Nous pouvons suivre les mêmes étapes pour résoudre une équation trigonométrique, nous devons simplement nous assurer que nous tenons compte de cela pour la solution finale.
Exemple 2: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles remarquables
Déterminez la valeur de qui satisfait , où .
Réponse
Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles remarquables.
On peut réarranger l’équation trigonométrique donnée par
On peut résoudre cette équation en utilisant la définition de la fonction cosécante en fonction de la fonction sinus, pour trouver à la place les solutions à
Il est indiqué que ; cet intervalle contient des solutions aiguës et est un sous-ensemble de l’ensemble image de la fonction cosécante réciproque, on peut donc l’appliquer directement pour obtenir
Donc, la valeur de est .
Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre une équation trigonométrique en changeant l’intervalle sur lequel les solutions existent.
Exemple 3: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles remarquables
Déterminez l’ensemble solution de qui satisfait , où .
Réponse
Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles remarquables.
Si on définit , on doit alors déterminer la solution à
On peut résoudre cette équation en utilisant la définition de la fonction cosécante en fonction de la fonction sinus, pour trouver à la place les solutions à
On peut appliquer la fonction sinus réciproque pour directement
On peut maintenant déterminer la valeur de à partir de
Donc, l’ensemble solution est .
Les solutions générales aux équations trigonométriques peuvent être trouvées à partir des solutions obtenues par le diagramme CEST ou les fonctions trigonométriques réciproques en y ajoutant un multiple entier de ou de radians. On peut le faire pour toutes les solutions que l’on détermine car les fonctions trigonométriques sont périodiques. Donc, la solution générale pour est en degrés ou en radians.
Lorsque l’on résout des équations trigonométriques, un intervalle particulier pour l’angle est généralement spécifié pour les solutions, ce qui signifie que l’on ne doit parfois considérer que quelques valeurs de . L’ensemble solution est l’ensemble des valeurs solutions à l’équation trigonométrique dans l’intervalle requis.
Étudions maintenant un autre exemple où nous devons trouver les solutions en utilisant la fonction sinus réciproque, le diagramme CEST et la périodicité des fonctions.
Exemple 4: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles remarquables et des fonctions inverses
Déterminez l’ensemble des valeurs vérifiant , où .
Réponse
Dans cet exemple, on recherche l’ensemble des valeurs satisfaisant une équation trigonométrique.
Afin de résoudre l’équation trigonométrique, on utilise la définition de la fonction sécante :
En le substituant dans l’équation trigonométrique donnée, on a donc
On doit maintenant résoudre l’équation trigonométrique
On peut trouver les solutions générales grâce à la fonction sinus réciproque et le diagramme CEST, ou
La première expression donne , pour , et la deuxième expression donne , pour . Pour les autres entiers , on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.
Donc, l’ensemble des valeurs est .
Étudions maintenant un autre exemple où nous utilisons le diagramme CEST pour déterminer les solutions générales à une équation trigonométrique inverse pour un intervalle spécifique.
Exemple 5: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles remarquables
Déterminez l’ensemble des valeurs satisfaisant sachant que .
Réponse
Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles remarquables.
On peut réarranger l’équation trigonométrique donnée par
On peut résoudre cette équation en utilisant la définition de la fonction cotangente en fonction de la fonction tangente, pour trouver à la place les solutions à
On peut trouver les solutions générales grâce à la fonction tangente réciproque et au diagramme CEST, ou
La première expression donne et la deuxième expression donne pour . Pour les autres entiers , on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.
Donc, l’ensemble des valeurs est .
Étudions maintenant un exemple où nous devons déterminer le plus petit angle positif en utilisant le diagramme CEST pour une équation trigonométrique inverse.
Exemple 6: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles remarquables
Déterminez en degrés sachant que , où est le plus petit angle positif.
Réponse
Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique pour laquelle est le plus petit angle positif.
On peut résoudre cette équation en utilisant la définition de la fonction sécante en fonction de la fonction cosinus, pour trouver à la place les solutions à
On peut trouver les solutions en appliquant la fonction cosinus réciproque et le diagramme CEST, ou
Comme est le plus petit angle positif, la deuxième expression donne pour . Pour la première expression et d’autres entiers , on obtiendrait des angles plus grands ou négatifs.
Donc, le plus petit angle positif satisfaisant l’équation trigonométrique donnée est .
Étudions enfin un exemple où nous devons d’abord simplifier une équation trigonométrique, puis déterminer les solutions générales à une équation trigonométrique inverse dans un intervalle spécifique.
Exemple 7: Résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles remarquables
Déterminez l’ensemble des valeurs satisfaisant sachant que .
Réponse
Dans cet exemple, on doit résoudre une équation trigonométrique impliquant des angles remarquables.
Afin de résoudre l’équation trigonométrique, on utilise la définition des fonctions cosécante, sécante et cotangente :
En les substituant dans l’équation trigonométrique donnée, on a
On doit donc résoudre l’équation trigonométrique
On peut résoudre cette équation en utilisant la définition de la fonction cosécante en fonction de la fonction sinus pour trouver à la place les solutions à
On peut trouver les solutions générales grâce à la fonction sinus réciproque et au diagramme CEST, ou
La première expression donne , pour , et la deuxième expression donne , pour . Pour les autres entiers , on obtiendrait des angles en dehors de l’intervalle requis.
Donc, l’ensemble des valeurs est .
Terminons par résumer quelques points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Afin de résoudre des équations de fonctions trigonométriques inverses, on peut utiliser les définitions des fonctions cosécante, sécante et cotangente :
- Pour des équations de fonctions trigonométriques inverses, on peut trouver une solution en utilisant les fonctions trigonométriques inverses réciproques ou en les reliant aux fonctions trigonométriques standard et en appliquant les fonction trigonométriques réciproques.
- Après avoir trouvé la mesure principale de la solution en degrés ou en radians, on peut trouver la solution générale des fonctions trigonométriques pour en utilisant le diagramme CEST et la périodicité des fonctions trigonométriques.
- Les fonctions trigonométriques réciproques et les fonctions trigonométriques inverses réciproques sont également reliées, ce qui signifie que l’on peut utiliser le même diagramme CEST pour déterminer leurs solutions.
