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Dans quel quadrant du plan complexe le nombre complexe sept plus neuf 𝑖 sur trois moins quatre 𝑖 se situe-t-il ?
Le plan complexe ressemble beaucoup au plan cartésien, mais les axes horizontal et vertical ont des significations différentes. Nous utilisons l’axe horizontal dans un plan complexe pour représenter la partie réelle d’un nombre complexe. Et nous utilisons l’axe vertical pour représenter sa partie imaginaire. Par exemple, le nombre complexe 𝑧 égale trois plus quatre 𝑖, qui a une partie réelle de trois et une partie imaginaire de quatre, serait placé aux coordonnées trois, quatre. C’est quelque part ici dans le premier quadrant du plan complexe.
Afin de déterminer lequel des quatre quadrants contient ce nombre complexe, sept plus neuf 𝑖 sur trois moins quatre 𝑖, nous devons considérer les signes de ses parties réelles et imaginaires. Nous ne pouvons pas réellement le faire pour le moment parce que notre nombre complexe n’a pas été donné sous la forme générale 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖. Donc, nous devons d’abord comprendre comment manipuler ce nombre complexe afin de le mettre sous forme standard.
Il y a une astuce que nous pouvons utiliser pour le faire. Et cela ressemble à la rationalisation d’un dénominateur dans une fraction. Nous voulons faire en sorte que le dénominateur soit un nombre réel. Donc, sa partie imaginaire doit valoir zéro. Et pour ce faire, nous multiplions par le complexe conjugué du dénominateur. Rappelons que le complexe conjugué du nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖 est le nombre complexe 𝑎 moins 𝑏𝑖. Nous avons simplement changé le signe de la partie imaginaire, de sorte que le complexe conjugué de trois moins quatre 𝑖 donne trois plus quatre 𝑖.
Cependant, nous ne pouvons pas simplement multiplier le dénominateur de notre quotient par ce nombre complexe car cela changerait la valeur du quotient. Nous devons également multiplier le numérateur par le même nombre afin que de multiplier par un et, par conséquent, trouver une valeur équivalente. Nous avons maintenant l’expression sept plus neuf 𝑖 multiplié par trois plus quatre 𝑖 sur trois moins quatre 𝑖 multiplié par trois plus quatre 𝑖. Nous devons distribuer chaque parenthèse. Et nous commencerons par le dénominateur afin de nous rappeler pourquoi nous multiplions par le complexe conjugué.
Donc, au dénominateur, multiplier les premiers termes donne neuf. En multipliant les termes extérieurs ensemble, trois multiplié par quatre 𝑖 donne 12𝑖. La multiplication des termes intérieurs donne moins 12𝑖. Ensuite, multiplier les derniers termes ensemble donne moins 16𝑖 au carré. Maintenant, nous voyons qu’au centre de notre expression développée, nous avons plus 12𝑖 moins 12𝑖. Ces deux termes s’annulent.
Nous rappelons également que 𝑖 au carré est égal à moins un. Donc, nous avons neuf moins 16 multiplié par moins un. C’est-à-dire neuf plus 16, soit 25. Et l’élément clé est qu’en multipliant trois moins quatre 𝑖 par son complexe conjugué trois plus quatre 𝑖, nous obtenons un nombre réel. La partie imaginaire du résultat est nulle. Ceci est une illustration du résultat général qui dit que si nous prenons un nombre complexe 𝑎 plus 𝑏𝑖 et le multiplions par son complexe conjugué 𝑎 moins 𝑏𝑖, nous obtiendrons le nombre réel 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Nous pouvons voir que, dans notre cas, nous obtenons le nombre 25, qui est égal à trois au carré plus quatre au carré.
Donc, nous avons maintenant un nombre réel dans le dénominateur de notre quotient. Nous devons maintenant distribuer les parenthèses au numérateur. Cela donne 21 plus 28𝑖 plus 27𝑖 plus 36𝑖 au carré. En nous rappelant à nouveau que 𝑖 au carré est égal à moins un, cela se simplifie à 21 plus 55𝑖 plus 36 multiplié par moins un. Cela fait 21 moins 36, c’est-à-dire moins 15, plus 55𝑖.
Ainsi, en multipliant le numérateur et le dénominateur de ce quotient par le complexe conjugué du dénominateur, nous avons constaté que ce nombre complexe est équivalent au nombre complexe moins 15 plus 55𝑖 sur 25. Rappelez-vous, le but de faire ceci était de pouvoir déterminer les signes des parties réelles et imaginaires de notre nombre complexe. Ainsi, en séparant les parties réelles et imaginaires en deux fractions distinctes, puis en simplifiant, nous obtenons un nombre complexe équivalent à moins trois cinquièmes plus onze cinquièmes 𝑖.
Ainsi, nous constatons que la partie réelle de nos nombres complexes 𝑧 vaut moins trois cinquièmes, ce qui est négatif. Et la partie imaginaire de notre nombre complexe 𝑧 vaut onze cinquièmes, ce qui est positif. Notre nombre complexe sera donc placé sur le plan complexe avec une valeur négative sur l’axe réel et une valeur positive sur l’axe imaginaire, ce qui signifie qu’il sera dans le deuxième quadrant.
Ainsi, en trouvant d’abord une expression équivalente à notre nombre complexe en multipliant le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur. Puis en considérant les signes de ses parties réelles et imaginaires, nous avons constaté que le nombre complexe sept plus neuf 𝑖 sur trois moins quatre 𝑖 se trouve dans le deuxième quadrant du plan complexe.
