Vidéo question :: Évaluer l'expression du déplacement en fonction du temps et de la vitesse uniforme d'une particule pour déterminer une expression inconnue Mathématiques • Troisième secondaire

Transcription de la vidéo

Une particule se déplace en mouvement rectiligne de sorte que son déplacement en mètres, 𝑠, après 𝑡 secondes est donné par 𝑠 égale moins 12𝑡 au cube plus 12𝑡 au carré moins trois 𝑡 mètres. Lorsque la vitesse de la particule est nulle, son accélération est 𝑎 mètres par seconde au carré. Déterminez toutes les valeurs possibles de 𝑎.

On nous dit dans la question qu'une particule se déplace en mouvement rectiligne et que son déplacement, 𝑠, après 𝑡 secondes est donné par l'équation 𝑠 égale moins 12𝑡 au cube plus 12𝑡 au carré moins trois 𝑡 mètres. On nous dit également que lorsque la vitesse de la particule est nulle, son accélération égale 𝑎 mètres par seconde au carré. On doit trouver toutes les valeurs possibles de 𝑎. Puisqu'on nous donne le déplacement de notre particule qui se déplace en mouvement rectiligne, on peut utiliser le fait que la vitesse est le taux de variation par rapport au temps du déplacement.

Cela nous permet de déterminer la vitesse de notre particule au moment 𝑡. Il s'agit de la dérivée de la fonction de déplacement par rapport à 𝑡. Nous pouvons la dériver en utilisant la règle de dérivation d’une puissance, ce qui nous donne les constantes 𝑎 et 𝑛. La dérivée de 𝑎 fois 𝑡 puissance 𝑛 par rapport à 𝑡 égale à 𝑛 𝑎 𝑡 puissance 𝑛 moins un. On multiplie par l'exposant puis on réduit l'exposant de un. Si on applique cela, on obtient moins 36𝑡 au carré plus 24𝑡 moins trois. Il pourrait nous être utile de considérer moins trois 𝑡 comme moins trois 𝑡 puissance un.

Puisque la question nous demande de trouver les valeurs possibles de l'accélération, il nous faut trouver l'accélération de notre particule. Pour cela, il suffit d'utiliser le fait que l'accélération est le taux de variation de la vitesse. Pour trouver l'accélération de notre particule à l'instant 𝑡, il faut donc dériver la vitesse de notre particule par rapport à 𝑡. Cela donne la dérivée de moins 36𝑡 au carré plus 24𝑡 moins trois par rapport à 𝑡. Pour y parvenir, nous utilisons la règle de dérivation dune puissance. On multiplie par l'exposant puis on réduit l'exposant de un. Cela nous donne moins 72𝑡 plus 24.

On nous demande de trouver les valeurs possibles de l'accélération lorsque la vitesse est nulle. Il s'agit donc du cas où notre fonction de vitesse 𝑣 de 𝑡 est nulle. Comme notre fonction de vitesse est une fonction du second degré, on peut trouver toutes les valeurs de 𝑡 qui donnent une vitesse nulle en résolvant une équation du second degré. Nous avons donc mis notre vitesse à zéro. Cela signifie que toute solution de l'équation du second degré, moins 36𝑡 au carré plus 24𝑡 moins trois, nous donnera une vitesse nulle. On peut simplifier notre équation du second degré en factorisant par moins trois. Cela nous donne trois fois moins 12𝑡 au carré moins huit 𝑡 plus un. Il existe plusieurs façons de résoudre cette équation du second degré. Par exemple, on peut utiliser la formule des racines du second degré. Cependant, dans ce cas, on peut factoriser notre équation.

On veut choisir nos coefficients de 𝑡 pour les multiplier afin de nous donner 12, par exemple, six et deux. On voit alors que 16 moins un fois deux 𝑡 moins un nous donne 12𝑡 au carré moins huit 𝑡 plus un. Et comme on résout cette équation égale à zéro, l'un de nos facteurs doit être nul. Résoudre chacun de nos facteurs égal à zéro nous donne 𝑡 égal un sixième ou 𝑡 égale un demi. Il convient de noter que nous devons vérifier nos deux solutions. Dans ce cas, étant donné que 𝑡 représente le temps, il faut s'assurer que 𝑡 est supérieur ou égal à zéro, ce qui est vrai dans les deux cas.

Maintenant, la question nous demande de trouver l'accélération de notre particule pour ces deux valeurs de 𝑡. Il suffit de substituer ces valeurs dans notre formule d'accélération. Ainsi, on substitue 𝑡 égale un sixième et 𝑡 égale un demi dans notre formule d'accélération. Si on substitue 𝑡 égale un sixième, on obtient la valeur moins 72 fois un sixième plus 24, ce qui est juste 12. Et en substituant 𝑡 égale un demi, on obtient moins 72 fois un demi plus 24, ce qui est juste moins 12. Et puisque nous avons montré que les seuls cas où notre particule a une vitesse nulle sont ceux où 𝑡 égale un sixième ou 𝑡 égale un demi. Ce sont les seules valeurs possibles pour l'accélération lorsque la vitesse est nulle.

Par conséquent, nous avons montré que les seules valeurs possibles pour l'accélération 𝑎 sont moins 12 et 12.