Transcription de la vidéo
Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme, calculez la longueur du segment 𝑌𝑍.
Dans cette question, nous devons déterminer la longueur de ce segment 𝑌𝑍. On pourrait penser que cela va se révéler plutôt difficile. En effet, nous ne connaissons la longueur que d’un seul côté du parallélogramme, le côté 𝐴𝐵. Mais nous savons également que deux paires de segments sont égaux. Enfin, nous savons que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme. Alors voyons si ces informations nous permettent de déterminer des proportionnalités ou des longueurs. Il se pourrait même que nous soyons en mesure d’appliquer le théorème de Thalès. D’après le théorème de Thalès, si une droite est parallèle à l’un des côtés d’un triangle et si elle coupe les deux autres côtés, alors elle coupe ces deux côtés proportionnellement.
Mais dans le cas de notre diagramme, rien n’indique que 𝑌𝑍 soit parallèle à 𝐷𝐶 dans le triangle 𝐷𝑋𝐶. Cependant, n’oublions pas que la réciproque du théorème de Thalès est également vraie. Autrement dit, si une droite divise deux côtés d’un triangle proportionnellement, alors elle est parallèle au troisième côté. Examinons notre triangle 𝐷𝑋𝐶. Nous pouvons voir que 𝐷𝑌 et 𝑌𝑋 ont exactement la même longueur. Par conséquent, 𝐷𝑌 est égal à la moitié de la longueur complète du segment 𝐷𝑋. De la même manière, nous pouvons voir sur le diagramme que 𝐶𝑍 est égal à 𝑍𝑋. Donc la longueur de 𝐶𝑍 est égale à la moitié de la longueur totale de 𝐶𝑋. Par conséquent, le segment 𝑍𝑌 divise deux côtés du triangle 𝐷𝑋𝐶 en parts égales.
Soulignons cependant qu’il n’est pas nécessaire pour appliquer le théorème de Thalès que le segment parallèle divise les deux côtés du triangle en deux parts égales. Par exemple, dans ce triangle ci-dessous, nous avons un segment parallèle à un côté du triangle. Ce segment coupe les deux autres côtés proportionnellement avec un rapport de un pour trois. Mais revenons maintenant à ce parallélogramme. Dans le grand triangle, les côtés 𝑋𝐷 et 𝑋𝐶 sont coupés proportionnellement par 𝑌𝑍, donc d’après le théorème de Thalès, le segment 𝑌𝑍 est parallèle au segment 𝐷𝐶. Nous pouvons également noter que les triangle 𝑋𝑌𝑍 et 𝑋𝐷𝐶 sont semblables.
Puisque 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme, nous savons que ses côtés opposés sont de même longueur. Par conséquent, le segment 𝐷𝐶 mesure également 134,9 centimètres. Notons 𝑥 la longueur du segment 𝑋𝑌 et voyons si nous pouvons calculer d’autres longueurs. Nous savons que 𝐷𝑌 mesure également 𝑥 centimètres, donc toute la longueur du segment 𝐷𝑋 est égale à deux 𝑥 centimètres. Nous pouvons utiliser le fait que ces triangles sont semblables pour écrire une relation de proportionnalité. Et incluons l’un des côtés dont on connaît la longueur réelle. Nous avons la relation 𝑋𝑌 sur 𝑋𝐷 égale 𝑌𝑍 sur 𝐷𝐶.
Nous avons noté 𝑥 la longueur de 𝑋𝑌, donc la longueur de 𝑋𝐷 est deux 𝑥. Sur le côté droit, nous ne connaissons pas encore 𝑌𝑍, mais nous savons que 𝐷𝐶 est égal à 134,9 centimètres. Nous avons plusieurs inconnues dans cette relation. Mais sur le côté gauche, nous pouvons simplifier un 𝑥 sur deux 𝑥 pour donner un demi. Le côté droit reste inchangé. Il est maintenant possible de déterminer 𝑌𝑍 en résolvant l’équation. Nous avons deux fois 𝑌𝑍 égale 134,9. Nous résolvons l’équation en divisant par deux de chaque côté. Nous pouvons donc conclure que le segment 𝑌𝑍 mesure 67,45 centimètres.
